Теория рядов. Учебное пособие

Так как, согласно (3.53), выполнены неравенства

131

бесконечными пределами. Данные рассуждения нуждаются в уточнении. При

Выражение, стоящее справа в формуле (3.59), называют интегралом Фурье для функции f (x). Уточним, что правая часть (3.59) равна значению

функции f (x) в точках непрерывности и равна значению f x 0 f x 0 в

2

точках разрыва.

Воспользовавшись формулой косинуса разности, преобразуем интеграл, стоящий в правой части (3.59), получим:

f t cos(αt)dt=2 f t cos(αt)dt,

132

Отметим, что в случае, когда функция f (x) определена только в интервале 0, , то её можно представить как по формуле (3.61), так и по формуле (3.62).

Следует уточнить, что формулы (3.61) и (3.62) справедливы в точках непрерывности.

Если в формуле (3.61) положить

2

F α f t cosαtdt,

π 0

то (3.61) примет вид

2

f x F α cos(α x)d α. (3.63)

π 0

Функцию F α называют косинус–преобразованием Фурье для функции f (x). Формула (3.63) задает обратное косинус–преобразование. На основании формулы (3.62) можно записать равенства:

2

Ф α f t sin(αt)d α, (3.64) π 0

2

f x Ф α sin(α x)d α. (3.65) π 0

Функцию Ф α , определенную равенством (3.64), называют синус– преобразованием.

§3.14 Интеграл Фурье в комплексной форме

Рассмотрим интеграл Фурье, определяемый равенством (3.59). Функция

f t cosα t x dt

является чётной относительно α, поэтому формулу (3.59) можно переписать в виде

С другой стороны, функция

f t sinα t x dt

является нечётной относительно α и поэтому

133

Полученная формула является аналогом ряда Фурье в комплексной форме для функций, заданных на конечном интервале. В силу этого α также будем называть, как и прежде, волновым числом, учитывая, что здесь α изменяется в пределах от до , и спектр волновых чисел является непрерывным спектром. Функцию C α называют спектральной плотностью или

спектральной функцией.

Равенство (3.70) также часто переписывают в виде двух равенств

134

равенством (3.73), называется обратным преобразованием Фурье для функции

F α . Функция F α и C α отличаются на множитель 1 . 2π

§3.15 Теорема Котельникова о квантовании непрерывного сигнала по времени

В этом параграфе мы дадим некоторые применения изложенной выше теории рядов Фурье и интегралов Фурье для преобразования непрерывных сигналов, с целью передачи этих сигналов по цифровым каналам связи.

Непрерывный сигнал задан и определен во всех точках области определения. Применение всех видов импульсной модуляции связано с дискретизацией сигнала по времени или ещё говорят с квантованием по времени. При процедуре квантования исходный сигнал заменяется другим сигналом, и поэтому следует ответить на вопрос: «Какие условия нужно выполнять, чтобы исходный сигнал можно было передать сколь угодно точно?». Приведенная ниже теорема Котельникова дает одно из возможных решений поставленной задачи.

Функцию F ω , определенную равенством (3.75), называют также спектром функции х t . В этой терминологии ωc – верхняя частота спектра.

Положим t π .

ωc

Сформулируем и докажем основное утверждение данного параграфа.

Теорема Котельникова. Всякий непрерывный сигнал х t , обладающий ограниченным спектром, представим в виде

135

т.е. х t полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчёта, отстоящие друг от друга во времени на интервалы

t π .

ωc

Доказательство. Так как функция F ω задана на конечном интервале и непрерывна, то эту функцию можно разложить в ряд Фурье в комплексной форме, как это указывалось в параграфе 3.11, с периодом Тω 2ωc. При этом получаем:

i k ω

Если разделить обе части последнего равенства на ωc и, учитывая (3.57),

π

положить

k t, t π ,

ωc

то равенство (3.79) преобразуется к виду

Согласно (3.78) правая часть (3.80) равна Ck , поэтому из (3.80) получаем:

πx k t Ck .

ωc

Подставляя полученное выражение для Ck в (3.77), имеем:

При наших ограничениях ряд Фурье и интеграл Фурье сходятся равномерно, поэтому можно изменить порядок интегрирования и

136

Подставляя полученное выражение в равенство (3.82), окончательно имеем

Теорема доказана.

Непосредственно из теоремы Котельникова следует, что функция, имеющая ограниченный спектр, определена на бесконечном промежутке и представляется в виде суммы бесконечного числа членов ряда, каждый из

которых является функцией вида Say sin y . Функцию Say называют y

функцией отсчётов и её график имеет вид:

значений t посредством суммирования функций отсчетов с соответствующими коэффициентами.

137

Учитывая, что реальные сигналы всегда имеют конечную длительность, то непосредственное применение теоремы Котельникова затруднено. Наложив ряд ограничений, можно установить, что функция с неограниченным спектром также может быть приближена некоторым рядом Котельникова (3.76).

Задачи для самостоятельного решения.

341–349. Разложить в ряд Фурье функции f(x), определенные в интервале ( π,π) следующими условиями:

350.В интервале (0,π)разложить x3 по косинусам.

351.В интервале (0,π)разложить x3 по синусам.

352.В промежутке ( 2,2)разложить функцию f (x) 3x в ряд Фурье.

Фурье.

354. Задана функция f (x) e x , π x π, f (x 2π) f (x). Записать ряд Фурье в комплексной форме. Найти амплитудный спектр.

138

17.сходится.

18.расходится. 19. расходится. 20. сходится. 21. сходится. 22. расходится.

23.расходится. 24. расходится. 25. сходится. 26. сходится. 27. расходится.

28.сходится. 29. сходится. 30. сходится. 31. сходится.

32. сходится. 33. расходится. 34. сходится. 35. сходится. 36. расходится. 37. сходится. 38. сходится. 39. сходится. 40. сходится. 41. сходится. 42. сходится. 43. сходится. 44. сходится. 45. сходится. 46. сходится. 47. сходится. 48. сходится. 49. расходится. 50. сходится. 51. расходится. 52. сходится. 53. сходится. 54. расходится. 55. расходится. 56. сходится при

71. сходится. 72. расходится. 73. сходится. 74. сходится. 75. расходится. 76. сходится. 77. сходится. 78. сходится. 79. расходится. 80. расходится.

126. сходится абсолютно. 127. сходится условно. 128. сходится условно. 129. сходится абсолютно. 130. сходится условно. 131. сходится условно при любом а, не равном целому отрицательному числу. 132. абсолютно сходится при α πk π4 (k – целое); условно сходится при α πk π4 . 133. сходится условно. 134. сходится условно.

139

n Z .

159. Равномерно сходится. 160. Равномерно сходится. 161. Равномерно сходится. 162. Равномерно сходится. 163. Равномерно сходится. 164. Равномерно сходится. 165. Сходится неравномерно. 166. Сходится неравномерно. 167. Сходится неравномерно. 168. Сходится неравномерно. 169. Сходится неравномерно. 170. Сходится неравномерно.