Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория рядов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

an x0n M , n 0,1,

Если x r, то

где q	r	1.
	x0

При этом ряд

n 1

nan xn 1

nanrn 1

an x0n 1

qn 1,

qn 1 сходится по признаку Даламбера:

n 1

(n 1)

lim

q lim

n 1

q 1.

n 1

Следовательно, ряд nanxn 1 на r; r мажорируем сходящимся рядом.

n 1

Тогда по признаку Вейерштрасса ряд nanxn 1 равномерно сходится.

n 1

Таким образом, все условия теоремы 7 выполняются, и ряд an xn можно

n 0

почленно дифференцировать, то есть

n 1

nan x

S (x) anx

n 0

n 1

2) По условию теоремы ряд (2.7) имеет радиус сходимости R 0. Вычислим

R1 - радиус сходимости ряда nanxn 1 :

n 1

nan

lim

R lim

lim

(n 1)an 1

n n 1 n

an 1

n 1

an 1

Значит, R1 R.

S(x)

3) Получили, что

сумма

ряда

(2.7)

внутри интервала сходимости

непрерывна и дифференцируема. При этом функция S (x) является суммой

степенного ряда с тем же интервалом сходимости R; R ,

значит, функцию

S (x) также можно дифференцировать. По индукции легко получить, что

S(k) (x) ann(n 1) (n (k 1))xn k ,

n k

то есть ряд (2.7) можно почленно дифференцировать любое число раз, при этом

радиусы сходимости получаемых степенных рядов также равны R.

Что и требовалось доказать.

x x3

Пример 23. Вычислить сумму ряда

x2n 1

► Решение. Имеем степенной ряд

4n 2

n 1

1) Найдём интервал сходимости данного ряда:

lim

n 1

lim

2(n 1) 1

x2n 1

lim

x2n 1(4n 2)

lim

x2 (4n 2)

(4n 2)x2n 1

4n 2

4(n 1) 2 4n 2

x2 lim

4n 2

x2 .

n 4n 2

Тогда x2

1, то есть 1 x 1.

x2n 1

2) По теореме 13 в интервале сходимости ( 1;1)

функция S(x)

4n 2

n 1

имеет

производную,

которую

можно

получить

почленным

дифференцированием ряда:

сумма бесконечной

2n 1

2n 2

геометрической

(x)

n 1

2 2

прогрессии

1 x2

2(1 x2)

3) Так как S(x) S

(t)dt, то

1 x 1

1 t

1 x

S(x)

1 x

2(1 t2 )

1 t

1 x

Таким образом,

. ◄

1 x

Теорема 14. Если степенной ряд (2.7) имеет радиус сходимости R 0, то

интервале

сходимости

( R; R)

функцию

S(x) anxn

можно

интегрировать, причем для любого x ( R; R)

n 0

справедливо:

x				an x	n 1
	n			an x
S(t)dt ant		dt				.
S(t)dt ant		dt				.
n 0 0			n 0	n 1

Радиус сходимости полученного ряда также равен R.

Доказательство. 1) Проверим выполнение условий теоремы 6 для ряда (2.7).

1.	По теореме 9 степенной ряд (2.7) равномерно сходится на r; r , где
0 r R.
2.	Функции un (x) an xn, n 0,1, , непрерывны при x ( R; R).

Условия теоремы 6 выполняются, значит, ряд (2.7) можно почленно интегрировать при x ( R; R), то есть

an x

n 1

S(t)dt ant

n 0 0

n 0

n 1

2) Вычислим R2 – радиус сходимости полученного ряда:

nan

an 1

n 2

lim

n 1 n 2

n n 1 n

an 1

n 1

an 1

Таким образом, радиусы рядов (2.7)

anxn 1

равны.

n 0

n 1

Что и требовалось доказать.

Пример 24. Вычислить сумму ряда 1 2 2 3 x 3 4 x2

► Решение. Имеем степенной ряд (n 1)(n 2)xn .

n 0

1) Найдём радиус сходимости данного ряда по (2.8):

R lim

(n 1)(n 2)

lim

n 1

n (n 2)(n 3)

n n 3

Тогда интервал сходимости:

1 x 1.

( 1;1)

функцию S(x)

2) По теореме 14 в интервале сходимости

можно

интегрировать:

(n 1)(n 2)

n 1

S(t)dt

(n 1)(n 2)t

(n 2)x

S1(x).

n 0 0

n 0

n 1

n 0

Полученный ряд является степенным и по теореме 14 сходится при x ( 1;1), а значит, его можно ещё раз проинтегрировать:

n 1

n 2

(t)dt

(n 2)t

(x).

n 0 0

n 0 n 2

n 0

3) Вычислим сумму S2 (x) полученного ряда:

сумма бесконечной

S2 (x) xn 2

геометрической

1 x

n 0

прогрессии

2x x

4) Так как S (x) S

(x) , то S (x)

1 x

(1 x)

				2x x	2	2
При этом S(x) S	(x) , значит	S(x)						.
При этом S(x) S	(x) , значит	S(x)			2		3	.
1				(1 x)	2	(1 x)	3
				(1 x)		(1 x)
Таким образом, 1 2 2 3 x 3 4 x2				2	. ◄
Таким образом, 1 2 2 3 x 3 4 x2			(1 x)3		. ◄
			(1 x)3

Задачи для самостоятельного решения.

224-227. Используя дифференцирование, вычислить сумму степенного ряда:

4n 2

2n 1

224.

, 1 x 1.

225.

( 1)n

4n 2

5n(2n 1)

n 0

(x 3)

n 1

(1 x

)

226.

, 4 x 2.

227.

( 1)n 1

, 1 x 1.

n2 n

n 1

228-235. Используя интегрирование, вычислить сумму степенного ряда:

n 1

2n 1

228.

229.

(n 1)(x 2)

n 0

(n 1)(n 2)(n 3)

230.

(2n 1)x2n .

231.

xn.

n 0

232. (n2 3n)xn .

n 0

234. (3n 1)(3n 2)x3n .

n 0

		(n 2)(n 3)
233.		(n 2)(n 3)	xn 1.
233.			xn 1.
	n 0	2n

235.	(4n 3)x2n .

n 0

§2.9 Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производные всех порядков. Рядом Тейлора функции f (x) в точке x0 называется степенной ряд следующего вида:

f (x

)

f (x0)

(x x

)

f (x0)

(x x

f (n)(x0)

(x x

)n (2.10)

Очевидно, что ряд Тейлора функции	f (x) всегда сходится в точке x0,
причем его сумма в этой точке равна f (x0).
Теорема 15. Представление функции	f (x) в некоторой окрестности

точки x0 сходящимся к этой функции степенным рядом f (x) an(x x0)n

n 0

, x x0 R, R 0, единственно и является рядом Тейлора.

Доказательство. Так как ряд an(x x0)n сходится, радиус сходимости R 0

,то по теореме 13 функция f (x) бесконечно дифференцируема в окрестности

точки x0, причем

(x x )2 a

(x x )n

f (x) a

a (x x ) a

;

n 1

2a2(x x0) 3a3(x

x0)

nan(x x0)

;

(x) a1

3 2 a3(x x0) n(n 1)an(x x0)

n 2

;

(x) 2a2

………………

(n)(x) n!a

(n 1)!a

n 1

(x x )n 2

;

………………

При x x0 получаем

f (n)(x0) n!an ; …

f (x0) a0;

f (x0) a1;

f (x0) 2a2; …;

или

f (x0)

f (n)(x0)

f (x ); a

; a

; …; a

; …

Таким образом, степенной ряд функции f (x) совпадает с рядом Тейлора данной функции в точке x0.

Что и требовалось доказать.

Пример 25. Разложить в ряд Тейлора по степеням (x 3) функцию f (x) e2x .

► Решение. Функция f (x) e2x непрерывна и бесконечно дифференцируема при x ( ; ). Найдём производные:

, …,

(n)

(x) 2

, ….

(x) 2e

(x) 4e

Так как x0 3, то найдём значения функции и производных при x 3:

( 3) e

, f

, …, f

(n)

( 3) 2

, ….

( 3) 2e

f ( 3) 4e

Таким образом, получаем разложение в ряд Тейлора:

2e 6

4e 6

2ne 6

(x 3)

2ne 6 (x 3)n .

n 0 n!

Найдем область сходимости данного ряда. По формуле (2.8) вычислим радиус сходимости:

R lim

lim

2ne 6

2n 1e 6

lim

n 1

an 1

(n 1)!

Получили, что областью сходимости полученного ряда Тейлора является x ( ; ). ◄

Заметим, что если функция f (x) бесконечно дифференцируема, то f (x) разлагается в ряд Тейлора. Однако, ряд Тейлора для f (x) может сходиться

лишь в одной точке x x0, то есть ряд Тейлора не представляет функцию f (x)

. Приведем пример функции, ряд Тейлора которой сходится в каждой точке x R, но не к заданной функции.

1 x2

, при x 0

Пример 26. Дана функция

f (x)

при x 0

► Данная функция является

бесконечно

дифференцируемой, причем при

имеем

f (0) 0,

f (n)(0) 0,

n 0,1, 2, .

Следовательно,

(n)

(0)

Тогда ряд

an(x x0)n

сходится для

любых

x R и

n 0

S(x) 0. Но f (x) 0 при x 0, то есть не существует окрестности,

в которой

функция

f (x) представляется рядом Тейлора. ◄

Представим формулу Тейлора в следующем виде:

	n	f (k)(x )
		k!		)k R (x),
f (x)		0	(x x	)k R (x),	n 0,1, 2, ,
			0	n

k 0

где Rn(x) – остаточный член.

Разложимость числовой функции f (x) в ряд Тейлора по степеням (x x0)

означает, что lim R (x) 0. Действительно,

(k)

(x0)

Rn (x) f (x)

(x x0)k .

k 0

Перейдем к пределу при n

(k)

(x0)

limR (x) lim f (x)

(x x

n n

k 0

тогда	lim R (x) f (x)		f	(k)(x	0	)	(x x		)k
тогда	lim R (x) f (x)						(x x	0	)k
	n	n		k!				0
			k 0	k!
или	limR (x) f (x) f (x),
	n	n
то есть	lim R (x) 0.
	n	n

Установить возможность разложения функции f (x) в ряд Тейлора помогает нижеследующая теорема 16.

Теорема 16. Если существует число M 0 такое, что при R x R

выполняется f (n)(x) M , n 0,1, 2, , то функция f (x) разлагается в ряд

Тейлора для x R; R .

Доказательство. Как известно ([10], [11]), остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа:

Rn(x)

f (n 1)( )

(x x0)n 1,

(n 1)!

x ( (x0, x)), x –

где – некоторая

точка, заключенная

между

произвольная точка из окрестности точки x0. Тогда при x R; R имеем

R (x)

f (n 1)( )

(x x

)n 1

Rn 1,

(n 1)!

то есть

R (x)

Rn 1.

(n 1)!

Перейдем к пределу при n :

0 lim

R (x)

lim

Rn 1.

M Rn 1

n (n 1)!

Но lim

0 при любом R 0,

поэтому lim R (x) 0.

n (n 1)!

Таким образом, функция

f (x) разложима в ряд Тейлора при x R; R .

Что и требовалось доказать.

Частный случай ряда Тейлора при x0 0 называется рядом Маклорена

(n)

(0)

f (0)

(0)

(2.11)

Рассмотрим разложения основных элементарных функций в ряд

Маклорена.

I. Показательная функция f (x) ex .

Функция f (x) ex

определена и бесконечно дифференцируема при всех

x R, имеет производные:

(n)

(x) e

f (x) f

(x) f

При x R; R справедлива оценка

f (n) (x)

ex eR ,

n 0,1, 2,

Значит, f (

x) ex

разложима в ряд Маклорена при x R; R .

Вычислим значения функции и производных при x 0:

f (0) f

(n)

(0)

Таким образом, получаем разложение:

ex 1 x

(2.12)

n 0

Найдем область сходимости данного ряда. Радиус сходимости вычислим по

формуле (2.8):

R lim

lim

lim(n 1) .

an 1

(n 1)!

Следовательно, областью сходимости ряда (2.12) является x ( ; ).

II. Тригонометрические функции f (x) sin x

f (x) cos x.

Функция

f (x) sin x определена и бесконечно дифференцируема при всех

x R. Найдем производные данной функции:

(x) sin x,

, f

(x) sin x,

…

f (x) cos x,

(x) cos x

Так как при x R; R справедлива оценка

f (n)(x) 1, n 0,1, 2, ,

то f (x) sin x разложима в ряд Маклорена.

Вычислим значения функции и производных при x 0:

f (0) 0, f (0) 1,

f IV (0) 0, …

Таким образом, получаем разложение:

x2n 1

sin x

( 1)n

(2.13)

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

Найдем область сходимости данного ряда:

n 1

( 1)n 1x2(n 1) 1

( 1)n x2n 1

x2n 3

(2n 1)!

lim

(2n 1)!

(2n 3)!x2n 1

(2(n 1) 1)!

lim

x2 0 0.

n (2n 2)(2n 3)

Полученный результат всегда меньше 1, значит, ряд (2.13) сходится при x ( ; ).

Аналогично можно получить разложение в ряд Маклорена функции f (x) cos x:

x2n

cosx 1

( 1)n

(2.14)

(2n)!

n 0

(2n)!

Областью сходимости ряда (2.14) является x ( ;

III. Биномиальный ряд.

Биномиальным рядом называется степенной ряд функции f (x) (1 x) , где α – некоторое вещественное число.

Найдем производные данной функции: f (x) α(1 x) 1,

f (x) α(α 1)(1 x) 2, …,

f (n) (x) α(α 1) (α n 1)(1 x) n ,

…

При x 0 имеем: f (0) 1,

f (0) α,

f (0) α(α 1), …,

f (n) (0) α(α 1) (α n 1),

…
Тогда биномиальный ряд имеет вид:
(1 x)	1	α x		α(α 1)	x2	α(α 1) (α n 1)			xn

	1!		2!					n!
			α(α 1) (α n 1)
	1						xn .	(2.15)

	n 1			n!

Обоснованность нахождения данного разложения можно найти в [10], [11]. Для нахождения области сходимости ряда (2.15) вычислим радиус

сходимости по формуле (2.8):

R lim		an	lim	α(α 1) (α n 1)	:	α(α 1) (α n)
	an 1			n!		(n 1)!
n			n

n 1

lim

α n

1 или

1 x 1.

Значит, интервал сходимости

Сходимость биномиального ряда в точках x 1 зависит от показателя α. Не приводя дополнительных исследований заметим, что при x 1 ряд сходится для α 1, при x 1 для α 0.

Таким образом, область сходимости биномиального ряда: x 1;1 при α 0;

x 1;1 при 1 α 0; x ( 1;1) при α 1.

Часто при решении задач используются частные случаи биномиального разложения при α 1:

1
	1 x x2 ( 1)n xn ( 1)n xn ,			(2.16)
1 x
			n 0
1		1
			1 x x2 xn xn .	(2.17)
1 x
	1 ( x)		n 0

Ряды (2.16) и (2.17) сходятся при x ( 1;1).

IV. Логарифмическая функция f (x) ln(1 x).

Функция f (x) ln(1 x) определена и бесконечно дифференцируема при x 1; . Найдем производные данной функции:

(x)

, …,

1 x

(x)

(1 x)2

(x)

(1 x)3

f (n)(x)

( 1)( 2) ( (n 1))

( 1)n 1(n 1)!

, …

(1 x)n

Так как

f (n)(x)

( 1)n 1(n 1)!

(n 1)!

, n 0,1, 2, ,

(1 x)n

1 x

(n 1)!

lim

1 x

то не можем воспользоваться теоремой 16.

Рассмотрим разложение в биномиальный ряд (2.16), которое справедливо при x ( 1;1). Так как при x 1 имеет место равенство

x dt

ln(1 x),

1 t

то по теореме 14 при x ( 1;1) получаем:

n 1

n x

ln(1 x)

( 1)

1 t

n 1

n 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]