Теория рядов. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

268. f (x) cos

269. f (x) sin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Таким образом,

xn 1

ln(1 x) x

( 1)n

(2.18)

n 1

n 0

n 1

На основании теоремы 14 ряд (2.18) сходится при x ( 1;1). Заметим, что

( 1)n

при x 1 получаем числовой ряд

который сходится по признаку

n 0

n 1

Лейбница как знакочередующийся ряд. Следовательно, областью сходимости

ряда Маклорена для функции				f (x) ln(1 x) является x 1;1 .
V. Обратные тригонометрические функции f (x) arctg x и						f (x) arcctg x.
Функция	f (x) arctg x		определена и бесконечно дифференцируема при
x R. Найдем производные данной функции:
	1			2x

f (x) 1 x2 ,		f (x) (1 x2)2 , …
Производные		f (n)(x),	n 0,1, 2, ,		не являются	ограниченными

функциями, поэтому для нахождения ряда Маклорена воспользуемся биномиальным разложением (2.16), взяв x2 вместо x:

1 x2 x4 ( 1)n x2n ( 1)n x2n ,

1 x

n 0

которое справедливо при x2 1,

то есть x ( 1;1).

Так как

arctg x,

1 t2

то по теореме 14 при x ( 1;1) получаем:

arctgx

( 1)

1 t2

n 0

Таким образом,

x2n 1

arctgx x

( 1)n

2n 1

n 0

2n 1

x2n 1

2n 1

(2.19)

На основании теоремы 14 ряд (2.19) сходится при x ( 1;1). При			x 1
	( 1)n
получаем числовой ряд		, который сходится по признаку Лейбница как
	2n 1
n 0

знакочередующийся ряд. Следовательно, областью сходимости ряда Маклорена для функции f (x) arctg x является x 1;1 .

Используя, что

arcctg x

arctg x,

можно записать разложение в ряд

Маклорена функции

f (x) arcctg x:

x2n 1

arcctg x

( 1)n 1

2n 1

n 0

(2.20)

которое также справедливо при x 1;1 .

VI. Гиперболические функции f (x) ch x и

f (x) sh x.

ch x

ex e x

sh x

e x

Так

как

, то

для

разложения в

ряд

Маклорена гиперболических функций воспользуемся разложением

показательной функции (2.12):

ex 1 x

n 0

e x 1 x

( 1)n

( 1)n xn

n 0

Данные разложения справедливы при x R.

Тогда получаем:

ex e x

( 1)n

ch x

1 x

2x2

2x4

2x2n

x2n

(2n)!

n 0 (2n)!

Таким образом,

x2n

chx

(2.21)

(2n)!

Для f (x) sh x:

n 0

sh x

1 x

( 1)

1 x

2x 2x3

2x2n 1

x x3

x2n 1

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

То есть,

shx

x x3

x2n 1

(2.22)

(2n 1)!

n 0

Полученные разложения справедливы при x ; .

Пример 27. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) ln(5 x2).

► Решение. Воспользуемся разложением (2.18), предварительно преобразовав подлогарифмическое выражение:

		x	2		x	2		x	2	1	x	2	2		1	x	2	3
ln(5 x2) ln	5 1			ln5 ln 1			ln5

		5			5		5 2				5			3		5

		n	1		x2 n 1								1		2		1			4	1	6
		n													2					4		6
( 1)								ln5 x											2 x		3 x
( 1)			n 1					ln5 x									2 5		2 x		3 x
			n 1			5							5				2 5				3 5
	( 1)n												( 1)n
	( 1)n			x2n 2		ln5							( 1)n					x2n 2 .
	(n 1) 5	n 1		x2n 2		ln5										n 1		x2n 2 .
	(n 1) 5										n 0 (n 1) 5
	Найдем область сходимости данного ряда:
											x2
							1					1
							1				5	1
											5
или											x2 5,
следовательно,										x				– область сходимости этого ряда. ◄
следовательно,									5	x			5	– область сходимости этого ряда. ◄

Пример 28. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) 2x3 . ► Решение. Преобразуем выражение функции:

f (x) 2x3

eln2x3

ex3 ln2 .

Воспользуемся разложением (2.12), подставляя вместо аргумента x

выражение x3 ln2:
ex3 ln2 1 x3 ln2	(x3 ln2)2	(x3 ln2)n		lnn 2 x3n	.
		n!
2!				n!
			n 0

Область сходимости данного ряда: x ; . ◄

Пример 29. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) cos

2x .

► Решение. Преобразуем выражение функции:

f (x) cos

cos

cos2x sin

sin2x

cos2x

sin 2x.

С помощью разложений (2.13)

и (2.14),

подставляя вместо аргумента x

выражение 2x, получаем:

(2x)

n (2x)

f (x) cos

( 1)

(2n)!

2n 1

(2x)

2 3 x

( 1)

(2n 1)!

2 n 0

(2n)!

(2n 1)!

Область сходимости данного ряда: x ; . ◄

Пример 30. Разложить

ряд

Маклорена

функцию

f (x)

x2 x 8

(x 1)(x 2)

а) по степеням x; б) по степеням (x 3).

► Решение.

Преобразуем

выражение

функции, выделив целую часть и

разложив правильную дробь на простейшие дроби:

x2 x 8

x 8

x 2 2x 6

2x 6

(x 1)(x 2)

x2 x 2

(x 1)(x 2)

x 2

Представим полученную правильную дробь в виде суммы простейших

дробей:

2x 6

(x 1)(x 2)

x 1

x 2

тогда

2x 6

A(x 2) B(x 1)

(x 1)(x 2)

Приравняем числители:

2x 6 x(A B) 2A B.

Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B:

A B 2

2A B 6

Откуда

x 8

Таким образом, функция

(x)

представима в виде:

(x 1)(x 2)

f (x) 1

x 1

x 2

а) По

формулам

(2.16)

(2.17) разложим функции

f (x)

x 1

(x)

x 2

1 x x2 xn 1 x x2 xn ;

f (x)

x 1

1 x

(x)

( 1)

x 2 2

2 2

1 x x2 ( 1)n

2 22 23

Следовательно, для функции

xn .

2n 1

f (x) получаем разложение:

	8	1 x x	2		n	2	1		x		x2			n	xn
f (x) 1				x
										2		3	( 1)			n 1
	3					3	2				2				2
								2

							8															x	n																		8				( 1)					n
																							n																											n
1									xn ( 1)n																				1																								xn .
1									xn ( 1)n																				1																								xn .
						3															3 2			n																3					3 2					n
		n 0				3															3 2																n 0			3					3 2
	Область сходимости ряда для																																				f1(x):							1 x 1																или								x ( 1;1). Область
сходимости ряда для																					f2		(x):									1						x				1				или											x ( 2; 2).														Значит, область
сходимости ряда для																					f2		(x):									1										1				или											x ( 2; 2).														Значит, область
																			f (x):																2
сходимости ряда для																			f (x):									x ( 1;1).
	б) По формуле (2.16) разложим функции																																																	f (x)												1						и				f	2	(x)			1		,
	б) По формуле (2.16) разложим функции																																																	f (x)																		и				f		(x)					,
																																																				1									x 1																x 2
предварительно преобразовав их:																																																													x 1																x 2
предварительно преобразовав их:																																																																		x 3 2
						1										1									1										1								1													x 3										x 3 2
f1(x)																																														1
f1(x)														2 x 3											2																		2			1											2								2
					x 1									2 x 3											2											x 3							2														2								2
																														1
								x 3 n																						1					2
																																			2
																										1 x 3														(x 3)2																								n (x 3)n

											2														2							2			2								2		3					( 1)															2					n 1				;
											2														2							2											2																						2
				1												1									1									1									1										x 3												x 3 2
f2(x)																																														1
f2(x)			x 2																						5									x 3									5			1						5													5
			x 2										5 x 3												5									x 3									5									5													5
																													1
								x 3 n																					1						5
																																			5
																										1 x 3														(x 3)2																								n (x 3)n

											5														5							5			2								5		3					( 1)															5					n 1				.
											5														5							5											5																						5
	Следовательно, для функции																																			f (x) получаем разложение:
								8					1				x 3									(x 3)									2		( 1)n														(x 3)									n

f (x) 1
f (x) 1
						3							2			2				2									2			3																				2						n 1
						3							2			2													2																							2
				2						1				x 3								(x 3)									2		( 1)n															(x		3)								n


																																																			n 1
				3						5			5			2									3																								5		n 1
				3						5			5											5																									5
												n		2(x 3)								n					8							n (x 3)									n											2										n	1										1				n .
																						n																					n


	1																	n 1																					n 1										1																				n 1						n 1 (x
	1					( 1)									3 5			n 1							( 1)										2				n 1										1								( 1)												n 1				2		n 1 (x			3)
		n 0													3 5										3										2																				3 n 0										5								2
	Область										сходимости													ряда									для						f (x):											1									x 3				1								или					x (1;5).
	Область										сходимости													ряда									для						f (x):											1													1								или					x (1;5).
																																								1																		2
																																															x 3											2
Область сходимости ряда для f2(x):																																										1					x 3									1				или							x ( 2;8). Значит,
Область сходимости ряда для f2(x):																																										1														1				или							x ( 2;8). Значит,
																																																	5

область сходимости ряда для f (x): x (1;5). ◄

Задачи для самостоятельного решения.
236.-247. Разложить функцию																	f (x) по степеням (x x0):
236.	f (x) ln x,							x	0			1.					237.	f (x)	1		,	x		2.
236.	f (x) ln x,							x				1.					237.	f (x)			,	x		2.
																				x		0
238.	f (x)	1				,		x			1.						239.	f (x)		1			,	x	5.
		x2						0												x 2					0
240.	f (x)			x			,	x			4.						241.	f (x) e 3x , x							4.
								0																0
	f (x) e		x					x0	2.								243.	f (x) 5x ,				x		3.
242.			2		,												243.	f (x) 5x ,				x		3.
242.					,																	0
244.	f (x) cos x,									x					.		245.	f (x) sin				x		,	x 1.
												0		4								3			0
246.	f (x) sin2 x,										x					.	247.	f (x)				x				, x	3.
246.	f (x) sin2 x,										x					.	247.	f (x)								, x	3.
													0	3						x2 5x 4							0

248.-269. Разложить функцию f (x) полученного ряда:

248. f (x) e6x .

250. f (x) sin3x.

252.	f (x) ln(1 5x5).
254.	f (x)	1				.
		(1 x)2

256.	f (x)		1		.

		1 x2
258.	f (x) (1 x2)arctg x.
260.	f (x) ln(x2			x 2).
262.	f (x) ln(x3			4x2 3x 12).
264.	f (x) sin2 3x.
266.	f (x) cos4 x.

в степенной ряд, найти область сходимости

249.f (x) e 2 .

251. f (x) cos x2 . 3

								x
253.	f (x) ln 1									.
253.	f (x) ln 1						3			.
							3
255.	f (x)	1					.
255.	f (x)						.
	1 x3
257.	f (x) arctg										.
257.	f (x) arctg								x		.
259.	f (x) 4			cos									.
259.	f (x) 4	x		cos								x	.
261.	f (x) ln( 2x2 x 1).
263.	f (x) ln		x2 4
												.
					x 5							.
					x 5
265.	f (x) cos				2 x
								.
					3			.
					3
267.	f (x) sin			4 x			.
267.	f (x) sin					4	.
						4

§2.10 Применение рядов для приближенных вычислений

Степенные ряды широко используются при решении различных задач. Приведем примеры, демонстрирующие применение степенных рядов.

I. Приближенное вычисление значения функции

Пример 31. Вычислить с точностью 0,001 значение ln1,3.					при x 1;1 .
► Решение. Возьмем ряд (2.18), который сходится к ln(1 x)
Так как 1,3 1 0,3, то, полагая	x 0,3, получим ряд для вычисления ln1,3 с
любой точностью:					n 0,3n 1
0,32	0,33	0,34	0,35
ln1,3 ln(1 0,3) 0,3				( 1)
			5
2	3	4				n 1

0,3 0,045 0,009 0,002 0,0004

По свойству знакочередующегося сходящегося ряда остаток ряда меньше его первого члена по абсолютной величине. Поэтому, чтобы определить количество членов разложения для достижения требуемой точности, необходимо найти член ряда такой, что an 0,001. Таким образом, для

вычисления приближенного значения достаточно взять сумму первых четырех слагаемых, то есть:

ln1,3 0,3 0,045 0,009 0,002 0,262. ◄

Пример 32. Вычислить с точностью 0,001 значение 310.

► Решение. Воспользуемся разложением (2.15). Ряд (2.15) сходится к (1 x)3

при x 1;1 , поэтому предварительно преобразуем подкоренное выражение:


							2						1			1

3 10 3
			8 2 3			8 1		23 1 0,25 2(1 0,25)3						2 1			0,25
			8 2 3			8 1		23 1 0,25 2(1 0,25)3						2 1			0,25
							8									3
	1 1	2			2		1 1	2	5		3	1 1		2	5			8		4
				0,25						0,25									0,25
				0,25						0,25				3	3				0,25
	2! 3	3					3! 3	3	3			4! 3		3	3			3

2 0,5 2 0,252 10 0,253 20 0,254 2 0,167 0,014 0,002 0,000 . 3 9 81 243

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления приближенного значения достаточно взять сумму первых четырех слагаемых, то есть:

310 2 0,167 0,014 0,002 2,155. ◄

II. Приближенное вычисление значения интеграла

Пример 33. Найти разложение в степенной ряд интеграла ( x 1)ex dx.

► Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя

(2.12):

( x

1)e

1 x

x3n

1 x3

x3n x

n 0

Полученный степенной ряд сходится при x ; ,

тогда по теореме

14 этот ряд можно интегрировать, причем:

x3n x

x3n 1

dx n! 3n 1

n 0

Таким образом,

						3n 1
(				1	x	3n 1
		x	3
	x 1)e	x	3

			dx n! 3n 1
			n 0

x3n	3
			2	3	1		2	9	1
	2			3		x4		9		x7
	2
		C x		x2				x2
	3	C x	3	x2	4		9	x2	14
3n	3		3		4		9		14

	2
	2

		15								x3n 1								3n		3
																		3n
1																x				2
1																x				2
			x 2																			C . ◄
			x 2					n!(3n 1)												3		C . ◄
15								n!(3n 1)												3
														n!			3n
														n!			3n
																				2
	Пример 34. Вычислить																с				точностью						0,0001					значение					интеграла
0,5						x2
(x4 1)cos						x2				dx.
(x4 1)cos					3					dx.
0
► Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя
(2.14):
				x2											1			x2 2					1	x2	4				1	x2		6				( 1)n x2				2n
(x4		1)cos					(x4				1) 1
(x4		1)cos					(x4				1) 1
				3
				3											2! 3								4! 3						6! 3							(2n)! 3
x4						1				8	12						16							( 1)	n	x		4n 4						1		4	8
						1			x			1 x				1			x					( 1)		x					1			1	x			1	x

									2			4! 3	4						6					(2n)!				2n							2				4
					2!3							4! 3			6! 3									(2n)!			3						2!3				4!3

	1	x	12					( 1)							n			4n									( 1)		n			x4n x4n 4 .
	1	x						( 1)								x											( 1)
				6												2n											(2n)!3				2n
6! 3									(2n)! 3																n 0		(2n)!3
	Полученный ряд сходится при x ; . Проинтегрируем его:
0,5															2						0,5							n
													x		2											( 1)		n
				(x4	1)cos								x			dx										( 1)					x4n x4n 4 dx
				(x4	1)cos							3				dx															x4n x4n 4 dx
												3											(2n)!32n
0																					0		n 0
									n			0,5																					n				4n 1				4n 5			0,5
												0,5																																0,5
						( 1)								x																	( 1)					x				x
						( 1)											4n					4n 4									( 1)					x				x
																			x
					(2n)!3					2n									x						dx					(2n)!3				2n		4n 1				4n 5
				n 0	(2n)!3							0															n 0			(2n)!3						4n 1				4n 5				0
				n 0								0															n 0																	0
				0,55			1					0,59										1			0,513											1 0,55							1		0,59

											2													4								0,5						2					4
				5			2!3				2				9					4!3				4	13							0,5			2!3			2	5				4			9
				5			2!3								9					4!3					13										2!3				5			4!3				9

0,0063 0,000 0,5 0,0003 0,000 .

Получили сумму двух знакочередующихся рядов. По свойству знакочередующихся сходящихся рядов для вычисления приближенного значения в первой сумме достаточно взять одно слагаемое, а во второй – сумму двух слагаемых, тогда имеем:

0,5	x2
(x4 1)cos	x2	dx 0,0063 0,5 0,0003 0,5060. ◄
(x4 1)cos	3	dx 0,0063 0,5 0,0003 0,5060. ◄
0
III. Вычисление пределов
Пример 35. Вычислить lim			2cosx x2 2	,	используя разложение в
Пример 35. Вычислить lim			x4	,	используя разложение в
степенной ряд.		x 0	x4
степенной ряд.			lim 2cosx x2		2 0,	lim x4 0, таким
► Решение. При x 0 получаем			lim 2cosx x2		2 0,	lim x4 0, таким
			x 0			x 0

образом, имеем неопределенность вида . Для вычисления предела

воспользуемся разложением (2.14), тогда

											x	2	x	4		x	6							2
											x		x			x						x		2	2

				2						2 1
	2cosx x			2		2					2!		4!			6!
lim	2cosx x					2	lim				2!		4!			6!
lim							lim								x4
x 0		x4						x 0							x4
			2		x4		x6				2
		2 x							x			2							1		x		2				1
		2 x		12			360		x			2											2
				12			360
lim																												. ◄
lim							x	4					lim					12								12		. ◄
x 0							x								x 0			12		360						12

IV. Решение дифференциальных уравнений
Пример 36. Найти	решение	дифференциального	уравнения
y x2 y 4y 2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)			1, y (0) 2

► Решение. Решение y y(x) дифференциального уравнения будем искать в виде разложения в ряд Тейлора:

	y (0)		y (0)		2	y (0)		3
y y(0)		x		x			x		.
y y(0)	1!	x	2!	x		3!	x		.	y (0) 2. Вычислим
	1!		2!			3!
На основании начальных условий имеем y(0) 1,
y (0):

4y 2x

(0) x

0 y

(0) 4y(0) 2 0 4.

Так как

x 0

2x 2xy

то

(y )

(0) 2 8 2 6.

(0) 2 0 y

(0) 0 y (0) 4y

Аналогично,

(2xy

(2y

2xy

(0) (y )

x 0

4y )

x 0

2y (0) 4 0 y (0) 0 y (0) 4y (0) 20.

Итак далее можем найти производные любого порядка. Таким образом, получаем

y 1 2 x 4 x2 6 x3 20 x4

1!	2!				3!			4!
или y 1 2x 2x		2	x	3	5	x	4
								.
								.
					6

Полученный ряд сходится при x ; . ◄

Задачи для самостоятельного решения.

270-287. Пользуясь разложением в степенной ряд, приближенно вычислить значение функции с заданной точностью ε:


270.			, ε 10 3 .				271.		1		, ε 10 4 .			272.	sin18o ,					ε 10 5 .
		e

									e
273.	cos1o ,					ε 10 6 .	274.	sin9o , ε 10 3 .						275.	cos10o ,					ε 10 4 .
276.	5	1,2		,	ε 10 4 .		277.	4		17		, ε 10 4 .		278.		1,004			,	ε 10 6 .
279.						, ε 10 5 .	280.	3					, ε 10 4 .		6			, ε 10 6 .
		0,992									1,12			281.
																	67
282.	ln1,5,				ε 10 3 .		283.	ln5, ε 10 3 .						284.	arctg0,5, ε 10 4 .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]