Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория рядов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

сумма бесконечной

δ x δ,

n (x)

xk 1

1 x

1 δ 1 x 1 δ

k n 1

геом.прогрессии

1 δ

Если

δn

ε, то возьмем N ε = log (1 δ)ε 1.

1 δ

4) Для ряда

на множестве δ;δ выполняются условия теоремы 7,

n 1 n

поэтому


		x	n



S (x)		n
	n 1

	xn			n 1	сумма бесконечной	1

			x
						.
		n
n 1			n 1		геом.прогрессии	1 x

	1	, то, интегрируя, получаем

5) Так как S (x)
	1 x
		x	dt		x
S(x)			dt	ln1 t	x	ln(1 x). ◄
			1 t	ln1 t	0	ln(1 x). ◄
			1 t		0
	0

§2.5 Степенные ряды. Теорема Абеля

Рассмотрим наиболее важный для приложений частный случай функциональных рядов – степенные ряды.

Определение 8. Функциональный ряд вида

an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (2.6)

n 0

называется степенным рядом, где a0, a1 - действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами степенного ряда, x0 – действительное или комплексное число.

Область сходимости степенного ряда есть непустое множество, потому что степенной ряд (2.6) сходится, по крайней мере, в одной точке x x0 .


Замена X x x0 приводит ряд вида (2.6) к ряду	an X n , поэтому без
	n 0
ограничения общности можно рассматривать только степенные ряды вида

an xn a0 a1x a2x2 an xn	(2.7)

n 0

Общий вид области сходимости степенного ряда является простым следствием нижеследующего свойства рядов этого класса.

Теорема 8 (Абеля). Если степенной ряд (2.7)

сходится в точке

x x1 (

x1 0),

то он сходится при любых x, удовлетворяющих неравенству

Если же степенной ряд (2.7) расходится в

точке x x2 , то он

также

расходится при любом x, удовлетворяющем неравенству

Доказательство. 1) По условию теоремы ряд an x1n

сходится. Значит, общий

n 0

член ряда стремится к нулю при

n : lim

Последовательность

xn является бесконечно малой, значит, она ограничена,

и существует число

M , M 0, такое, что

(n 1,2, ).

Возьмем произвольное значение

x такое,

что

и рассмотрим ряд

an xn

. Оценим n-ый член этого ряда

n 0

n 1

то есть

an xn

M qn ,

где

q, 0 q 1.

Ряд M qn

M qn

сходится

как геометрическая

n 0

прогрессия со знаменателем 0 q 1. Таким образом, по признаку сравнения


ряд	an xn	сходится. Значит, ряд an xn сходится абсолютно для любых x,
n 0		n 0

удовлетворяющих неравенству x x1 . 2) Докажем вторую часть теоремы.

Предположим обратное, то есть что существует точка x x3, для которой

и ряд an x3n сходится.

По теореме Абеля, если ряд сходится при

n 0

x x3, то он сходится при любых

x таких, что

, то есть и при x x2

. Получили противоречие, так как по условию теоремы ряд an x2n

n 0

расходится. Значит, предположение неверно.

Что и требовалось доказать.

§2.6 Область сходимости степенного ряда

Как уже отмечалось ранее, точка x 0 принадлежит области сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля вытекает, что для степенного ряда (2.7) существует число R 0 такое, что для любых х, удовлетворяющих x R, ряд сходится, а

для любых х, удовлетворяющих x R, ряд расходится.

Определение 9. Если степенной ряд (2.7) абсолютно сходится в интервале x R и расходится при x R (R 0 - число или ), то x R называется

интервалом сходимости степенного ряда (2.7), а R – радиусом сходимости ряда (2.7).

В частности, если R 0, то область сходимости ряда состоит из одной точки x 0. Если R , то ряд сходится во всех точках числовой прямой.

Если 0 R , то интервал сходимости R; R необязательно совпадает с областью сходимости степенного ряда, так как в граничных точках x R ряд может как сходиться, так и расходиться. При R интервал сходимости ; совпадает с областью сходимости ряда.

Замечание. Для степенного ряда (2.6) интервалом сходимости является область, определяемая неравенством x x0 R, то есть x0 R; x0 R .

§2.7 Вычисление радиуса сходимости степенного ряда методами Даламбера и Коши

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда (2.7) можно непосредственно пользоваться признаком Даламбера или радикальным признаком Коши как в общем случае для функциональных рядов (§2.1 главы 2). Но также интервал сходимости можно легко получить, зная радиус сходимости. Можно найти радиус сходимости ряда (2.7), используя признак Даламбера. Справедлива нижеследующая теорема, которая позволяет вычислить радиус сходимости ряда.

Теорема 9. Если для степенного ряда (2.7) существует конечный или

бесконечный предел lim an , то радиус сходимости степенного ряда (2.7)

n an 1

равен значению этого предела:

R lim an .

n an 1

(2.8)

Доказательство.

Для исследования

абсолютной

сходимости

ряда

(2.7)

рассмотрим

ряд

an xn

и применим

для

исследования его

сходимости

n 0

признак Даламбера:

lim

n 1

xn 1

lim

n 1

an xn

Возможны 3 случая.

1) Если lim

n 1

0, то lim

n 1

xn 1

0 для любого х.

an xn

Так как lim

n 1

xn 1

то для любого х

ряд сходится. Это означает,

что

anxn

радиус сходимости ряда R .

В этом случае формула (2.8) верна, так как

R lim

lim

an 1

2) Если lim

n 1

и x 0, тогда lim

xn 1

an xn

Так как lim

n 1

xn 1

1 для любого

x 0,

то ряд расходится при x 0. То

an xn

есть радиус сходимости ряда равен нулю.

В этом случае формула (2.8) также верна, так как

R lim

lim

an 1

3) Если lim

n 1

0 l ,

то

lim

n 1

xn 1

l . Ряд сходится,

anxn

если

l 1, следовательно, при х, удовлетворяющих неравенству

. При

x l 1, то есть при

этом ряд расходится, если

. По определению 9 число

1 является радиусом сходимости. Значит, l

lim

l n

an 1

Что и требовалось доказать.

Найдем радиус сходимости ряда (2.7), используя признак Коши.

Теорема 10.

Если для степенного ряда (2.7)

существует конечный или

бесконечный предел lim

то радиус сходимости степенного ряда (2.7)

n n

равен значению этого предела:

R lim

(2.9)

n n

Доказательство.

Для

исследования

абсолютной

сходимости

ряда

(2.7)

рассмотрим

ряд

an xn

применим

радикальный признак

Коши

для

n 0

исследования его сходимости:

limn

an xn

limn

Возможны 3 случая.

limn

anxn

1) Если

то

для

любого х.

Так

как

limn

an xn

1, то

для любого

х ряд

сходится.

Это

означает,

что радиус

сходимости ряда R .

В этом случае формула (2.9) верна, так как

R lim

n n

limn

x 0,

limn

an xn

2) Если

тогда

Так

как

limn

anxn

1 для любого

x 0, то ряд расходится при x 0. Это означает,

что радиус сходимости ряда равен нулю.

В этом случае формула (2.9) также верна, так как

R lim

n n

3) Если limn

l, 0 l , то

limn

anxn

l. Ряд сходится, если

l 1, следовательно, при х, удовлетворяющих неравенству

. При этом

ряд расходится, если

l 1, то есть при

. По определению 9 число

является радиусом сходимости. Значит,

R	1	1		.


	l	limn	an
		n		Что и требовалось доказать.
				Что и требовалось доказать.

Для определения области сходимости степенного ряда нужно:

1)Вычислить радиус сходимости по формулам (2.8) или (2.9);

2)Найти интервал сходимости ряда;

3)Исследовать сходимость ряда в каждой граничной точке интервала сходимости.

(4x 1)n

Пример 19. Найти область сходимости степенного ряда . n 0 (n 2)!

► Решение. 1) Вычислим радиус сходимости R данного ряда по формуле (2.8):

R lim

lim

(n 3)!

lim

(n 2)!(n 3)

an 1

(n 2)!

(n 3)!

n (n 2)!

(n 2)!

lim(n 3) .

R ,

2) Так

как

то

интервалом

сходимости заданного

ряда

является

; .

При

этом

областью

сходимости

этого

ряда также

является

; . ◄

n!(x 7)n

Пример 20. Найти область сходимости степенного ряда

n 1

► Решение. 1) Вычислим радиус сходимости R данного ряда по формуле (2.8):

R lim

lim

(n 1)!

lim

n!(3n 1

2n 1)

an 1

3n 2n

3n 1

2n 1

n (3n 2n ) (n 1)!

n 1

n!3

n 1

lim

n n 1

n!(n 1)

при n

2) Так как R 0, то интервал сходимости заданного ряда не содержит ни одной точки, а областью сходимости этого ряда является единственная точка, определяемая из условия x 7 0, то есть x 7. ◄

( 1)n n(x 5)n

Пример 21. Найти область сходимости степенного ряда

3n 4

n 0

► Решение. 1) Вычислим радиус сходимости R данного ряда по формуле (2.8):

R lim

( 1)n n

( 1)n 1(n 1)

n(3n 7)

lim

an 1

3(n 1) 4

3n 4

n (3n 4)(n 1)

lim

3n2

lim

3n2

n 3n2 7n 4

n 3n2

R 1,

интервалом сходимости

заданного ряда являются значения х,

удовлетворяющие неравенству:

x 5

то есть

x 5 1

или

4 x 6.

Следовательно, 4;6 - интервал сходимости данного ряда.

3) Исследуем

сходимость

данного

степенного

ряда в граничной

точке

x1 4. При x 4 первоначальный ряд принимает вид:

( 1)n n( 1)n

( 1)2n n

3n 4

n 0

3n 4

n 0 3n 4

Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие

сходимости числового ряда:

lim

n 3n 4

n 3n 3

Значит, при x 4 заданный степенной ряд расходится.

4) Исследуем

сходимость

данного

степенного

ряда в граничной

точке

x2 6. При x 6 первоначальный ряд принимает вид:

( 1)n n 1n

( 1)n n

n 0

3n 4

n 0 3n 4

Полученный знакочередующийся ряд расходится по признаку Лейбница

lim

n 3n 4

Следовательно, при x 6 заданный степенной ряд также расходится.

5) Таким образом, областью сходимости степенного ряда является x 4;6 . Для данного ряда интервал сходимости и область сходимости совпадают.◄

n 2 n3

Пример 22. Найти область сходимости степенного ряда xn . n 0 n 5

► Решение. 1) Вычислим радиус сходимости R данного ряда по формуле (2.9):

R lim 1

n nan

1
lim


n		n 2	n	3
		n 2	n
	n
	n
		n 5

1

		3	1
	n 2	n
				n
	lim

	n n 5

n 2 n2 lim n n 5

второй

замечательный

предел

n 5

lime n 5

lim 1

n 5

lim

n 5

lim (3n)

lim

en n

R ,

значит интервалом

сходимости заданного

ряда

является

; .

При

этом

областью сходимости

этого ряда

также

является

; . ◄

Задачи для самостоятельного решения.

185-223. Найти область сходимости степенного ряда (При решении задач

n n

можно использовать формулу Стирлинга: n! 2πn при n ):

(x 2)n

(x 1)n

(x 3)n

185.

186.

187.

n 3n

(2n 3)!

n 1

n 2

n 1n

n 10

n 2(x 2)n

n(x 1)n

(x 2)n

188.

189.

190.

n 2

2n 1

n 1(n

1)! 4

n 1

(n 1)(2x)n

(3n 2)(x 1)n

191.

192.

193.

7n 1

n 1n 2n 1

n 2

n 1

(n3 1)(x 3)n

xn(n 3)!

194.

195.

196.

2n n3

n2 3n

2n 1

n 0

n 1

3n (x 5)2n

3n(x 4)n

197.

198.

(x 4)

199.

n 1

2n(3n 1)

3n 1

n 1

(2x

(n!)

( 1)

n 1

(x 1)

(n 1)

200.

201.

202.

n 1

n 2

n 1

(2n)!

n 1

( 1)n x2n

(2n)!

203.

204.

205.

n 3

n 1

2n 1

206.

(x 3)n

207.

(n 1)n

9n 1 2

n 1

( 1)n (x 5)n

(x 8)3n

209.

210.

n lnn

n 2

n 1

(x 2)n 1

212.

213.

sin

4n 5n

n 1

215.

216.

lnn n

n 2

n 1

218.

4n 1 n

nx n

n 1

219.

n 1

4n 3

xn2

(x 8)n2

221.

222.

n 1

208. 2nn! x2n n 1(2n)!

(2 3x)3n

211.n 1 n4 4n

n(x 5) n

214.7n 1n 1

n 2 1

217.

(4x 1)

n 2

220.

(x 7)

n 1

(x 4)n2

223.

7n2

n 1

§2.8 Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Вопрос о равномерной сходимости степенных рядов решается достаточно просто с помощью нижеследующей теоремы.

Теорема 11. Если степенной ряд (2.7)

имеет радиус сходимости

R 0,

тогда он

равномерно сходится

на

r; r ,

где r

произвольное

число,

удовлетворяющее условию 0 r R.

Доказательство. Возьмем точку x x0

такую, что r

R. В этой точке ряд

(2.7) сходится,

следовательно,

lim anx0n

поэтому последовательность

ограничена:

an x0n

M , n 0,1,

Если

r, то

an xn

anrn

an x0n

M qn ,

где q

При

этом

ряд

M qn

является

суммой

членов геометрической

n 0

прогрессии со знаменателем q, q 1, значит, сходится.

	на r; r мажорируем сходящимся рядом.
Следовательно, ряд an xn	на r; r мажорируем сходящимся рядом.
n 0

Тогда по признаку Вейерштрасса ряд an xn равномерно сходится на r; r .

n 0

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим свойства степенных рядов, связанные с непрерывностью, почленным интегрированием и дифференцированием.

Теорема 12. Если степенной ряд (2.7) имеет радиус сходимости R 0,

тогда сумма ряда непрерывна в интервале ( R; R).
Доказательство.	По теореме 9 степенной ряд (2.7) равномерно сходится на
r; r , где	0 r R.	При	этом	un anxn ,	n 0,1, ,	являются
непрерывными	функциями	в	любой	точке x0 ( R; R). По		теореме 5

получаем, что S(x) anxn		непрерывна при x ( R; R).

n 0

Что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если степенной ряд (2.7) имеет радиус сходимости R 0, то

в интервале сходимости ( R; R) функция S(x) anxn имеет производные

n 0

любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда (2.7), причем радиусы сходимости полученных рядов также равны R.

Доказательство. 1) Ряд, составленный из производных членов ряда (2.7), имеет вид:

nanxn 1 .

n 1

Проверим выполнение условий теоремы 7 для ряда (2.7).

При x ( R; R) степенной ряд сходится по условию теоремы.

Функции

un (x) an xn,

n 0,1, , дифференцируемы

на

интервале

n 1

( R; R)

nanx

непрерывны

на

интервале

и производные un (x) anx

( R; R).

r; r ,

Ряд

nan xn 1 мажорируем

на

любом отрезке

где

0 r R.

n 1

возьмем точку x x0

Действительно,

такую, что r

R. В этой точке ряд

(2.7)

сходится,

следовательно,

lim anx0n 0,

поэтому последовательность

ограничена:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]