Теория рядов. Учебное пособие

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(ФГОБУ ВПО «СибГУТИ»)

В. К. Трофимов Т. С. Мурзина Т. Э. Захарова

ТЕОРИЯ РЯДОВ

Учебное пособие

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 230100.62 «Информатика и вычислительная техника», 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» и по специальности 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Новосибирск

2013

УДК 517.3 (075.8)

В. К. Трофимов, Т. С. Мурзина, Т. Э. Захарова. Теория рядов: Учебное пособие/ СибГУТИ. – Новосибирск, 2013.– 145 стр.

В учебном пособии излагается классический раздел математического анализа – теория рядов. В книге подробно изложен теоретический материал по следующим разделам: числовые ряды, функциональные, степенные ряды и ряды Фурье. Приведены примеры решения задач, на которых продемонстрированы тонкости излагаемого материала. Кроме того, пособие содержит большое количество задач для самостоятельного решения.

Кафедра высшей математики СибГУТИ

Ил.11, список лит.- 17 наименований

Для специальностей 230100.62, 210700.62, 090302.65

Рецензенты:

д.ф.-м.н., проф. Г.Г.Черных к.т.н., доцент Е.М.Григорьев

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.

© Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2013

2

3

§3.15 Теорема Котельникова о квантовании непрерывного сигнала по времени………………………………………………………. 136

4

Глава 1. Числовые ряды

§1.1 Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, сложение рядов

Пусть задана некоторая числовая последовательность an , где n –

где n 1,2,..., а an – действительные числа, будем называть числовым рядом.

называются членами ряда, а число an– n-ым членом ряда.

Сумму n первых членов ряда (1.1) будем называть n-ой частичной суммой и обозначать Sn :

n

Sn a1 a2 an = ak .

сумм Sn не имеет предела, то говорят, что ряд (1.1) расходится.

Замечание. Вопрос о сходимости ряда (1.1) в силу определения 1, равносилен вопросу о существовании предела последовательности Sn

последовательность частичных сумм совпадает с членами последовательности

un :

S1 u1, S2 b1 b2 u2 , S3 b1 b2 b3 u3 , … , Sn b1 bn un ,… .

5

При этом предел последовательности u1,u2, ,un , … (n N ) совпадает с суммой ряда (1.2).

Таким образом, изучение бесконечного ряда и его суммы есть просто иная форма изучения последовательности и ее предела, но эта форма имеет определенные преимущества как при исследовании вопроса существования предела, так и при его вычислении.

При изучении сходимости последовательности большое значение имеет критерий Коши. Напомним этот критерий сходимости последовательности.

Критерий Коши (для последовательности). Для сходимости последовательности Sn необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε 0 нашелся номер M такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n M , и для всех натуральных p N выполнялось

условие Sn p Sn ε.

Как следствие из этого утверждения получим критерий Коши сходимости

ряда:

Критерий Коши (для ряда). Для сходимости ряда an необходимо и

n 1

достаточно, чтобы для любого положительного числа ε 0 нашелся номер M такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n M , и для всех

n p

Sn p Sn ak . Отсюда, из определения сходимости ряда и критерия Коши

k n 1

для последовательности вытекает справедливость утверждения.

Что и требовалось доказать.

Установим, что конечное число членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость. Более точно справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

Доказательство. Рассмотрим ряд

k t 1

полученный из ряда (1.3) отбрасыванием первых t членов.

6

Из последнего равенства вытекает, что последовательности Sn и S~n t одновременно либо имеют предел, либо его не имеют. Это означает, что из сходимости ряда (1.3) следует сходимость ряда (1.4) и его сумма равна S St , а из расходимости (1.3) следует расходимость (1.4). Верно и обратное утверждение.

Таким образом, отбрасывание (или добавление) конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда, а влияет только на значение суммы ряда.

Лемма доказана.

Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд qn 1 , где q –произвольное

n 1

число.

► Решение. Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q. Используем известную формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии (при q 1):

7

Sn не существует.

Таким образом, при q 1 ряд qn 1 расходится.

n 1

в) Если q=1, то ряд имеет вид

1 + 1 +…+ 1 +…

расходится при q=1.

г) Если q= –1, то ряд имеет вид

1 – 1 + 1 –1+…

и его частичные суммы запишутся следующим образом: S2n 0; S2n 1 1. Это означает, что не существует предел последовательности частичных сумм

получившегося ряда, а значит, ряд qn 1 расходится в случае q= –1. ◄

n 1

1

Пример 2. Доказать сходимость ряда n 1 n(n 1)(n 2) и найти его

сумму.

► Решение. Заметим, что

то есть

1

an bn bn 1, где bn 2n(n 1).

Легко видно, что существует конечный предел последовательности bn при n (он равен нулю). Запишем n-ую частичную сумму исходного ряда:

Sn b1 b2 b2 b3 bn bn 1 b1 bn 1.

Вычислим предел последовательности этих частичных сумм Sn при n :

Этот предел существует и равен b1, а значит и сумма исходного ряда

8

► Решение. Так как при любом k 1, 2, , n выполняется неравенство

§1.2 Необходимое условие сходимости ряда

В этом параграфе рассмотрим необходимое условие сходимости ряда и достаточное условие расходимости ряда.

Теорема 1. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (1.1)

сходится, то его n-ый член стремится к нулю при неограниченном

возрастании n, то есть: liman 0.

n

Доказательство. Пусть ряд an сходится, это означает, что существуют

n 1

конечные пределы последовательностей Sn и Sn 1 частичных сумм ряда, так как при n величина (n 1) также стремится к бесконечности. Заметим, что

an Sn Sn 1.

В последнем равенстве перейдем к пределу при n . Учитывая, что в нашем случае предел разности равен разности пределов, имеем:

Это условие не является достаточным для сходимости ряда: из того, что

liman 0 не следует, что ряд сходится, он может как сходиться, так и

n

расходиться. Например, ряд из примера 3 удовлетворяет условию liman 0,

n

но расходится. Но если n-й член ряда (1.1) не стремится к нулю при n , то этот ряд расходится. Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда:

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если n-й член ряда

(1.1) не стремится к нулю при n , то этот ряд расходится.

Ряд

– а + а –а+…

расходится потому, что для его n-го члена lim an a 0.

n

9

Задачи для самостоятельного решения.

1-11. Проверить выполнение необходимого признака сходимости:

§1.3 Свойства сходящихся рядов

Докажем несколько свойств сходящихся рядов, которые будут полезны в дальнейшем.

сходятся или расходятся одновременно. В случае их сходимости

can =c an .

n 1 n 1

Доказательство. Обозначим через An частичные суммы ряда an , а через Bn

n 1

частичные суммы ряда can . Тогда имеем

n 1

n n

Bn = cak =c ak =cAn .

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что последовательности An и Bn сходятся или расходятся одновременно. Кроме того, если предел последовательности Bn существует, то справедливо равенство

limBn climAn ,

n n

из которого и следует утверждение

can =c an .

n 1 n 1

Что и требовалось доказать.

10