Теория рядов. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Итак, областью сходимости заданного ряда является x

Итак, областью сходимости заданного ряда является x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Пример 13. Доказать, что ряд

sin

0 α 1,

x πm

(m Z),

сходится условно.

n 1

sinnx

► Решение. Ряд

n 1

сходится

при

α 0

(см. пример 10). Осталось

nα

sinnx

доказать, что абсолютной сходимости этого ряда нет, т.е. ряд n 1 nα

расходится. Воспользуемся неравенством

sinnx

sin2 nx

1 cos2nx

nα

2nα

cos2nx

Но

так

как

ряд

n 1

при 0 α 1,

x πm

(m Z), сходится (см.

2nα

пример 11),

а ряд

, при

0 α 1 расходится

(см.

пример 8), то по

n 1

1 cos2nx

теореме 13 расходится и ряд

. А это в силу признака сравнения

2nα

n 1

означает расходимость ряда

sinnx

n 1

sinnx

Таким образом, доказано, что ряд

сходится условно. ◄

n 1 nα

n 1

( 1)

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

n 1

n ( 1)

n 1

► Решение. Запишем n–ый член ряда в следующем виде:

( 1)

n 1

( 1)

n 1

Используя

формулу

Тейлора

для

биномиальной

функции

(1 t) 1

1 t t2

(t2 )

при t 0, получим:

( 1)

n 1

( 1)

n 1

(1 αn),

где

αn

при n , и поэтому

αn

1 при n n0. Тогда можно записать

( 1)n 1

b ,

где

, и поэтому слагаемое b

не влияет на сходимость исходного ряда

n3/2

n 1

(теорема

13).

Но

так

как ряд

( 1)

сходится условно,

а ряд

–

n 1

n 1 n

( 1)n 1

расходится, то ряд n 1

расходится. ◄

( 1)n 1

Замечание.

Если для членов знакочередующихся рядов

и bn

n 1

выполняется условие an

~ bn при n , то отсюда не следует, что ряды an

n 1

и bn эквивалентны

в смысле сходимости,

т.е.

сходятся

или расходятся

n 1

( 1)

n 1

( 1)

n 1

одновременно. Примером служат ряды:

. Первый из

n 1

n ( 1)

n 1

них сходится, а второй расходится, хотя

( 1)n 1

при n .

n ( 1)n 1

Рассмотрим свойства условно сходящихся рядов.

В предыдущем параграфе было отмечено переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда (свойство 4). Условно сходящийся ряд, в отличие от абсолютно сходящегося таким свойством не обладает. Сумма условно сходящегося ряда может изменяться при перестановке его членов. Более того, можно так переставить его члены, что сходимость исчезнет вовсе.

Докажем предварительно лемму. Для этого рассмотрим условно

сходящийся ряд an . Обозначим

n 1

αk

βk

(1.22)

Тогда для всех k N следует, что

αk

βk 0,

(1.23)

αk

, если ak

ak ,

если ak

βk

если ak

, (1.24)

если ak 0

αk βk .

(1.25)

Лемма 4. Если

ряд an

сходится условно, то

ряды

αn

и βn

n 1

расходятся, причем limαn 0,

limβn 0.

Доказательство. Предположим,

что ряд αn сходится.

Тогда из сходимости

n 1

рядов αn

и an = (αn βn ) следует сходимость ряда (αn βn ), так как

n 1

αn βn 2αn (αn βn ).

Из равенств (1.22) следует, что

αn βn , где αn 0,

βn 0. Поэтому

должен сходиться ряд

, но это противоречит тому,

что ряд an сходится

n 1

условно. Другими словами, предположение неверно, то есть ряд αn

не может

n 1

сходиться, а значит, он расходится. Аналогично доказывается расходимость

ряда βn .

n 1

Проверим, что limαn 0 и limβn 0. Это действительно так, поскольку

n n

lim an 0, а последовательности αn и βn определяются формулами (1.24).

Что и требовалось доказать.

Указанное в начале параграфа свойство условно сходящегося ряда следует из теоремы, которую приведем без доказательства. Его можно найти в

[10] стр. 317.

Теорема 14. (Римана). Если ряд an сходится условно, то каким бы ни

n 1

было число L (конечным числом или одним из символов , ), можно так переставить члены этого ряда, что последовательность частичных сумм получившегося ряда будет иметь своим пределом при n это число L .

Проиллюстрируем это свойство условно сходящегося ряда примером.

Пример 15. Рассмотрим условно сходящийся ряд
1	1		1		1	...	1	1	...	(1.26)
							2k 1
2		3		4				2k

Его сумма равна ln2. Переместим его члены так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных:

1	1		1		1		1		1	...	1	1	1	...	(1.27)

2		4		3		6		8			2k 1	4k 2 4k

Докажем, что сумма ряда от такого перемещения уменьшится вдвое.

Обозначим частичные суммы рядов (1.26) и (1.27) An и Bn соответственно. Тогда

B3m

A2m

4k 2

2k 1

k 1

2k 1

k 1

2k 1

так что

ln2.

Так

как

и B

4m 2

3m 1

3m 2

стремятся к тому же пределу

ln2, то ряд (1.27) сходится и имеет суммой

именно это число.

Рассмотрим еще один ряд, полученный из ряда (1.26), в котором после двух положительных членов следует один отрицательный:

				1		1		1			1		1		1	...			1				1					1
				1												...			4k 3
					3 2 5 7 4														4k 3				4k 1 2k
Рассмотрим его частичную сумму:
~		m		1						1				1				m	1						1				1
B3m
B3m																				4k 3
	k 1			4k 3					4k 1					2k			k 1			4k 3				4k 1 4k
m			1				1					1					1			1 m		1				1
==
==		4k 3					4k 2
k 1		4k 3					4k 2					4k 1					4k			2k 1	2k 1					2k
Поскольку									A2m ln2									и		A4m ln2,							то

...

(1.28)

4k 2

2 2m

ln2.

Так

как

B3m

B3m 1

B3m

и B3m 2

B3m

тоже стремятся к пределу

ln2

4m 1

то ряд (1.28) сходится и сумма его равна этому же числу 3ln2. 2

Можно обобщить этот результат следующим образом: расположим члены ряда (1.26) в следующем порядке: сначала поместим p положительных и q отрицательных, потом снова p положительных и q отрицательных и т.д. Частичная сумма S2n полученного таким образом ряда равна

				p
S	2n	ln	2		α	n	(α	n	0)


				q

и стремится к пределу

		p
ln	2		.


		q

К этому же пределу стремится и сумма S2n 1. Значит ряд (1.27) будет иметь

		p
суммой это число ln	2		.


		q

Как частный случай из этой формулы при p=1, q=2 получается сумма ряда (1.27), а при p=2, q=1 – сумма ряда (1.28).

Пусть ряд un получен из ряда (1.26) перестановкой членов так, что

n 1

члены одного знака убывают по абсолютной величине, а среди первых n членов отношение числа положительных членов к числу отрицательных членов стремится к σ при n . Можно доказать следующее равенство:

un ln4σ.

n 1

То есть если численность последовательных групп положительных и отрицательных членов изменять от группы к группе, то можно закон этого изменения подобрать так, чтобы для преобразованного ряда получить любую наперед заданную сумму (подробнее см. [10]). Установленный результат подчеркивает тот факт, что неабсолютная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов, и

потому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, в то время как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов, а от порядка их не зависит.

Задачи для самостоятельного решения.

126.–134. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

						1										1					( 1)			n
126.	( 1)n 1					1						127.		( 1)n 1		1			128.		( 1)
126.	( 1)n 1											127.		( 1)n 1					128.
	n 1				n			n					n 1				3 n			n 1 ln(n 1)!
			n		2	2	n							( 1)	n						( 1)	n
129.		( 1)n	n			2						130.		( 1)					131.		( 1)
	n 1		3n 1										n 1 n lnn							n 1	a n
				2		n	sin			2n	α			( 1)				n 1					n 1		1
132.		( 1)n 1		2			sin				α	133.		( 1)					134.	( 1)n			n 1		1
132.		( 1)n 1							n			133.		(n 1)ln(n 2)					134.	( 1)n
	n 1								n				n 1	(n 1)ln(n 2)						n 1			n 2		10 n

Глава 2. Функциональные ряды

§2.1 Сходимость функциональных рядов

Настоящая глава посвящена рядам, члены которых являются функциями некоторого независимого переменного. Дадим необходимые определения.

Определение 1. Функциональным рядом называется ряд, члены которого функции одной и той же переменной, заданные в некоторой области.

В общем виде функциональный ряд записывается следующим образом:


un (x) u1(x) u2 (x) un (x) ,	(2.1)

n 1

где члены ряда u1(x), u2 (x), , un (x), - функции. Множество чисел, на котором определены все члены ряда (2.1), назовем областью определения функционального ряда и обозначим через D.

В данной главе рассматриваются только функциональные ряды, поэтому в дальнейшем на протяжении всей главы под термином «ряд» будет

подразумеваться «функциональный ряд».
Пусть x x0 из области определения ряда (2.1). Подставим	x x0	в (2.1),
тогда получим числовой ряд:

un (x0 ) u1(x0 ) u2 (x0 ) un (x0 )		(2.2)

n 1

Числовой ряд (2.2) исследуем на сходимость, используя признаки сходимости числовых рядов, рассмотренные в главе 1. Если числовой ряд (2.2) сходится, то точка x0 называется точкой сходимости ряда (2.1). Если числовой ряд (2.2) расходится, то точка x0 называется точкой расходимости ряда (2.1).

Определение 2. Множество всех х, x D, при которых функциональный ряд (2.1) сходится, называется областью сходимости ряда.

По аналогии с числовыми рядами дадим определение суммы функционального ряда (2.1). Для этого определим частичные суммы.

Определение 3. Сумма первых n членов функционального ряда (2.1) называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается Sn (x):

Sn (x) u1(x) u2 (x) un (x).

Определение 4. Функция S(x), заданная в области сходимости ряда (2.1) и определяемая равенством

S(x) limSn (x),

называется суммой функционального ряда (2.1).

Приведем некоторые примеры нахождения области сходимости функциональных рядов.

Пример 1. Найти область сходимости ряда n 1 nx .

► Решение. Из теории числовых рядов известно, что при x 1 ряд сходится,

при	x 1 ряд		расходится. Значит, x 1, – область сходимости ряда
	1
	1	. ◄
	x	. ◄
n 1	n

	Пример 2. Найти область сходимости ряда nx.
			n 1
► Решение. Частичные суммы данного функционального ряда имеют вид:
			S1 x x; S2 x x 2x; …; Sn x x 2x ... nx.

Таким образом,				Sn x представляет собой сумму n членов арифметической
прогрессии с первым членом x и разностью x:
Sn	x	2x x n 1				n

	2
Sn	x		nx n 1		.

Тогда	2
							nx n 1
S x lim Sn x lim								при x 0.
							2
	n				n

Значит, для любого x 0 ряд расходится, то есть x , 0 0, – область расходимости ряда.

Если x 0, то nx 0 и ряд сходится, так как S 0.

n 1 n 1

Таким образом, областью сходимости ряда nx является единственная

n 1

точка x 0. ◄

Пример 3. Найти область сходимости функционального ряда

(1 cos2x)

n 1 n

► Решение.

1) Члены

данного

функционального

ряда

определены при

1 cos2x 0

или x πk, k Z .

2) Так как

n 1

n3 (1 cos2x)n

lim

n 1

(n 1)

(1 cos2x)

(n 1)

1 cos2x

0 1 cos2x 2

lim

1 cos2x

n (n 1)

1 cos2x

при этом функция неотрицательная, поэтому по признаку Даламбера

1 cos2x

(числовой) ряд сходится при

			1				1.
							1.
			1 cos2x
Решим данное неравенство. Перепишем его в виде:
				cos2x			0.
							0.
В области сходимости ряда			1 cos2x
В области сходимости ряда				1 cos2x 0,
следовательно,				1 cos2x 0,
следовательно,				cos2x 0.
				cos2x 0.
Решение последнего неравенства можно записать в виде
	π	πm x			3π	πm, m Z .
4		πm x				πm, m Z .
4			4

3π

Таким образом, ряд сходится на интервалах

πm;

πm ,

m Z .

3) Для полного ответа на поставленный вопрос исследуем на сходимость

ряд

граничных

точках интервалов. При

πm и x

3π

πm

(m Z) исходный функциональный ряд становится числовым

, который

сходится по интегральному признаку Коши.

n 1

4) Окончательно

получили,

что

область

сходимости

ряда:

3π

πm;

πm ,

m Z . ◄

Пример 4. Найти область сходимости функционального ряда

	n x 1	n
2		.

n 1	x 2

►Решение. 1) Члены данного функционального ряда определены при x 2.

2)Так как

n x 1

x 1

limn

lim

x 2

то согласно признаку Коши данный ряд сходится, если

2 x 1 1. x 2

Данное неравенство равносильно двойному неравенству:

					1		x 1			1		,
							x 2					,
и имеет решение				2			x 2		2
и имеет решение
									4
		x ( ; 2)											;
		x ( ; 2)											;
									3

		x ( 2; 0)							4
									4
Таким образом, ряд сходится при x											; 0			.
Таким образом, ряд сходится при x									3		; 0			.
									3
3) В граничной точке интервала						x		4	исходный функциональный ряд
3) В граничной точке интервала						x			исходный функциональный ряд
						1	3
принимает вид:							3
принимает вид:				n
	4		1	n
											1			n
	3										1			n
2n	3			2n ( 1)n											( 1)n .
2n				2n ( 1)n											( 1)n .
n 1	4		2			n 1					2				n 1

	3
	3

Полученный знакочередующийся ряд расходится, так как lim( 1)n 1 0.

В граничной точке интервала x2 0 получаем числовой ряд:

	n	1	n
2				1.
2		2		1.
n 1		2		n 1

Этот ряд также расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда: lim1 1 0.

Задачи для самостоятельного решения.

135-138. Найти область сходимости функционального ряда по определению сходимости функционального ряда:

	x		n					10	n
				136. e	n x					138.		n(x 1)
135.			.			.	137.		.		3
		3
n 0				n 0			n 1 x2			n 1

139-158. Найти область сходимости функционального ряда:

139.

140.

xn2

141.

n 1

n 0

n 1enx

142.

143.

144.

n 1 xn

n 0 x

n 1n (x 2)

x 2n 1

n 1

( 1)n

n 1 x

145.

146.

147.

4)(x 1)

n 1

3x 1

n 1

n 0

1 x 2

n 1n 3

x(x 2) n

( 1)n 1 x n

2n sinn x

148.

149.

150.

n 1

n 2n2

1 x

n 1

n x n2

x3n

151.

152.

153.

(2x)

n 1

n 0n 1

n 1

155.

156.

154.

n 0

n 1

sin

157.

n 3 sinn x

158.

n2 2n

n 1

§2.2 Равномерная сходимость функциональных рядов

Понятие равномерной сходимости функциональных рядов тесно связано с понятием равномерной сходимости последовательности функций. Дадим определение равномерной сходимости последовательности функций.

Пусть последовательность функций

f1 x , f2 x ,..., fn x ,... (2.3)

в области D сходится к функции f x , то есть для любого x D справедливо равенство

f x lim fn x .

Определение 5. Последовательность функций		fn (x) ,	n 1,	2, ,
сходится к функции	f x равномерно в области D,	если для любого		ε 0
найдется номер N ε	такой, что для всех номеров	n, удовлетворяющих

условию n N ε , и для всех точек x, x D, справедливо неравенство: fn x f x ε.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]