Теория рядов. Учебное пособие

Свойство 2. Если ряды an и bn сходятся, тогда сходятся ряды

n 1 n 1

(an bn ) и справедливо равенство

n 1

(an bn ) an bn .

Доказательство. Обозначим через An частичные суммы ряда an , а через Bn

n 1

частичные суммы ряда bn . Так как ряды сходятся, то существуют пределы

n 1

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что

limSn lim An lim Вn A B.

n n n

Что и требовалось доказать.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно: сумма рядов может сходиться, в то время как каждый ряд расходится. Примером тому

§1.4 Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Определение 2. Числовой ряд an , все члены которого неотрицательны

n 1

an 0, (n 1,2,...), называется неотрицательным рядом или рядом с неотрицательными членами.

Определение 3. Последовательность Sn называется ограниченной сверху, если найдется такое число M , что для всех натуральных значений n 1,2,... выполняется неравенство Sn M .

11

Теорема 2. Для сходимости ряда an с неотрицательными членами

n 1

необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм S1,S2 ,...,Sn ,... была ограничена сверху.

Доказательство. Заметим, что в силу неотрицательности членов an

последовательность Sn частичных сумм является монотонно неубывающей:

Sn Sn 1 Sn an для любого n N .

Необходимость. Пусть ряд an сходится, а значит, существует

n 1

конечный limSn S. Тогда по теореме Вейерштрасса о пределе возрастающей

n

последовательности (неубывающая последовательность сходится тогда и

б) из расходимости ряда an следует расходимость ряда bn .

Доказательство. Обозначим через An и Bn , соответственно, частичную сумму первого и второго рядов:

последовательности его частичных сумм

12

последовательность частичных сумм An ряда an также ограничена сверху и,

n 1

как было замечено, является неубывающей, а значит, имеет предел

limAn A,

n

причем A B.

согласно которому ряд an расходится. Полученное противоречие доказывает

n 1

наше утверждение.

Теорема доказана.

Замечание. Из леммы 1 следует, что теорема 3 остается в силе, если условие (1.7) выполняется при всех n, начиная с некоторого m.

то из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an , а из расходимости

Доказательство. Запишем неравенство (1.8), полагая k m, m 1, ,n 1:

am 1 bm 1 am bm

……

13

(k ε)bn , из сходимости которого в силу неравенства (1.10) и теоремы 3

n 1

следует сходимость ряда an .

n 1

14

В случае, когда сходится ряд an , доказательство строится аналогично

n 1

с той лишь разницей, что следствие из неравенства (1.9) запишем в виде:

должен расходиться, так как иначе в силу доказанного в пункте а) этой теоремы

сходился бы и ряд an , а это невозможно.

n 1

Теорема доказана.

Задачи для самостоятельного решения.

12-17. Исследовать сходимость рядов, используя теоремы сравнения:

На основании сравнения исследуемого ряда с рядом геометрической прогрессии, знакомой еще из школы, доказываются следующие два часто используемых достаточных признака сходимости рядов: признак Даламбера и признак Коши.

§1.6. Признак Даламбера

Теорема 5. Пусть дан ряд an , где an 0 для всех n N .

n 1

Если существует lim an 1 l, то

n an

при l 1 ряд сходится, при l 1 ряд расходится,

15

при l 1 ряд может как сходиться, так и расходиться, т.е.

предела lim an 1 l следует, что, начиная с некоторого номера N, выполнено

n an

неравенство: an 1 l q l. Раскрывая модуль, получим an

q l an 1 l q l . an

Отсюда можно записать: an 1 q, то есть an 1 qan . an

Выпишем это неравенство для значений n, начиная с номера N: aN 1 qaN

aN 2 qaN 1 q2aN

………………………

aN p qpaN

………………………

Рассмотрим теперь два ряда:

a1 a2 ... aN aN 1 aN 2 ...

и

aN qaN q2aN ....

Второй из этих рядов есть не что иное, как геометрическая прогрессия с знаменателем 0 q 1, а значит сходится (см. пример 1). По теореме 3

p 1

(лемма 1).

2) Пусть l 1. Из существования предела lim an 1 l следует, что, начиная с

n an

модуль l 1 an 1 l l 1, можно записать его в виде: an 1 1.

Запишем это неравенство для значений n, начиная с номера N:

16

aN 1 aN ,

aN 2 aN 1 aN , и т.д.

Следовательно, члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, то есть не

aN p , а вместе с ним и ряд an расходятся.

3) Пусть l 1. В этом случае признак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться и сходящимся, и расходящимся. Приведем такие примеры.

1

Рассмотрим ряд n 1 n(n 1)(n 2). Он сходится, это видно из примера 2.

1

Аряд n – расходится (см. пример 3). При этом в обоих случаях пределn 1

n

Теорема доказана.

Заметим, что существует формулировка признака Даламбера в другом виде:

Теорема 5.1. а) Если существует число q (0,1) и номер m такие, что для всех

n m выполняется неравенство an 1 q, то ряд сходится; an

б) если существует номер m такой, что для всех n m выполняется неравенство

an 1 1, то ряд расходится. an

p 1

17

пример1 и свойство 1) и an 0 при всех n N , то по теореме 3 сходится ряд am p , откуда

n!

Поэтому ряд n 1 nn сходится. ◄

Задачи для самостоятельного решения.

18-31. Применяя признак Даламбера, исследовать сходимость рядов: