Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

в новые положения X1′, X2′, X3′ как показано на рис.  1.4. Направляющие косинусы при таком преобразовании:

C11 = cos(90°)=0; C12 = cos(0°)=1; C13 = cos(90°)=0; C21 = cos(0°)=1; C22 = cos(90°)=0; C23 = cos(90°)=0; C31 = cos(90°)=0; C32 = cos(90°)=0; C33 = cos(0°)=1.

Тогда матрицу направляющих косинусов можно записать в следующем виде:

Рис.  1.4. Преобразование осей координат плоскостью, проходящей по оси X3 и биссектрисе угла между осями X1 и X2

Получим эту матрицу в среде Maxima.

Операция отражения в плоскости эквивалентна инверсионному повороту на 180° вокруг оси, направленной по нормали к этой плоскости. При этом ось поворота может быть задана любым из двух противоположно направленных векторов

21

(%i7) k: [1,–1,0]/sqrt(2);

(%o7) 12,- 12,0

Зададим угол поворота j = 180°:

(%i8) j: %pi$

Так как рассматриваемая операция является инверсионным поворотом, D = –1:

(%i9) D: –1$

Используя функцию rot2dcm найдем матричное представление операции отражения в плоскости, проходящей по оси X3 и биссектрисе угла между осями X1 и X2:

(%i10) rot2dcm(k,j,D);

0 1 0

(%o10) 1 0 00 0 1

Задача  1.2. Определить, каким операциям симметрии соответствуют следующие матрицы:

22

Решение

Решим задачу в среде Maxima.

С помощью функции rot2dcm вычислим матрицу C(k,j), соответствующую произвольному ортогональному преобразованию:

Вычислим след матрицы C(k,j), т.е. сумму ее диагональных элементов:

Учитывая, что k – единичный вектор, выполним подстановку k12 + k22 + k32 = 1:

(%i4) ratsubst(1,k[3]^2+k[2]^2+k[1]^2,%);

(%o4) 2Dcos(j)+D

Таким образом, след матрицы C(k,j)

Cii = D(1+2cosj),

отсюда

cosj= 12 (D(C11 +C22 +C33 )−1).

Таккакуголповоротаjизменяетсявпределах0≤j≤180°,полученная формула позволяет определить этот угол однозначно.

23

Вычислим разность недиагональных элементов матрицы C(k,j):

Результаты вычислений показывают, что искомая разность недиагональных элементов

Cij – Cji =2Dδijlklsinj.

Отсюда нетрудно найти компоненты единичного вектора k, определяющего ось поворота:

kl = 2sinD jδlijCij

или

k1 = 2sinD j(C23 −C32 ); k2 = 2sinD j(C31 −C13 ); k3 = 2sinD j(C12 −C21 ).

Очевидно, что эти формулы справедливы только при j ≠ 180°. Вычислим матрицу C(k,j) при j = 180°:

Нетрудно видеть, что диагональные элементы матрицы C(k,j)

C11 = D(2k12 −1); C22 = D(2k22 −1); C33 = D(2k32 −1),

а недиагональные

24

Cij =2Dkikj.

Тогда при j = 180° компоненты вектора k можно определить

причем знаки следует выбирать так, чтобы sign(kikj) = sign(DCij), i ≠ j.

Таким образом, зная матрицу C(k,j) можно определить ось и угол поворота.

Cоставим функцию, которая реализует описанную выше схему решения задачи:

(%i1) dcm2rot(C):= block([D,j,k], D: determinant(C),

j: acos((D*(C[1,1]+C[2,2]+C[3,3])–1)/2), if sin(j)#0 then

k: D*[C[2,3]-C[3,2],C[3,1]-C[1,3],C[1,2]-C[2,1]]/ (2*sin(j))

else

(k: sqrt((D*[C[1,1],C[2,2],C[3,3]]+1)/2), if k[1]#0 then

k: signum([1,D*C[1,2],D*C[1,3]])*k elseif k[2]#0 then

k: signum([D*C[2,1],1,D*C[2,3]])*k),

[k,j,D])$

Функция dcm2rot требует ввода матрицы направляющих косинусов С и возвращает единичный вектор k оси поворота, угол поворота j (в радианах) и определитель D матрицы C.

а)  Матрица

25

соответствует операции симметрии, которая переводит ось X1 в X3, ось X2 в –X1, ось X3 в –X2, т.е. выполняет циклическую перестановку осей X1, X3, –X2 (рис.  1.5). Такой операцией симметрии является поворот на 120° вокруг оси, составляющей одинаковые углы с координатными осями X1, –X2, X3.

Рис.  1.5. Преобразование осей координат при повороте вокруг оси, составляющей одинаковые углы

с осями X1, –X2, X3

Для того чтобы в среде Maxima охарактеризовать поворот, которому соответствует матрица C, осуществим ввод этой матрицы и вызовем функцию dcm2rot:

Результаты вычислений показывают, что рассматриваемая матрица описывает поворот на 120° вокруг оси, заданной

26

б)  Матрица

является матричным представлением операции симметрии, которая переводит оси X1, X2, X3 в новые положения X1′, X2′, X3′ как показано на рис.  1.6. Нетрудно видеть, что такой операцией симметрии является отражение в плоскости, проходящей вдоль оси X3 и располагающейся под углом 30° к оси X1.

Рис.  1.6. Преобразование осей координат отражением в плоскости, проходящей вдоль оси X3 и располагающейся

под углом 30° к оси X1

Определим в среде Maxima, какой операции симметрии соответствует матрица C. Выполнив команды

27

(%i4) C: matrix([1/2,sqrt(3)/2,0],[sqrt(3)/2,–1/2,0],[0,0,1]);

получим, что рассматриваемая матрица соответствует инверсионному повороту на 180° вокруг оси, заданной единичным

ходящей вдоль оси X3 и располагающейся под углом 30° к оси X1.

Задача  1.3. Кристалл поворачивают на 120° вокруг оси X3 против часовой стрелки, затем отражают в плоскости, перпендикулярной оси X1. Найти матрицу симметрического преобразования, которое приводит к тому же результату. Определить, к какому результату приведет изменение порядка выполнения операций?

Решение

Решим задачу в среде Maxima.

Поворот кристалла вокруг оси X3 на 120° против часовой стрелки (операция 3–1) эквивалентен повороту кристалла вокруг оси X3 на 240° по часовой стрелке (операция 32), который характеризуется осью поворота k = (0, 0, 1) и углом пово-

рота j = 240°. Вычислим матрицу, соответствующую операции 32:

(%i2) rot2dcm([0,0,1],2*%pi/3,1)$ C1: %^^2;

28

Заменив операцию отражения в плоскости m, перпендикулярной оси X1, инверсионным поворотом на 180° вокруг оси X1, вычислим матрицу, соответствующую этому повороту:

(%i3) C2: rot2dcm([1,0,0],%pi,–1);

Найдем матрицу, которая является матричным представлением последовательного проведения двух операций симметрии – сначала 32, потом m:

Наконец, выполнив команду

(%i5) dcm2rot(%);

получим, что произведение m 32 эквивалентно отражению кристаллического многогранника в плоскости, проходящей вдоль оси X3 и располагающейся под углом 30° к оси X1.

29

Для того чтобы ответить на второй вопрос задачи, вычислим матрицу, соответствующую последовательному проведению сначала операции m, а затем операции 32:

Применив к полученной матрице функцию dcm2rot:

(%i7) dcm2rot(%);

нетрудно убедиться, что произведение 32 m эквивалентно отражению кристаллического многогранника в плоскости, проходящей вдоль оси X3 и располагающейся под углом –30° к оси X1.

Результаты вычислений показывают, что изменение порядка выполнения операций 32 и m приводит к другому результату: m 32 ≠ 32 m. Следовательно, эти операции не коммутируют.

Задача  1.4. Изобразить стереографическую проекцию элементов симметрии для точечной группы 3m. Указать на ней совокупность симметрически эквивалентных направлений общего положения.Перечислитьвсеоперациисимметрии,входящиевточечную группу 3m. Построить таблицу умножения этой группы.

Решение

Группа 3m содержит одну ось симметрии 3 и три продольные плоскости симметрии (см. прил.  2). Обозначим ось 3 символом 3Z, плоскости симметрии – символами mX, mY, mU (рис.  1.7).

Выберем произвольное направление (кружок 1 на рис.  1.7) в качестве исходного и размножим его всеми операциями симметрии группы 3m. Отражение направления 1 в плоскости сим-

30