Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

gigj = gk;

2)  групповое умножение ассоциативно:

(gigj )gk = gi (gj gk );

3)  совокупность содержит единичный элемент E G такой, что для любого gi G

Egi = giE = gi;

4)  для всякого элемента gi G существует обратный элемент gi–1 G такой, что

gigi–1 = gi–1gi = E.

Для кристаллографических точечных групп роль группового умножения играет последовательное выполнение операций симметрии; единичным элементом является поворот кристаллического многогранника на 360° вокруг произвольного направления, т.е. отождествление, или единичная операция; взаимно обратными элементами являются поворот по часовой стрелке и такой же поворот против часовой стрелки, возвращающий кристаллический многогранник в первоначальное положение.

Кристаллографические точечные группы кроме свойств, перечисленных в аксиомах, имеют и другие свойства: они могут быть центросимметричными и ацентричными, каждая из них принадлежит к той или иной категории, сингонии и т.д.

Группы, в зависимости от числа элементов, бывают конечными и бесконечными. Для конечной группы число элементов называется порядком группы.

Взаимосвязь элементов конечной группы, определяемую первой из четырех групповых аксиом, можно представить наглядно в виде таблицы умножения. Каждая клетка такой таблицы содержит элемент, который представляет собой произведение элементов, стоящих в начале соответствующего столбца, и соответствующей строки таблицы.

11

Если все операции умножения в группе коммутативны, т.е. для всех элементов группы gigj = gjgi, то группа называется коммутативной, или абелевой. Таблица умножения коммутативной группы симметрична относительно главной диагонали­.

Если в группе не все операции умножения коммутативны, т.е. для некоторых элементов gi и gj группы gigj ≠ gjgi, то группа называется некоммутативной. Таблица умножения некоммутативной группы не симметрична относительно главной диагонали.

Группа, все элементы которой представляют собой степени одного из ее элементов, называется циклической. Все циклические группы коммутативны, но не все коммутативные группы являются циклическими.

Циклическая точечная группа называется элементом симметрии. Если операция, входящая в группу в первой степени, представляет собой поворот, то элемент симметрии – поворотная ось. Если эта операция есть инверсионный поворот, то элемент симметрии – инверсионная ось. Таким образом, понятие элемента симметрии наряду с геометрическим определением имеет и алгебраическое определение.

Всякая часть элементов группы G, которая сама по себе образует группу H, называется подгруппой группы G. То, что группа H – подгруппа группы G, обозначается как H G. Исходная же группа G по отношению к группе H называется надгруппой группы H. Подгруппы конечных групп обладают следующим свойством: порядок подгруппы является делителем порядка группы. Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы.

Группа, состоящая из единственного единичного элемента E, – подгруппа любой группы, поэтому ее называют тривиальной подгруппой и опускают при перечислении подгрупп.

Совокупность всех элементов, входящих одновременно в две группы, является группой и называется пересечением этих групп. Тогда пересечение двух групп – наивысшая общая подгруппа этих групп.

Некоторая совокупность операций симметрии, входящих в данную группу, называется системой образующих (генераторов), если эти операции при перемножении всеми способами

12

дают все операции, входящие в эту группу. Генераторы всех кристаллографических точечных групп приведены в прил.  3.

Предельные группы симметрии (группы Кюри)

В группы симметрии кристалла как сплошной непрерывной среды входят только оси порядка 2, 3, 4, 6, но в группы симметрии свойств такой среды могут входить также и оси симметрии бесконечного порядка, которые обозначаются символом ∞.

Точечные группы симметрии, в которые входят оси симметрии бесконечного порядка, называются предельными группами, или группами симметрии Кюри. Таких групп семь и каждая из 32 точечных групп симметрии кристаллов является подгруппой по меньшей мере одной из предельных точечных групп, подчинена одной из них, которая по отношению к этой подгруппе оказывается ближайшей предельной надгруппой. На рис.  1.1 представлены геометрические фигуры, которыми можно характеризовать предельные группы симметрии.

Рис.  1.1. Геометрические образы предельных точечных групп симметрии: ∞, правая и левая (а); ∞m (б); ∞/m (в); ∞2, правая и левая (г); ∞/mm (д); ∞∞, правая и левая (е); ∞∞m (ж); стрелками указаны направления вращения или закручивания фигур

13

Предельная группа ∞ имеет одну ось симметрии бесконечного порядка. Геометрическим образом этой группы является вращающийся конус (рис.  1.1, а).

Предельная группа ∞m имеет одну ось ∞ и бесконечное число проходящих вдоль нее плоскостей симметрии. Геометрическим образом этой группы является неподвижный конус (рис.  1.1, б).

Предельная группа ∞/m имеет одну ось симметрии бесконечного порядка, перпендикулярную по отношению к ней плоскость симметрии и центр симметрии. Геометрическим образом этой группы является вращающийся цилиндр (рис.  1.1, в).

Предельная группа ∞2 имеет одну ось ∞ и бесконечное число поперечных осей 2. Геометрическим образом этой группы является цилиндр, закрученный вдоль геометрической оси (рис.  1.1, г).

Предельная группа ∞/mm имеет одну ось ∞, бесконечное число продольных плоскостей симметрии, поперечную плоскость симметрии, бесконечное число поперечных осей 2 и центр симметрии. Геометрическим образом этой группы является неподвижный цилиндр (рис.  1.1, д).

Геометрическим образом предельной группы ∞∞, является шар, у которого все диаметры закручены (рис.  1.1, е). Такая фигура имеет бесконечное число осей ∞. Группа ∞∞ называется группой вращений.

Геометрическим образом предельной группы ∞∞m является шар (рис.  1.1, ж). Эта фигура имеет бесконечное число осей ∞ и бесконечное число плоскостей симметрии. Группа ∞∞m называется ортогональной группой.

Предельные группы ∞, ∞2, ∞∞ энантиоморфны, т.е. фигуры такой симметрии могут быть правыми и левыми. Подчиненные им группы также энантиоморфны.

Оси ∞ могут входить в группы симметрии физических полей – электрического, магнитного, поля механических напряжений. Например, симметрию постоянного однородного электрического поля можно охарактеризовать группой ∞m, постоянного однородного магнитного поля – группой ∞/m, одноосного растягивающего или сжимающего механического напряжения – группой ∞/mm, всестороннего сжатия – группой ∞∞m.

14

Кристаллографические и кристаллофизические системы координат

Для описания направлений и плоскостей в кристаллах служат кристаллографические­ системы координат XYZ. Для описания физических свойств кристаллов используются ортогональные кристаллофизические системы координат X1X2Х3. Стандартные правила ориентировки кристаллофизических осей относительно кристаллографических осей приведены в прил.  2. Кристаллографические и кристаллофизические координатные системы всегда выбираются правыми, а углы между положительными направлениями соответствующих кристаллографических и кристаллофизических осей – меньшими 90°. Для кубической, тетрагональной и ромбической сингоний направления осей в кристаллофизических и кристаллографических системах координат совпадают.

Матричное представление операций симметрии

Действие над кристаллическим многогранником можно заменить действием над осями координат. В этом случае операция симметрии определяется как преобразование прямоугольной системы координат при неподвижном кристаллическом многограннике.

Разложение векторов ортонормированного базиса e1′, e2′, e3′ новой системы координат X1′X2′X3′ по ортонормированному базису e1, e2, e3 старой системы координат X1X2X3 можно записать так:

e1′ =C11e1 +C12e2 +C13e3;

e2′ =C21e1 +C22e2 +C23e3;

e3′ =C31e1 +C32e2 +C33e3,

или, используя правило суммирования Эйнштейна,

ei′ =Cikek.

15

Коэффициенты Cik образуют матрицу ортогонального преобразования

Эта матрица называется также матрицей направляющих косинусов, так как каждый элемент Cik матрицы равен косинусу угла между соответствующими координатными осями:

Cik = ei′ek = cos(Xi′,Xk ).

Любой операции симметрии можно поставить в соответствие свою матрицу направляющих косинусов, т.е. записать ее в матричном представлении.

Обратное преобразование

ek = Cikei′

характеризуется матрицей CT, которая одновременно и обратна матрице C и транспонирована ей. Такие матрицы удовлетворяют соотношениям

CikCjk =δij, CikCil =δkl

и называются ортогональными. Здесь dij – символ Кронекера,

1 при i = j;

δij = 0 при i ≠ j.

Обратим внимание на порядок записи индексов суммирования – на первом месте стоит индекс, относящийся к новой системе координат.

Определитель ортогональной матрицы

D = det(C)= ±1,

16

причем для операций первого рода (поворотов), при которых правая система координат остается правой, левая – левой, D = +1, а для операций второго рода (инверсионных поворотов), при которых правая система координат переходит в левую, а левая – в правую, D = –1.

Последовательному выполнению симметрических преобразований соответствует произведение соответствующих матриц направляющих косинусов в смысле обычного матричного умножения. При этом матрица, соответствующая симметрическому преобразованию, производимому раньше, записывается правее. Некоммутативность матричного умножения отражает некоммутативность симметрических преобразований – проведя два симметрических преобразования сначала в одном, а затем в обратном порядке, можно получить разные результаты.

Совокупность матриц направляющих косинусов, построенная для всех неэквивалентных операций симметрии, входящих в данную точечную группу симметрии, называется матричным представлением этой группы.

Примеры решения задач

Задача  1.1. Найти матричное представление следующих операций симметрии: а)  поворот вокруг оси X3 на 90°; б)  отражение в плоскости, проходящей по оси X3 и биссектрисе угла между осями X1 и X2.

Решение

Любой поворот R можно охарактеризовать осью поворота и углом поворота вокруг нее. Поэтому для задания любого поворота достаточно указать единичный вектор k, направление которого совпадает с осью поворота, и угол поворота 0 ≤ j ≤ 180°. При этом каждому повороту на угол 0 < j < 180° будет соответствовать единственный вектор k, а на угол 180° – два противоположно направленных вектора k. Поскольку положительным направлением поворота кристаллического многогранника считается поворот по часовой стрелке, положительным направлением поворота системы координат считается поворот против часовой стрелки, т.е. поворот системы координат вокруг вектора k происходит в направлении правого винта.

17

Пусть построенная на ортонормированном базисе e1′, e2′, e3′ новая декартова система координат X1′X2′X3′ получается из построенной на ортонормированном базисе e1, e2, e3 старой декартовой системы координат X1X2X3 посредством поворота R(k,j), в результате которого вектор ei переходит в вектор ei′(рис.  1.2).

Рис.  1.2. Преобразование вектора ei при повороте вокруг оси k на угол j

Разложим вектор ei′по трем взаимно ортогональным векто-

рам k, ei – kik, k×ei. Учитывая, что длины векторов ei – kik и k×ei равны, получаем

ei′ =kik +(ei −kik)cosj+(k×ei )sinj.

Тогда элементы Cij матрицы направляющих косинусов, соответствующейпреобразованиюR(k,j),будутиметьследующийвид:

Cij (k,j)=ei′ej =δij cosj+δijlkl sinj+kikj (1−cosj),

где dijl – символ Леви – Чивиты,

1 при ijl =123, 231, 312;

δijl = −1 при ijl =132, 213, 321;0 в остальных случаях.

Инверсионный поворот вокруг единичного вектора k на

угол j представляет собой произведение поворота R(k,j) на ин-

версию: 1 (k, ). Следовательно, матрица направляющих ко-

– R j

синусов такого преобразования есть произведение матрицы

18

C(k,j) на матрицу (–dij). Таким образом, получаем общий вид матрицы ортогонального преобразования:

Cij (k,j)= D δij cosj+δijlkl sinj+kikj (1−cosj) ,

где D = +1 соответствует повороту, D = –1 – инверсионному повороту.

а)  Поворот на 90° вокруг оси X3 переведет оси X1, X2, X3 в новые положения X1′, X2′, X3′ (рис.  1.3). Направляющие косинусы при таком преобразовании:

C11 =cos(90°)=0; C12 = cos(0°)=1; C13 = cos(90°)=0; C21 = cos(180°)= −1; C22 =cos(90°)=0; C23 = cos(90°)=0; C31 = cos(90°)=0; C32 =cos(90°)=0; C33 =cos(0°)=1,

и матрица направляющих косинусов будет иметь следующий вид:

Рис.  1.3. Преобразование осей координат при повороте на 90° вокруг оси X3

19

Решим задачу в среде Maxima.

Составим функцию, которая реализует вычисление матрицы C(k,j):

(%i1) load("itensor")$

(%i2) rot2dcm(k,j,D):= genmatrix(lambda([i,j],

D*(kdelta([i],[j])*cos(j)+ sum(levi_civita([i,j,m])*k[m],m,1,3)*sin(j)+ k[i]*k[j]*(1-cos(j)))),3,3)$

Для функции rot2dcm требуется указание трех входных аргументов. Первый входной аргумент k передает в эту функцию единичный вектор k, задающий ось поворота; второй входной аргумент j – угол поворота (в радианах), 0 ≤ j ≤ p; третий входной аргумент D принимает значение +1 для операций первого рода и –1 для операций второго рода.

Введем единичный вектор k || X3:

(%i3) k: [0,0,1]$

Зададим угол поворота j = 90°:

(%i4) j: %pi/2$

В силу того что рассматриваемый поворот является операцией первого рода, D = +1:

(%i5) D: 1$

Используя функцию rot2dcm, вычислим матричное представление операции поворота вокруг оси X3 на 90°:

(%i6) rot2dcm(k,φ,Δ);

0 1 0

(%o6) -1 0 00 0 1

б)  Отражение в плоскости, проходящей по оси X3 и биссектрисе угла между осями X1 и X2, переводит оси X1, X2, X3

20