Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

Нетрудно видеть, что компоненты вектора a в новой системе координат или остаются неизменными, или переходят в другие, возможно изменяя при этом знак:

a1 →–a2; a2 →a1; a3 →–a3,

или, в более компактной записи:

1→–2; 2 →1; 3 →–3.

Тогда компоненты тензора [aik], как произведения компонент вектора a, преобразуются следующим образом:

11→22; 12 →–21; 13 →23;

21→–12; 22 →11; 23 →–13;

31→32; 32 →–31; 33 →33.

a11 =a22; a12 =–a21; a13 =a23; a21 =–a12; a22 =a11; a23 =–a13; a31 =a32; a32 =–a31; a33 =a23.

Из сопоставления равенств a13 = a23 и a23 = –a13, получим,

что a13 = a23 = 0. Сопоставив равенства a31 = a32 и a32 = –a31 имеем a31 = a32 = 0. Равенства a11 = a22, a12 = –a21 устанавливают соотношения между ненулевыми компонентами. Эти ра-

венства, как и тривиальное равенство a33 = a33, удовлетворяются при любых значениях соответствующих компонент.

При действии операции 2X компоненты вектора a подвергаются преобразованию

Рассматривая действие этой операции на ненулевые ком-

поненты тензора [aik], оставшиеся после проверки на инвари-

–1

антность относительно операции 4 Z, получаем следующие равенства:

91

a11 = a11; a22 = a22; a33 = a33; a12 =–a12; a21 =–a21.

и a33. Иначе говоря, для кристаллов класса 42m материальный несимметричный полярный тензор второго ранга имеет вид

б)  Определим вид материального несимметричного псевдо-

A – m

тензора второго ранга [ ik] для кристаллов класса 42 .

Из сравнения законов преобразования компонент полярного вектора a, аксиального вектора A и псевдотензора второго ранга [Aik] следует, что компоненты псевдотензора второго ранга при переходе к новой системе координат преобразуются аналогично произведению компонент полярного и аксиального векторов:

ai′Ak′ = DCimCknam An; Aik′ = DCimCkn Amn.

Компоненты аксиального вектора A при действии опера-

–1

ции 4Z подвергаются преобразованию

или

1→2; 2 →–1; 3 →3,

а при операции 2X преобразуются так же, как компоненты полярного вектора, т.е. по закону (3.4).

92

При операции 2X компоненты псевдотензора [Aik], как произведения компонент полярного и аксиального векторов, преобразуются по следующему правилу:

11→11; 12 →–12; 13 →–13;

21→–21; 22 →22; 23 →23;

31→–31; 32 →32; 33 →33.

Требование инвариантности псевдотензора [Aik] относительно операции 2X приводит к обращению в нуль компонент A12,

A21, A13, A31. Проверяя оставшиеся ненулевые компоненты на

–1 инвариантность относительно операции 4Z, получаем:

A11 =–A22; A33 =–A33 =0; A23 = A13 =0; A32 = A31 =0.

– m

Таким образом, для кристаллов класса 42 материальный несимметричный псевдотензор второго ранга имеет вид

Задача  3.2. Определить, какой вид имеет материальный несимметричный псевдотензор второго ранга для кристаллов с симметрией 3m. Для решения задачи воспользоваться: а)  аналитическим методом: б)  методом усреднения по группе.

Решение

В соответствии с правилами выбора кристаллофизических осей в кристаллах класса 3m принимаем, что ось X3 направлена по оси симметрии третьего порядка, а ось X1 перпендикулярна одной из трех плоскостей симметрии (см. прил.  2).

а)  Найдем вид материального несимметричного псевдотензора второго ранга аналитическим методом.

Пусть (Cik) – матрица какой-либо операции симметрии g кристалла, свойство которого описывает материальный псевдотензор [Aik]. Подвергнем кристалл преобразованию g. В новой системе координат компоненты псевдотензора [Aik] примут вид

93

Aik′ = DCimCknAmn. Но так как g – операция симметрии кристалла, то в соответствии с принципом Неймана компоненты псевдотензора [Aik] в новой системе координат должны совпадать с его компонентами в старой системе: Aik′ = Aik. Отсюда получим

и эти девять равенств должны выполняться для любой матрицы (Cik) в случае, если g – одна из операций симметрии кристалла. Таким образом, равенства (3.5) представляют собой систему однородных линейных уравнений, которым должны удовлетворять компоненты псевдотензора [Aik] в случае, если этот псевдотензор описывает свойства кристалла. Число уравнений в системе (3.5) равно 9N, где N – порядок точечной группы кристалла. Но независимых уравнений среди них значительно меньше, так как если псевдотензор [Aik] удовлетворяет уравнениям (3.5) для матриц, соответствующих генераторам точечной группы кристалла, то он удовлетворяет и всем остальным уравнениям.

Решим задачу в среде Maxima.

Введем несимметричный псевдотензор [Aik] общего вида:

(%i1) A: genmatrix(A,3,3);

Генераторы группы 3m – это поворот вокруг оси X3 на 120° (операция 31Z) и отражение в плоскости, перпендикулярной оси X1 (операция mX). В матричном представлении эти операции примут следующий вид:

(%i2) C3: rot2dcm([0,0,1],2*%pi/3,1);

94

(%i3) Cm: rot2dcm([1,0,0],%pi,–1);

Определим вид псевдотензора [Aik] в новой системе координат, полученной преобразованием 31Z кристаллофизической системы координат:

95

Найдем вид псевдотензора [Aik] в системе координат, полученной преобразованием mX кристаллофизической системы координат:

(%i7) Am: –Cm.A.transpose(Cm);

Составим систему уравнений (3.5) для генератора mX:

(%i8) eqs2: create_list(Am[i,j]=A[i,j],i,1,3,j,1,3);

(%o8) [–A1,1=A1,1,A1,2=A1,2,A1,3=A1,3,A2,1=A2,1,–A2,2=A2,2,–A2,3=A2,3,A3,1=A3,1, –A3,2=A3,2,–A3,3=A3,3]

Наконец, объединим уравнения, построенные для каждого генератора в отдельности, и решим полученную систему уравнений относительно компонент псевдотензора [Aik]:

(%i9) eqs: append(eqs1,eqs2)$

(%i10) vars: create_list(A[i,j],i,1,3,j,1,3)$

(%i11) solve(eqs,vars);

solve: dependent equations eliminated: (9 11 12 16 13 8 6 1 4 5) (%o11) [[A1,1=0,A1,2=%r1,A1,3=0,A2,1=–%r1,A2,2=0,A2,3=0,A3,1=0,A3,2=0,A3,3=0]]

Найденное решение системы уравнений (3.5) показывает, что псевдотензор [Aik], инвариантный относительно группы 3m, имеет только две ненулевые компоненты A12 и A21, связанные соотношением A21 = –A12.

б)  Определим вид материального несимметричного псевдотензора второго ранга, используя метод усреднения по группе.

Группа 3m имеет два генератора – 31Z и mX. Тогда для того, чтобы построить несимметричный псевдотензор второго ранга [Aik], инвариантный относительно группы 3m, необходимо сначала подействовать на псевдотензор [Aik] общего вида всеми операциями симметрии, входящими, например, в подгруппу 3{1, 31Z, 32Z }, определяемую генератором 31Z, и вычислить среднее арифметическое полученных результатов:

96

[Aik ]3 = 13 ([Aik ]+C(31Z )[Amn ]CT (31Z )+C(32Z )[Amn ]CT (32Z )).

Затем результат первого усреднения следует усреднить по подгруппе m{1, mX}, определяемой генератором mX:

[Aik ]3m = 12 ([Aik ]3 −C(mX )[Aik ]3 CT (mX )).

Псевдотензор [Aik] 3m и есть искомый несимметричный псевдотензор второго ранга, инвариантный относительно группы 3m.

Решим задачу в среде Maxima.

Усредним псевдотензор [Aik] по подгруппе 3:

(%i12) A3: (A+C3.A.transpose(C3)+(C3^^2).A.transpose(C3^^2))/3;

Затем результат этого усреднения – псевдотензор [Aik] 3 – усредним по подгруппе m:

(%i14) A3m: (A3-Cm.A3.transpose(Cm))/2;

97

Нетрудно видеть, что у псевдотензора [Aik] 3m не обращаются в нуль только компоненты A12 и A21, которые связаны соот-

ношением A21 = –A12.

Таким образом, для кристаллов класса 3m материальный несимметричный псевдотензор второго ранга имеет вид

Задача  3.3. Механическое воздействие, приложенное к тетрагональному кристаллу с симметрией 4/m, создает в нем напряжение чистого сдвига, описываемое в кристаллофизической системе координат симметричным полярным тензором второго ранга вида

Определить, как изменится симметрия кристалла при внешнем воздействии.

Решение

Решение задачи заключается в нахождении пересечения группы симметрии 4/m кристалла до воздействия и группы симметрии напряжения чистого сдвига при заданной взаимной ориентации элементов симметрии этих групп.

Решим задачу в среде Maxima.

Генераторами группы 4/m (X3 || 4) являются поворот на 90° вокруг оси 4 кристалла и инверсия (см. прил.  3). Вычислим матрицы, соответствующие этим операциям:

(%i1) C4: rot2dcm([0,0,1],%pi/2,1);

0 1 0

(%o1) -1 0 00 0 1

(%i2) Ci: –ident(3);

98