Теория рядов. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

При этом, например, на интервале

ряд сходится равномерно, а на

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

На	рис.2.1	приведена
геометрическая		интерпретация
определения		равномерной
сходимости	последовательности
функций.	Рассмотрим		график
функции f x и её «ε-полоску»,
тогда найдется номер N такой, что
какую бы функцию		fn x ,	n N ,
ни взяли,	графики	fn x	будут

попадать в эту «ε-полоску».

Рис.2.1

Пример 5. Исследовать

на

равномерную

сходимость

на

0,1

последовательность функций

1, x, x2, , xn ,

► Решение. 1) Рассмотрим данную последовательность fn (x) xn .

На отрезке

0, q , 0 q 1,

эта последовательность сходится равномерно к

функции

f (x) 0. Действительно, если

0 x q, то

0 xn

qn ,

n 1, 2,

Так

как

limqn 0,

то

для

любого

фиксированного

ε 0

существует

номер

N ε такой, что

qn ε

для всех n N ε

x 0, q , 0 q 1.

2) Рассмотрим

последовательность

fn (x) xn

на полуинтервале

0,1 . В этом

случае

равномерной

сходимости

нет

(рис.2.2). Последовательность

fn (x) xn на

полуинтервале 0,1 может равномерно

сходиться только к функции

f (x) 0.

Но

Рис.2.2

заметим, что при любом фиксированном

натуральном n

limxn 1.

x 1

То есть

fn (x) сходится к

f (x), где

f (x)

x 1

0 x 1

Следовательно, каково бы ни

было

0 ε 1,

при

фиксированном

найдётся

x ,

0 x 1,

такое, что x

ε. Например,

возьмем

. Тогда x 0,1 при любом натуральном n, при этом

n 2

f x

ε.

n 2

Значит, последовательность функций fn (x) ,	n 1, 2, ,	на множестве
0,1 сходится неравномерно. ◄
Определение 6. Функциональный ряд (2.1)	называется	равномерно

сходящимся на множестве D к своей сумме S x , если последовательность его частичных сумм Sn x сходится равномерно на множестве D к функции S x .

Пусть ряд (2.1) сходится в области D. Обозначим через n (x) разность между суммой ряда S x и его частичной суммой Sn x , то есть

	n
n x S x Sn x uk x uk x		uk x ,
k 1	k 1	k n 1

функцию n (x) называют остатком ряда (2.1).


Если функциональный ряд (2.1) равномерно сходится на множестве D к
своей сумме S x , то по определениям 5 и 6 получаем
		Sn x S x		ε
		Sn x S x		ε
для любого ε 0, всех n N		ε , x D.		То есть
		S x Sn x			ε
		S x Sn x			ε
или		n x	ε.
или		n x	ε.
Таким образом, определение 6 равносильно следующему:
Определение 7. Ряд (2.1) называется равномерно сходящимся в области D,
если для любого ε 0	существует номер N ε не зависящий от					x, x D,

такой, что при n N ε выполняется неравенство:

n x ε.

Впротивном случае, ряд сходится неравномерно, то есть существует ε 0 такое, что для любого номера N ε найдутся n N ε и x D, при которых

выполняется неравенство:

n x ε.

Пример 6. Рассмотрим ряд xk . Данный ряд сходится на интервале 0;1 .

k 1

интервале 0;1 равномерной сходимости нет.

► 1) Докажем сходимость на интервале 0;1 .

Так

как

Sn x x x2

... xn

x xn 1

(сумма

первых n

членов

геометрической прогрессии), то

x 1

limSn x lim

x xn 1 .

x 1

Если

0 x 1, то lim xn 0 и

S x lim S

1 x

при x 0;1 сходится.

Следовательно, xk

k 1

2) Покажем, что на интервале

ряд сходится равномерно. Оценим

остаток ряда:

n x

S x Sn x

сумма бесконечной геометрической

прогрессии с первым членом

1 n 1

k n 1

xn 1 и знаменателем x

xn 1

1 x

ε,

n log

Поставим условие

тогда

N ε

Возьмем

log

для любого ε 0

N ε не

Так

как

при

существует

номер

n x

зависящий от

x, что при n N ε

справедливо неравенство

ε, то на

интервале 0;

ряд

сходится равномерно.

k 1

3) Покажем, что на интервале 0;1 равномерной сходимости нет.

Возьмем любое 0 ε 1

и рассмотрим x

n 1

0 x

1 , тогда

n x

xn 1

ε,

1 x

1 n 1

что справедливо для любого номера n. Значит, на интервале 0;1 у ряда xk

k 1

равномерной сходимости нет. ◄

Замечание. Равномерная сходимость функционального ряда является более сильным требованием, чем просто сходимость. Как показано выше (пример 6), из сходимости не следует наличие равномерной сходимости. Если нет сходимости, то равномерной сходимости также нет. Действительно, из отсутствия сходимости следует, что не существует предельной функции для последовательности частичных сумм. Поэтому равномерной сходимости быть не может.

Пример 7. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

на D 0, .

n 1 (2x n)(2x n 1)

► Решение. Члены исходного ряда представимы в виде:

un (x)

(2x n)(2x n 1)

2x n

2x n 1

Тогда частичные суммы можно вычислять по формулам:

Sn (x)

2x 1

2x 2

2x 3

2x 4

2x n

2x 1

2x n 1

Следовательно,

S(x) lim Sn(x)

lim

n 2x 1

n 1

2x 1

Таким образом, функциональный ряд

сходится.

n 1 (2x n)(2x n 1)

Исследуем на равномерную сходимость данный функциональный ряд. При

x 0, имеем:

Sn(x) S(x)

2x 1

2x n 1

2x 1

2x n 1

n 1

Если

ε,

тогда

n 1

Возьмем

N ε

1 .

N ε

не зависящий от x, что

Так как для любого ε 0 существует номер

при n N ε

справедливо неравенство

Sn x S(x)

ε,

то на D 0,

		1
ряд			сходится равномерно. ◄

	n 1 (2x n)(2x n 1)
	Пример 8. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд
	( 1)n
		на D , .
	2n sinnx
n 1

► Решение. Данный функциональный ряд при любом x из D удовлетворяет условиям признака Лейбница. Действительно

1)для любого n 1, 2, справедливо

2n sinnx 2(n 1) sin(n 1)x

так как

;

2n sinnx

2n 1

2(n 1) sin(n 1)x

lim

2n sinnx

Таким образом, по признаку Лейбница ряд сходится, причем справедлива

оценка

( 1)

Sn(x) S(x)

un 1(x)

k n 1 2k sinkx

2(n 1) sin(n 1)x

2n 1

Если

ε,

тогда

1 ε

2n 1

2ε

1 ε

Возьмем

N ε

2ε

N ε не зависящий от x, что

Так как для любого ε 0 существует номер

при n N ε справедливо неравенство

Sn x S(x)

ε,

то на D ,

( 1)n

ряд

сходится равномерно. ◄

2n sinnx

n 1

Теорема 1. (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если

функциональный

ряд (2.1)

равномерно

сходится на

множестве

D, то

последовательность его членов un (x), n 1,2, , равномерно сходится к нулю на множестве D.

Доказательство. Пусть функциональный ряд (2.1) равномерно сходится на множестве D к функции S(x). Тогда по определению 6 для любого ε 0

существует номер N ε такой, что при n N ε справедливо неравенство:

Sn x S x ε

для всех x D.

Оценим значение un (x) :

un (x) Sn (x) Sn 1(x) Sn (x) S(x) S(x) Sn 1(x)

(Sn

(x) S(x)) (Sn 1(x) S(x))

(x) S(x)

Sn 1

(x) S(x)

Если ряд (2.1) равномерно сходится, то для любого ε 0 существует номер N ε не зависящий от x такой, что при n N ε справедливо неравенство:

un (x) ε,

что и означает равномерную сходимость последовательности функций un (x), n 1,2, , к нулю на множестве D.

Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение данной теоремы неверно, то есть из равномерной сходимости членов un (x), n 1,2, , не следует равномерная сходимость функционального ряда (2.1). Как показывает пример 9, условия теоремы 1 не являются достаточными, то есть если последовательность членов ряда un (x),

n 1,2, , равномерно сходится к нулю на множестве		D, то это вовсе не
означает, что функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве D.
Пример 9. Рассмотрим функциональный ряд		1	на множестве
	n 1 n x2

D ( ; ). Покажем, что общий член ряда равномерно сходится к нулю, но сам ряд не имеет равномерной сходимости.

► 1) Докажем равномерную сходимость un (x) n x2 к нулю.

По определению 5:

	un (x) 0				1	0				1			1	.
					1					1			1

		1		n x2			1			n x2			n
Если		1	ε, то		n		1	.
Если			ε, то		n			.
		n					ε				1
Значит, можно					взять				N ε		1	1. Таким образом, для любого			ε 0
Значит, можно					взять				N ε			1. Таким образом, для любого			ε 0
											ε

существует номер N ε ,	удовлетворяющий условиям определения 5, и
последовательность un (x)	1	равномерно сходится к нулю.
	n x2

		1
2) Покажем, что ряд	n 1		не только не имеет равномерной
2) Покажем, что ряд		n x2	не только не имеет равномерной
		n x2

сходимости, но и является расходящимся при любом x ( ; ). Действительно, при любом фиксированном х получаем числовой ряд,

члены

которого положительны.

Исследуем

сходимость

ряда

n x

используя интегральный признак Коши:

n 1

lim ln(t x2 )

dt lim a

d(t x2 )

t x2

a t x2

t x2

lim ln(a x2 ) ln(1 x2 ) limln(a x2 ) ln(1 x2 ) .

Следовательно, ряд

не

сходится ни в одной точке,

а это

n x

n 1

означает, что нельзя говорить и о равномерной сходимости. ◄

Теорема 2 (Критерий Коши

равномерной

сходимости

функционального

ряда). Функциональный ряд (2.1) равномерно сходится тогда и только тогда,

когда для любого ε 0	существует номер N ε				такой, что при n N ε и
любого p при любом x D выполняется условие:
		n p	x
		n p
		uk		ε.	(2.4)
		k n 1
Доказательство. Заметим, что
n p	n p		n
uk x uk x uk x Sn p (x) Sn (x).
k n 1	k 1		k 1
1) Необходимость.
Пусть функциональный ряд (2.1) равномерно сходится, тогда для любого
ε 0 существует номер	N ε не		зависящий от		x такой, что при n N ε

справедливо неравенство:

Sn x S(x) ε.

В силу произвольности ε данное неравенство выполняется, если взять ε :

Sn x S(x) ε .

Очевидно, что также верно:

Sn p x S(x) ε .

Тогда

n p
uk x Sn p (x) Sn (x) Sn p (x) S(x) (Sn (x) S(x))
k n 1		(x) S(x)) ε ε ε.
Sn p	(x) S(x) (Sn	(x) S(x)) ε ε ε.
		2	2

Таким образом, из равномерной сходимости ряда (2.1) следует, что для любого ε 0 существует номер N ε такой, что при n N ε и любого номера p выполняется условие:

n p

uk x ε.

k n 1

2) Достаточность.

Пусть выполняется условие (2.4) теоремы.

При любом фиксированном значении x D ряд (2.1) является числовым. Из неравенства (2.4) и критерия Коши сходимости числовой последовательности вытекает сходимость последовательности Sn (x) в каждой точке x D к предельной функции S(x).

		ε
Возьмем некоторое значение ε 0 и найдем	N		такое, что для всех
		2

n N и всех натуральных p будет выполнено неравенство:

Sn p (x) Sn (x) ε . 2

Зафиксировав произвольный номер n N ε и произвольную точку x D, перейдем к пределу при p , при этом Sn p (x) будет сходиться к предельной функции S(x):

S(x) Sn (x) ε ε. 2

Это означает, что функциональный ряд (2.1) сходится равномерно.

Что и требовалось доказать.

Приведём пример доказательства равномерной сходимости функционального ряда с помощью критерия Коши.

Пример 10. Доказать равномерную сходимость функционального ряда

	x	на 0;2 .

n 1 3n
	1 nx2

► Решение. Воспользуемся критерием Коши:

n p

так как

n p

сумма членов

uk x

0 x 2

геом.прогрессии

1 kx

k n 1

				1 p
	1		1					1			3			1
			1
2				3		2									.
2	3n 1			1		2		3n 1							.
	3n 1			1				3n 1	2					3n
			1
			1
	1			3								1						1
	1											1						1
Если			ε,		тогда n log3								. Значит,			можно взять N ε log	3		1.
Если	3	n	ε,		тогда n log3							ε	. Значит,			можно взять N ε log	3	ε	1.
	3											ε						ε
										x
По критерию Коши ряд							n 1			x					равномерно сходится на 0;2 . ◄
По критерию Коши ряд								3n							равномерно сходится на 0;2 . ◄
								3n	1 nx2
Из критерия Коши, в частности, следует, что функциональный ряд (2.1)
сходится неравномерно на множестве D, если существует ε 0 такое,																	что для
любого номера N ε						найдутся натуральные										n N ε и p, а также найдется

значение x D, что выполняется неравенство:

n p

uk x ε.

k n 1

Приведём пример ряда, который сходится в некоторой области D, но не имеет равномерной сходимости в этой области.

Пример 11. Исследовать равномерную сходимость ряда

3n sin

на

D (0; ).

n 1

► Решение.

1) При любом фиксированном x (0; )

имеем числовой ряд,

который сходится по признаку Даламбера:

n 1

sin

при n

n 1

5n 1 x

lim

sin

5n x

2) Для исследования на равномерную сходимость воспользуемся критерием

Коши, согласно которому имеем:

n p

3k sin

3n 1 sin

3n 2 sin

3n p sin

n 1

n 2

n p

k n 1

Возьмем n p,

, тогда

3k sin

3n 1 sin

3n 2 sin

32n sin

3n 1 sin

9sin

k n 1

Если взять ε 9sin 1, то получаем при любом n

		2n		1
		3k sin		1				ε.
		3k sin		k		x		ε.
		k n 1	5			x
Следовательно, равномерной сходимости нет.
				1
То есть, на D (0; )	ряд 3n sin			1			сходится неравномерно. ◄
То есть, на D (0; )	ряд 3n sin			n			сходится неравномерно. ◄
		n 1	5		x

Задачи для самостоятельного решения.

159.-164. Исследовать по определению равномерную сходимость функциональных рядов:

159.

на D

;1 .

160.

на D 1;1 .

narcsin x

n 1

( 1)n arctgxn

( 1)

161.

на D 1; .

162.

на D 0;1 .

n 1

( 1)n

163.

на D ( ; ).

164.

на D (0; ).

n 1

n cosnx

n 1

165.-170. С помощью признака Коши исследовать равномерную сходимость функциональных рядов:

n 1

165. n 1

на D (0; ).

166.

на D (0;1).

1 n2x2

sin

167.

на D [0; 2 ].

168.

на D ( 1;1).

n 1

169.

на D (0; ).

170.

sin

на D (0; ).

1 n

n 1

§2.3 Признак Вейерштрасса

Ряд

(2.1)

мажорируется на

множестве

D числовым

рядом an с

n 1

неотрицательными членами, если для любого x

из множества

D и любого

натурального n справедливо равенство:

un (x)

an .

(2.5)

Ряд an также называют мажорантным рядом для (2.1) или мажорантой.

n 1

Теорема 3. (Признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд (2.1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]