Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория рядов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

285. arcctg	1	, ε 10 4 .	286. ch1, ε 10 5 .	287. sh2, ε 10 4 .

3

288-308. Вычислить интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд:

	1		x2
288.	e			3 dx
288.	e			3 dx
	0
	0,5ln(1 x2)
291.								dx
291.						x		dx
	0
	0,6
294.	x2 arctg(2x2)dx
	0
	0,7
297.		sinx2					dx
297.				x			dx
	0
	1 2			dx
300.				dx

			1 x				3
	1 3		1 x
	0,125
303.	3				cos2 xdx
303.	3			x	cos2 xdx
	0

306.x2 41 x2 dx

0,4

	2											0,5
289.	cos					dx						arctg x2dx
289.	cos			x		dx					290.	arctg x2dx
	0											0
	2 3											0,5
292.	x2 ln(1 x6)dx										293.	xe xdx
	0											0
	1											1
295.	sin x2dx										296.	x3 cosx3 dx
	0											0
	1 3											1				x
		1 x3					dx					3			e		dx
298.											299.					2
298.											299.			x		2
	0											0
	0,5		x2									0,25
301.	cos					dx					302.	ln(1								)dx
																		x
																		x
	0	4										0
	0											0
	1					x3						1,5	x sin x
304.	arcctg					x3			dx		305.								dx


	0,5				4										x
	0											0
	0	1 cos						5x				0
307.		1 cos						5x		dx	308.	xln(1 2x3)dx
307.		2								dx	308.	xln(1 2x3)dx
				x								1 3
	1 5

309-322. Вычислить пределы, используя разложения в степенной ряд:

309. lim	1 cosx	.	310. lim	sin x arctgx	.

x 0 x2			x 0	x3

311.

lim

1 e3x

lim

arctgx3

312.

x 0

313.

lim

ex cos2x

314.

lim

e2x e5x

x 0

315.

lim

ln(1 3x4)

316.

lim

ln(x 3) ln3

x 0

101

317. lim

e x 1

318. lim

arctg2x2 2sin x2

x 0 4x

x 0

319. lim

1 2x

320. lim

2cosx

16 x3

sinx

x 0

321. lim

ln(1 x)

322. lim

ex e x

x 0 ex

e x

x 0

x sin x

323-340. Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в

степенной ряд

решения

y y(x)

дифференциального уравнения,

удовлетворяющего начальным условиям:

323.

y cosx y2 ,

y(0) 1.

324.

y ex y2,

y(0) 0.

325.

y 2y y3 ,

y(0) 2.

326.

y 2ey xy,

y(0) 0.

327.

y sinx y2 ,

y(0) 1.

328.

y ex2

3y,

y(0) 1.

329.

y x3 y3 ,

y(0) 1.

330.

y sin2x ey ,

y(0) 0.

331.

y x 2x2 3y2 ,

y(0) 2.

332.

y 2x cos y ,

y(0) 0.

333.

y x

y(0) 3,

y (0) 3.

334.

y ysin x xy ,

y(0) 1,

y (0) 2.

335.

y y y e3x , y(0) 2,

y (0) 2.

336.

x y

y(0) 1,

y (0) 4.

337.

(2 x

y(0) 2,

y (0) 3.

338.

y(0) 5,

(0) 1.

2y ye

339.

y 2cos x yy 2,

y(0) 2,

y (0) 0.

340.

y (x 1)sin(xy ), y(0)

y (0) 1.

102

Глава 3. Ряды Фурье

§3.1 Введение

Как уже отмечалось нами ранее, представление функции f (x) в виде ряда

Тейлора в окрестности точки x0 , т.е. в виде			f n (x0 )
f (x) f (x0)	f (x0 )	(х x0 ) ...		(х x0 )n	(3.1)

1!			n!

позволяет решить некоторые сложные задачи. В частности, такое представление позволяет находить достаточно точно численные значения функции, установить ряд свойств функции (например, доказать формулы Эйлера), решать дифференциальные уравнения и т.д. Представление функции f (x) в виде (3.1) позволяет решить перечисленные и другие задачи ещё и потому, что каждое из слагаемых в правой части (3.1) представляет собой достаточно простую функцию. Cложная функция f (x) представлена в виде суммы простейших функций

1, (х x ),	(х x )2	,...,	(х x )n,... .	(3.2)
0	0		0

Можно сказать, что представление функции в виде ряда (3.1) в какой–то мере сходно с разложением многочлена на множители или разложением дробнорациональной функции на простейшие. Наряду с системой многочленов (3.2) нам хорошо известна система тригонометрических функций

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,... .	(3.3)
В дальнейшем будет показано, что кроме представления функции	f (x) в

виде (3.1) огромное значение имеет представление функции f (x) в виде ряда по функциям (3.3), а именно в форме

f (x)	a0	(a cosx b sinx) (a		2	cos2x b sin2x) ...	(3.4)

2		1	1		2

Ряд, стоящий в правой части (3.4) будем называть тригонометрическим
рядом. Все функции (3.3)			периодичны с периодом 2π , следовательно, все
функции в правой части (3.4) периодичны,					а это означает, что функции	f (x),

представимые в виде (3.4), также периодичны с периодом 2π . Таким образом, тригонометрические ряды являются аппаратом для представления периодических функций с периодом 2π .

§3.2 Понятие ортогональности функций на отрезке. Ортогональность тригонометрических функций

В этом параграфе дадим определение ортогональности функций на заданном отрезке и установим ортогональность тригонометрических функций на отрезке π,π .

103

а,b

Определение 1. Две функции f (x) и g(x) называются ортогональными на отрезке а,b , если

f (x)g(x)dx 0.

В частности, f (x) 0 для x а,b , ортогональна любой интегрируемой на функции. Исследуем ортогональность тригонометрических функций на

отрезке π,π . Установим первоначально следующее утверждение.

Лемма 1. Если k любое, отличное от нуля, целое число, то справедливы равенства

π π

coskxdx 0 ;					sinkxdx 0.
π					π
Доказательство. В самом деле
π			1					ππ 0,
coskxdx			1	sinkxdx
coskxdx			k	sinkxdx
π			k
аналогично	1					1
π				ππ			coskπ cos kπ 0.
sinkxdx		coskxdx


π	k					k

Лемма доказана.

Сформулируем и докажем одно из основных утверждений параграфа.

Теорема 1. Любые две различные функции системы (3.3) 1, cosx, sin x, cos2x, sin2x, cos3x,...

ортогональны на промежутке π,π .

Доказательство. При доказательстве теоремы мы должны из системы функций (3.3) выбирать различные пары и вычислять интеграл от их произведения. Прежде всего отметим, что на основании леммы, единичная функция ортогональна всем остальным функциям. Рассмотрим все различные случаи выбора пар. Такими парами могут быть либо cosnx и cosmx, либо sinnx и sin mx, либо cosnx и sinmx. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

а) Пусть выбрана пара функций cosnx и cosmx, n m.						Тогда, используя
равенство			1
cosα cosβ			1	cos α β cos α β ,
cosα cosβ				cos α β cos α β ,
имеем		2
имеем
π cosnxcosmxdx	1	π cos n m xdx			π cos n m xdx .
π cosnxcosmxdx		π cos n m xdx			π cos n m xdx .
	2
π	2	π			π

104

B силу леммы 1 оба слагаемых, стоящие справа в последнем равенстве, равны нулю, а это означает, что cosnх ортогонален cosmx, m n, на отрезке

π,π .

б) Пусть выбрана пара функций sinnx и sinmx, тогда, применив формулу

sinα sinβ 1 cos α β cos α β , 2

получаем

π	1	π	π
sinnx sinmxdx		cos n m xdx cos n m xdx .
sinnx sinmxdx	2	cos n m xdx cos n m xdx .
π	2	π	π

По лемме 1 оба слагаемых из правой части последнего равенства равны нулю, т.е. функции sinnx и sinmx, n m, ортогональны на отрезке π,π .

в) Если же выбрана пара cosnх и sinmx, где n и m любые, в том числе и равные, то используя равенство

sinα cosβ 1 sin α β sin α β , 2

получаем

π sinmx cosnxdx	1	π sin m n xdx	π sin m n xdx .
π sinmx cosnxdx		π sin m n xdx	π sin m n xdx .
	2
π	2	π	π

По лемме 1 оба интеграла справа равны нулю, т.е. функции sinmx и cosnх ортогональны на указанном отрезке, при любых целых m и n.

Из проведенных рассуждений следует, что какие бы пары из функций системы (3.3) мы не брали, интеграл от их произведения на промежутке от π до π равен нулю. Тем самым теорема доказана.

При доказательстве подпунктов а) и б) теоремы 1, нами предполагалось, что m n. Выясним, что будет, если m=n. В этом случае имеет место утверждение.

Теорема 2. Для любого целого n, n 0, выполняются равенства:

π	π
cos2 nxdx π;	sin2 nxdx π.	(3.5)
π	π

Доказательство. Воспользовавшись хорошо известными тригонометрическими тождествами

cos2 α

1 cos2α

sin2

1 cos2α

имеем

cos

nxdx

dx cos2nxdx π,

sin

nxdx

dx cos2nxdx π,

105

так как по лемме 1

cos2nxdx 0.

Теорема доказана.

§3.3 Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье

Как было отмечено выше, если функция f (x) представима в виде тригонометрического ряда (3.3), то она периодична с периодом 2π . Рассмотрим функцию f (x) заданную на отрезке π,π , периодичную с периодом 2π , которую можно представить в виде тригонометрического ряда. Найдем коэффициенты такого представления. Докажем утверждение, которое гарантирует единственность представления функции тригонометрическим рядом.

Теорема 3. Если непрерывная функция f (x), заданная на отрезке π,π , разлагается в тригонометрический ряд, то коэффициенты этого ряда определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд, т.е. имеет место равенство (3.4). Перепишем это равенство ещё раз.

f (x) a0 (a1 cosx b1 sin x) (a2 cos2x b2 sin2x) (a3 cos3x b3 sin3x) ...

Проинтегрируем последнее равенство по отрезку π,π , используя, что в нашем случае интеграл суммы равен сумме интегралов. Так как в правой части стоит бесконечное множество слагаемых, то приведенное утверждение нуждается в обосновании, которое следует из теоремы 2 главы 2. Итак

f х dх

dх a1

cosxdх b1

sin xdх

cos2xdх b2

sin2xdх ...

По лемме 1 все слагаемые в последнем равенстве, начиная со второго, равны нулю, а это означает, что

π			a0	π
f х dх			a0	dх a0 π
f х dх				dх a0 π
π	2			π
или	1 π
	1 π
a0		π f х dх ,			(3.6)
a0	π	π f х dх ,			(3.6)

т.е. свободный член разложения (3.4) определяется единственным образом формулой (3.6).

106

Перейдем к нахождению остальных коэффициентов разложения (3.4). Для нахождения коэффициента ak , k 1,2,..., умножим равенство (3.4) на coskх. В результате чего получим

f (x) coskx a0 coskx (a1 cos x coskx b1 sin x coskx) ...

(ak cos2 kx bk sin kxcoskx) ...

Полученное равенство проинтегрируем на отрезке π,π , используя, что интеграл от ряда равен ряду от интегралов. Тогда по теореме 1 интегралы от всех слагаемых, за исключением выделенного подчеркиванием, равны 0, а по теореме 2 справедливо равенство

ππ

f х coskxdх ak cos2 kxdх π ak .

Отсюда следует, что

1 π

π f х coskxdх,

k 1,2,... .

(3.7)

Аналогично доказывается, что коэффициенты bk определяются формулой

f х sinkxdх,

k 1,2,... ,

(3.8)

π π

т.е. коэффициенты ak ,

bk ,

k 1,2,...,

разложения

(3.4) определяются

единственным образом формулами (3.7), (3.8).

Теорема доказана.

Введем следующее определение.

Определение 2. Если функция f (x)задана на отрезке π,π ,

то числа a0 ,

ak , bk , k 1,2,..., полученные по

формулам (3.6), (3.7),

(3.8)

называются

коэффициентами Фурье для функции

f (x), а ряд с этими коэффициентами

(ak coskx bk sinkx)

k 1

f (x).

называется рядом Фурье для функции

На основании вышесказанного теорему 3 можно переформулировать в

следующем виде.

отрезке π,π

Теорема 4. (единственности). Если непрерывная

на

функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд,

то это обязательно

ряд Фурье.

Замечание. Из теоремы 3 не вытекает, что всякая непрерывная функция

разлагается в ряд Фурье. Например, функция f (x) х, на отрезке	π,π не
разлагается в тригонометрический ряд на этом отрезке, т.к.
f ( π) π π f (π),

107

а сумма тригонометрического ряда одинаковые значения. В следующем утверждения, которые позволят выйти из

S(x) в точках π должна иметь параграфе будут сформулированы этой ситуации.

§3.4 Теоремы разложения

Сформулируем теорему, которая гарантирует разложение всякой дифференцируемой на отрезке π,π функции в ряд Фурье не на всем отрезке, а лишь в интервале ( π,π). Если при этом функция удовлетворяет ещё условию

f π) f (π ,

(3.9)

то разложение верно на отрезке π,π . Более точно справедливо утверждение.

Теорема 5. Если функция f (x)	задана на отрезке π,π ,			в каждой точке
этого отрезка имеет конечную	производную		то ряд Фурье этой
		f (x),
функции сходится на всей оси, причем его сумма S(x)			равна	f (x) в точках
x π,π , и

S( π) f π f π . 2

Замечание. В данной теореме речь идет лишь о точках из отрезка π,π , однако, так как эта сумма 2π –периодична, то её значение на π,π определяет значение этой суммы в любой точке числовой оси.

Пример 1. Рассмотрим f (x) х. Найти коэффициенты Фурье этой функции.

► Решение. Согласно (3.6)

	1		π	1	х2	π

a0			хdх
						0.
				π	2
		π	π			π

Из формул (3.7) и (3.8) с помощью интегрирования по частям и леммы 1 имеем:

cosnxdх dv

sinnx

хcosnxdх

xsinnx

sinnxdх

u x

du dx

(3.10)

2cosnπ

хsin nxdх

xcosnx

cosnxdх

π n

Как хорошо известно, cos nπ 1 n ,

n 1,2,...,

отсюда и (3.10) получаем:

108

		b 1 n 1			2	.

		n			n

Таким образом, функция	f (x) х на интервале ( π,π) представима в виде
следующего тригонометрического ряда
х 2		sin х	sin2х				sin3х	... .	(3.14)
							3
	1			2
Отметим, что в точках	х π, согласно теоремы 5								сумма ряда (3.11)
равна 0. График функции	S(x), которая определяется								равенством (3.11)
приведен на рис.3.1. Мы видим, что S(x)				– является разрывной функцией. ◄

Рис.3.1

Пример 2. Рассмотрим функцию f (x) х2 . Найти её коэффициенты Фурье.

► Решение. Вычислим

х3

dх

Интегрируя по частям, находим an

1 π

cosnxdх

sinnx

π π

nπ

2π2 . 3

π 2 π

xsinnxdх .

Но согласно (3.10)
π			2πcosnπ	1 n 1	2π
xsinnxdх			2πcosnπ		2π
xsinnxdх			n		n
π			n		n
и, кроме того,
x2 sinnx	π	π2 sinnπ π2 sin nπ 0.
x2 sinnx	π	π2 sinnπ π2 sin nπ 0.
	π
	π

Учитывая эти равенства, находим an :

an	1 n	4	.

		n2

Проведя аналогичные вычисления, находим, что bn 0. Окончательно разложение функции f (x) х2 на интервале от π до π имеет вид:

109

х	2	π2						cosх									cos2х								cos3х
				4																											...	(3.12)
		3		4								2						2		2							3			2	...	(3.12)
		3									1							2									3
Функция f (x) х2		удовлетворяет																условию (3.9), следовательно, формула
(3.12) верна на отрезке π,π . В частности, при х π имеем:
					2				π2							1				1					1
			π									4																	... .
			π								3	4				2				2		2			3		2		... .
											3				1					2					3
Отсюда вытекает справедливость равенства:
		1					1						1		...						π2											(3.13)
		1				22						32			...							6				1						(3.13)
						22						32										6
Если умножить обе части равенства (3.13) на																												, то получаем:
Если умножить обе части равенства (3.13) на																												, то получаем:
			1							1				1									π2		4
			1							1				1		...							π2	.
		22												62		...								.
		22						42						62								24
Вычитая это равенство из (3.13), получим
		1				1						1		...					π2				.◄
		1				32								...									.◄
						32					52									8

Функция S(x), равная сумме ряда справа в формуле (3.12), является 2π – периодичной функцией и её график изображен на рис.3.2.

							Рис.3.2
	Теорема 5			допускает			существенное		обобщение.	Пусть
f (x	0	0)	lim	f x , а	f (x	0	0) lim	f x . Если функция непрерывна в
	0		х х 0			0	х х0 0
			0

точке x0 , то

f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ).

При формулировке обобщения теоремы 5 нам потребуется понятие кусочно-дифференцируемой функции.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]