Теория рядов. Учебное пособие

Определение 3. Функция f (x) называется кусочно-дифференцируемой

(гладкой) на отрезке a,b , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых f (x) непрерывна вместе со своей первой производной f (x).

Теорема 5.1. Если функция f (x) кусочно-дифференцируема на отрезке

π,π , то во всех точках непрерывности её ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке разрыва x0 ряд сходится к значению

f (x0 0) f (x0 0), 2

в точках π и π, значение суммы ряда Фурье равно

f ( π 0) f (π 0). 2

Эта теорема дает нам возможность раскладывать в ряд и кусочнонепрерывные функции.

Пример 3. Рассмотрим следующую функцию:

111

отметить, что значение k , которое функция принимает, при х 0 никакой роли не играет, ибо изменение значения подинтегральной функции в одной точке не влияет на значение интеграла. На рис.3.3 приведен график суммы (3.14) для функции f (x).◄

Рис.3.3

§3.5 Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

Напомним, что функция f (x) называется чётной, если она определена на симметричном относительно точки x=0 интервале и не изменяется при изменении знака аргумента, т.е.

f( x)= f (x),

ифункция f (x) называется нечётной, если она, будучи определенной на

симметричном относительно точки x=0 интервале, меняет знак при изменении знака аргумента, т.е.

f ( x)= f (x).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (см.

рис.3.4).

Рис.3.4

График нечётной функции симметричен относительно начала координат

(см. рис.3.5).

112

f х dх f х f х dх f х f х dх 0.

Теорема доказана.

Кроме того, формулы (3.16) и (3.17) геометрически очевидны. Суть дела состоит в симметрии графика функции для чётной функции – это симметрия графика относительно оси ординат, для нечётной – симметрия графика относительно начала координат. Разложение чётной и нечётной функции имеет свои особенности, которые можно сформулировать в виде следующих утверждений.

Теорема 7. Чётная функция при разложении в ряд Фурье содержит только косинусы, т.е. имеет вид

Отсюда следует, что в разложении в ряд Фурье чётной функции содержатся только косинусы и коэффициенты ряда Фурье находятся по упрощенным формулам (3.18), (3.19).

114

Теорема доказана.

Справедлива также следующая теорема.

Теорема 8. Нечётная функция при разложении в ряд Фурье содержит только синусы и имеет вид

bn sinnx,

n 1

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично предыдущему.

§3.6 Разложение функции, заданной на части промежутка π,π

который на отрезке a,π сходится к функции f (x). Для решения поставленной задачи возьмем произвольную дифференцируемую функцию g(x), заданную на

Рис.3.6

115

n 1

где коэффициенты bn находятся по формулам

2 π

bn π 0 f х sinnxdх.

Отметим, что в этом случае формула (3.23) верна при x 0,π .

Окончательно имеем: Функцию f (x), заданную и дифференцируемую на отрезке 0,π , можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд. В частности, её можно разложить только по косинусам (см. 3.22), либо только по синусам (см. 3.23).

На ниже приведенных рисунках рис.3.8 и рис.3.9, даны графики функции F(x) для случая, когда F(x) чётная и когда F(x) нечётная.

Рис. 3.8 Функция F(x) – чётная.

Рис. 3.9 Функция F(x) – нечётная.

Пример 4. Разложить функцию f (x) x по косинусам на отрезке 0,π .

117

► Решение. В этом случае

В частности, при x 0 имеем

π2 1 1 1 ...◄ 8 12 32 52

Пример 5. Разложить функцию f (x) x по синусам на интервале 0,π . ► Решение. В этом случае коэффициенты bn вычисляются по формулам

Разложение при x 0,π имеет вид:

x 2sin x sin 2x 2sin3x ◄ 3

§3.7 Разложение функции заданной на промежутке а,а 2π

Теория рядов Фурье излагалась нами ранее в предположении, что функция f (x) задана на отрезке π,π . Вместо этого отрезка в силу периодичности функции f (x) можно рассматривать любой другой отрезок длины 2π . Число

2π является периодом для любой из выписанных ниже функций

1, cos x, sin x, cos2x,

Для установления справедливости этого высказывания, докажем ряд

118

a 2π

т.е. f (x)dx не зависит от числа а.

a

Доказательство. Используя свойства интегралов, а именно свойство аддитивности определенного интеграла, имеем

Рассмотрим последний интеграл в правой части (3.24), и сделаем замену t x 2π, получим

a 2π a a 0

f (x)dx f (t 2π)dt f (t)dt f (t)dt.

2π 0 0 а

А это означает, что первый и третий интегралы в правой части (3.24) равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, следовательно, их сумма равна нулю, и поэтому из (3.24) имеем:

a 2π 2π

f (x)dx f (x)dx.

a 0

Тем самым теорема полностью доказана.

Непосредственно из этой теоремы вытекает следующее утверждение.

Следствие. Две любые функции системы

1,sin x,cosx,sin2x,cos2x,

взаимно ортогональны на любом отрезке длины 2π . Кроме того, для любого а имеют место равенства:

справедливо на интервале 0,2π . В точках x 0, x 2π ряд сходится и его сумма равна

f 0 f 2π .

2

Рассмотрим пример.

119

В частности, при x π имеем: 2

π 1 1 1 1 2 3 5 7

В точках x 0, x 2π сумма ряда справа (3.25) равна π. График суммы изображен на нижеследующем рисунке 3.10. ◄

Рис.3.10

§3.8 Разложение в ряд Фурье периодичной функции с периодом

2l

В этом параграфе мы научимся раскладывать в ряд Фурье функции периодические с периодом 2l.

Рассмотрим периодичную функцию f (x) с периодом 2l, заданную и дифференцируемую на отрезке l,l .

задана и дифференцируема на отрезке π,π и периодична с периодом 2π. В самом деле

120