Теория рядов. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

найдем номер N ε

такой, что для любого n N ε выполняется неравенство:

(для любого x a;b ).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

мажорируется на множестве D сходящимся числовым рядом, то функциональный ряд (2.1) равномерно сходится на множестве D.

Доказательство. Числовой

ряд an

сходится,

следовательно,

для любого

n 1

n N ε

ε 0 существует номер

N ε такой, что

при

выполняется

неравенство:

k n 1

или, в силу неотрицательности an ,

ε.

k n 1

Оценим остаток ряда (2.1):

из сходимости

условие

uk x

ε.

k n 1

теоремы

k n 1

ряда

n 1

Получили,

что из сходимости числового ряда an следует равномерная

n 1

сходимость функционального ряда un (x).

n 1

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример применения признака Вейерштрасса для исследования равномерной сходимости функциональных рядов.

Пример 12. Исследовать на равномерную сходимость ряд		arctgnx	на
	n 1 (n x2 )3

множестве D ( ; ).

► Решение. Исследуем равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса. Найдем числовой ряд, мажорирующий исходный ряд.

При любых n и x имеет место оценка:

arctgnx

un (x)

(n x2)3

значит, ряд

мажорирует исходный ряд.

n 12n3

Числовой ряд

n 1

n 12n3

2n 1n3

сходится по интегральному признаку Коши.

Таким образом, по признаку Вейерштрасса ряд		arctgnx	сходится
Таким образом, по признаку Вейерштрасса ряд	n 1 (n x2 )3		сходится
равномерно на множестве D ( ; ). ◄	n 1 (n x2 )3
равномерно на множестве D ( ; ). ◄

Рассмотрим ещё один признак равномерной сходимости функциональных рядов.


Теорема 4. Если функциональный ряд	un (x) равномерно сходится на
	n 1

множестве D и v(x) - ограниченная на	D функция, то ряд v(x) un (x)
равномерно сходится на множестве D.	n 1
равномерно сходится на множестве D.

Доказательство. Функция v(x) ограничена на D, следовательно, v(x) M ,

где M – некоторое положительное число. Ряд un (x) равномерно сходится,

n 1

значит, для любого ε 0 существует номер N ε не зависящий от x такой, что при n N ε справедливо неравенство:

n x ε

uk x ε.

kn 1

Всилу произвольности ε данное неравенство справедливо, если в роли ε

взять ε :

uk x

ε .

k n 1

Оценим остаток ряда v(x) un (x):

n 1

M ε

v(x) uk

(x)

v(x)

uk (x)

ε.

k n 1

То есть для любого ε 0

существует номер N ε , что

v(x) uk (x)

ε.

k n 1

Таким образом, имеет место равномерная сходимость ряда v(x) un (x).

n 1

Что и требовалось доказать.

Пример 13. Доказать, что ряд n 1 2 x равномерно сходится на интервале

0,	1
		.
	2	.
	2

► Решение. Имеем

xn .

2 x

n 1

Так как на интервале 0,

функция v(x)

ограничена, а ряд

2 x

n 1

сходится равномерно

(см. пример

6),

значит,

по теореме 4 ряд

2 x

n 1

равномерно сходится на интервале

. ◄

Задачи для самостоятельного решения.

171.-184. С помощью признака Вейерштрасса доказать равномерную сходимость функциональных рядов на заданном интервале:

171.

на

(0, ).

n 1

(x n)(x n 1)

173.

n 1

на [1, ).

en2x nx2

n2x

175.

arctg

на

[0,1].

n 1

sin nx 2

177.

на

( , ).

n 1

179.

на

( , ).

1 x

n 1

181.

x2e nx

на

[0, ).

n 1

( 1)n

183.

на

10,10 .

n 1

172.

cosπnx

на

( , ).

n 1

174.

ln 1

на [0,4].

n 1

cosnx

176.

на [1, ).

n(1 ln

nx)

n 1

arctgnx

178.

на ( , ).

n 1

180.

n 1

182.

n 1

n2(xn x n )				1
			на		,2 .

		n!		2
arctg	2x		на	( , ).
	x2 n2

	(n 1)2(3x)2n				1 1
184.				на		,	.
	4x	2	5n 2
n 1					9 9

§2.4 Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

Рассмотрим некоторые свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 5. (о

непрерывности

суммы

равномерно

сходящихся

функциональных рядов). Пусть

Функциональный ряд (2.1) равномерно сходится на множестве D;

Все функции un (x), n 1,2, , непрерывны в точке х0

тогда S(x) un (x) непрерывна в точке х0.

n 1

Доказательство. При любом х D имеем

S(x) Sn(x) n(x).

В частности, при x х0

S(x0) Sn(x0) n(x0).

Так как функциональный ряд (2.1)

равномерно сходится на D, то для

любого ε 0

существует номер N ε такой, что

n (x)

при всех х D и n N ε . Очевидно, что также справедливо

)

Если n фиксировано,

то Sn(x) является суммой конечного числа функций,

непрерывных в точке

х0, поэтому

Sn(x) также

непрерывна в точке х0, а

значит, для любого ε 0

найдется δ 0,

что при

x x0

δ выполняется

(x) S

)

Таким образом,

S(x) S(x0)

Sn (x) n(x) Sn(x0) n (x0)

Sn (x) Sn (x0 )

n (x)

(x )

ε,

x x0

если

δ.

непрерывна в точке х0.

Следовательно, S(x)

Что и требовалось доказать.

Пример 14. Исследовать

на

непрерывность

функцию

f (x) arcsin

на множестве ( ; ).

n 1

► Решение. 1) Докажем, что данный ряд равномерно сходится.

Очевидно, что 0 arcsin

arcsin

Пусть an

arcsin

. Рассмотрим числовой ряд bn

, который

n 1

сходится по интегральному признаку Коши. При этом

				1
	an	lim	arcsin
lim	an		arcsin		n2	1.
lim						1.
n bn		n		1
				n2

Таким образом, по предельному признаку сравнения числовых рядов ряд

		1
аn	arcsin	1	также сходится.
аn	arcsin	2	также сходится.
n 1	n 1	n
						1
Значит, по		признаку Вейерштрасса ряд arcsin				1		сходится
Значит, по		признаку Вейерштрасса ряд arcsin		n	2	x	4	сходится
			n 1	n		x

равномерно на множестве ( ; ).

2) Функции un (x) arcsin		1		непрерывны на множестве ( ; )
2) Функции un (x) arcsin				непрерывны на множестве ( ; )
для любых n 1,2, .		n2 x4
для любых n 1,2, .
							1
3) По теореме 5 функция f (x) arcsin							1			непрерывна. ◄
3) По теореме 5 функция f (x) arcsin						n	2		4	непрерывна. ◄
		n 1				n	x
Условие равномерной сходимости функционального ряда (2.1) в теореме 5
существенно. В доказательство этого приведём следующий пример.

Пример 15. Исследовать на непрерывность сумму ряда (xn xn 1)											на
множестве D 0,1 .										n 1
множестве D 0,1 .
► Решение. Все члены ряда		un (x) xn xn 1,						n 1,2, , непрерывны			на
отрезке D 0,1 , то есть выполняется второе условие теоремы 5.
Найдем сумму ряда S(x) по определению.							Частичные суммы ряда имеют
вид:
Sn (x) x x2 x2 x3 xn xn 1 x xn 1.
Найдём предел частичных сумм при n :
S(x) limSn	(x) lim(x xn 1)		x,		если 0 x 1 .
n	n		0,		если x 1
Предельная функция S(x)		разрывна в точке x0 1. Это связано с тем,									что

нарушается первое условие теоремы 5, то есть ряд (xn xn 1) не является

n 1

равномерно сходящимся на D 0,1 . Действительно, оценим остаток ряда

сумма бесконечной

n x

S x Sn x

(xk

xk 1)

геометрической прогрессии

k n 1

xn 1

xn 2

xn 1(1 x)

xn 1

1 x

Так как

остаток

ряда n (x) xn 1 при

x 1

стремится

к нулю

неравномерно (пример 5 главы 2), то ряд (xn

xn 1)

не имеет равномерной

сходимости на D 0,1 . ◄

n 1

Заметим также, что условие равномерной сходимости в теореме 5 является достаточным, но не является необходимым для непрерывности суммы ряда. Например, ряд из примера 15 на множестве D 0,1 будет иметь непрерывную сумму S(x) x, хотя сходится неравномерно.

Выясним, когда функциональные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Теорема 6. (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть

1)Функциональный ряд (2.1) равномерно сходится на a, b ;

2)Все функции un (x), n 1,2, , непрерывны на a, b ,

тогда функциональный ряд можно почленно интегрировать на a, b :

b			b
	un	(x) dx un (x)dx.
a n 1			n 1 a

Доказательство. Пусть S(x) un (x). Из условий теоремы следует, что S(x)

–непрерывная функция на a, b (согласно теореме 5), а значит, S(x) –

интегрируема на a, b . Возьмем произвольное ε 0 и по значению	ε	0

	b a

Это сделать возможно, так как из условия равномерной сходимости

следует, что Sn (x)

равномерно сходится к S(x)

на a, b .

Рассмотрим оценку:

n b

S(x)dx uk (x)dx

S(x)dx

(x) dx

(S(x) Sn (x))dx

k 1 a

k 1

b			ε	b
	S(x) Sn (x)	dx		dx

a			b a a

Получили, что для любого ε 0 n N ε справедливо неравенство:

ε (b a) ε. b a

существует номер N ε такой, что при

				b				n b
				S(x)dx uk (x)dx							ε.
Значит,				a				k 1 a
Значит,				n b					b
				n b	u		(x)dx		b	S(x)dx
				lim	u	k	(x)dx			S(x)dx
				n		k
				k 1 a					a
				b				b
				un (x)dx S(x)dx.
				k 1 a				a
b								b
Таким образом,		un		(x) dx un (x)dx.
a	n 1				n 1 a						Что и требовалось доказать.
											Что и требовалось доказать.
Замечание. Пусть			выполнены					условия теоремы 6. Рассмотрим
			x					x a;b . Из доказательства теоремы 6
функциональный ряд			un (t)dt при					x a;b . Из доказательства теоремы 6

n 1 a

следует, что этот функциональный ряд сходится равномерно на a, b к S(t)dt

и, в частности, имеет место равенство:

un (t)dt S(t)dt.

n 1 a

Пример 16. Доказать,

что

функция

S(x) ne nx непрерывна при

n 1

x ln2;ln3 и вычислить

ln3

S(x)dx.

ln2

► Решение. 1) Оценим un (x) при x ln2;ln3 :

un (x)

ne nx

enx

enln2

2) Ряд

сходится по признаку Даламбера, так как

n 1 2

n 1

n 1 1

lim

n 2n 1

2n n

3) По признаку Вейерштрасса ряд ne nx равномерно сходится на

n 1

ln2;ln3 .

4) Функции un (x) ne nx

непрерывны при любом n 1,2, .

5) По

теореме 5

функция

S(x) ne nx

непрерывна

и по

теореме 6

получаем:

n 1

ln3

n ln3

S(x)dx

d( nx)

ln2

n 1

n 1 ln2

n 1

nln2

ln3

nln3

nln2

ln2

n 1

n 1 3

сумма бесконечной

. ◄

геом.прогрессии

Теорема 7. (о почленном дифференцировании функциональных рядов).

Пусть

1)Функциональный ряд (2.1) сходится на a, b ;

2)Все функции un (x) дифференцируемы на a, b и un (x) непрерывны на

a, b , n 1,2, ;

3) Функциональный ряд un (x) сходится равномерно на a, b ,

n 1

тогда

S (x)

n 1



un (x)		(x),
un (x)	un	(x),
	n 1

то есть функциональный ряд можно почленно дифференцировать на a, b .

Доказательство.		По	теореме 5 функция T(x)
Доказательство.	Пусть T(x) un (x).	По	теореме 5 функция T(x)
	n 1
	a, b , так как по условию
непрерывна на					(x)
непрерывна на		un (x)		- непрерывны и un	(x)
сходится равномерно на a, b .				n 1
сходится равномерно на a, b .
Функция T(x) непрерывна, следовательно,			интегрируема, при этом ряд

		до x:
un (x) можно интегрировать почленно от a		до x:

n 1

x	x			x
						(t)dt	(un (x) un (a))
T(t)dt un		(t) dt			un	(t)dt	(un (x) un (a))
a	a n 1			n 1 a			n 1
			рядысходятся

un (x) un (a)							S(x) S(a).
n 1	n 1		по условию теоремы
Получили, что							x
							x
				S(x) S(a) T(t)dt.
							a	x
								x
Данная	функция		непрерывна			и		T(t)dt
Данная	функция		непрерывна			и	S (x) T(x), так как	T(t)dt

дифференцируем по теореме Ньютона-Лейбница как функция верхнего предела

[10, стр.115], то есть

(x)

(x) un

при x a;b .

n 1

Что и требовалось доказать.

cosnx

Пример 17. Доказать, что

функция

f (x)

дифференцируема

5 2

при x R.

n 1

► Решение. 1) При x R и n 1,2, имеем

cosnx

n5 2

При этом числовой

ряд

сходится

по

интегральному

признаку

n 1 n5 2

cosnx

Коши. По признаку Вейерштрасса ряд

n 1

сходится равномерно.

n5 2

cosnx

2) Функции un (x)

дифференцируемы

для любых n 1,2, и

n5 2

n2 sinnx

cosnx

(x)

имеют непрерывные производные un

n7 2

n2 sinnx

cosnx

3) Функциональный

ряд

(x)

сходится

7 2

n 1

равномерно по признаку Вейерштрасса, так как

n2 sinnx	5	cosnx	4

2

n7 2				n3 2

иряд 4 n3 2 сходится по интегральному признаку Коши.

n 1

4) Условия

теоремы

выполняются,

следовательно,

функция

f (x)

cosnx

дифференцируема при x R и

5 2

n 1 n

n2 sinnx

cosnx

. ◄

7 2

(x) un (x)

n 1

Пример 18. Найти сумму ряда

► Решение. 1) Так как

n 1

(n 1)

un 1

lim

то по признаку Даламбера ряд сходится, если

x 1.

( 1)

При

x 1

получаем

числовой

ряд

который

сходится

по

признаку Лейбница.

n 1

При

x 1 получаем

числовой

ряд

который

расходится

как

гармонический ряд.

n 1

Область сходимости ряда: 1 x 1.

1;1

n 1

2) Функции

un (x)

дифференцируемы

на

(x) x

непрерывны на 1;1 , n 1,2, .

3)Функциональный ряд un (x) xn 1 сходится равномерно на δ;δ

n 1	n 1
при любом 0 δ 1 (но имеет	неравномерную сходимость на 1;1 , см.

пример 6 этой главы). Действительно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]