Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

Решим эту систему относительно матричных элементов Cik, считая компоненты aik тензора заданными. Из первых трех уравнений нетрудно получить следующие решения:

из четвертого уравнения следует

пятое и шестое уравнения удовлетворяются тождественно. Таким образом, решениями системы уравнений (2.10) служат матрицы вида

элементы C11, C12, C21, C22 которых могут принимать любые значения, удовлетворяющие соотношениям ортогональности (2.11), (2.12).

Итак, группа внешней симметрии тензора [aik] содержит только те операции симметрии, которые при преобразовании системы координат либо сохраняют направление оси X3 старой системы координат (C33 = 1), либо изменяют направление оси X3 на противоположное (C33 = –1). Нетрудно убедиться, что повороты вокруг оси X3 на произвольный угол j, матричным представлением которых являются матрицы вида

(%i5) rot2dcm([0,0,1],j,1);

а также отражения в любых плоскостях, проходящих вдоль оси X3 и составляющих произвольный угол y с осью X1, которым соответствуют матрицы вида

61

(%i7) rot2dcm([cos(y+%pi/2),sin(y+%pi/2),0],%pi,–1)$ trigrat(%);

не меняют направление оси X3, тогда как инверсионные повороты вокруг оси X3 на произвольный угол j, матричным представлением которых являются матрицы

(%i8) rot2dcm([0,0,1],j,–1);

а также повороты на 180° вокруг любой оси, перпендикулярной оси X3 и составляющей произвольный угол y с осью X1, которым соответствуют матрицы

(%i10) rot2dcm([cos(y),sin(y),0],%pi,1)$ trigrat(%);

изменяют направление оси X3 на противоположное. Очевидно, что повороты вокруг оси X3 на произвольный угол j, включают в себя операцию отождествления, а инверсионные повороты вокруг оси X3 на произвольный угол j – инверсию и отражение в плоскости, перпендикулярной оси X3.

Таким образом, внешняя симметрия симметричного полярного тензора второго ранга вида

описывается предельной группой ∞/mm (см. прил.  4). Ось ∞ этой группы направлена вдоль оси X3.

62

Задача  2.3. Симметричный полярный тензор второго ранга имеет вид

Найти собственные векторы и собственные значения этого тензора. Определить, какова внешняя симметрия этого тензора. Указать систему координат, в которой тензор [aik] имеет диагональный вид.

Решение

Решим задачу в среде Maxima. Введем тензор [aik]:

(%i1) a: matrix([11,sqrt(3),0],[sqrt(3),9,0],[0,0,7]);

Вычислим собственные значения тензора [aik] и соответствующие им собственные векторы:

Отсюдаl1 =12,l2 =8,l3 =7.Собственномузначениюl1 =12со-

ственному значению l3 = 7 – собственный вектор u(3) =(0,0,±1).

63

Все три собственных значения симметричного полярного тензора второго ранга [aik] различны, следовательно, внешняя симметрия этого тензора описывается группой mmm; оси 2 этой группы направлены по собственным векторам тензора [aik].

Построим новый базис e1′, e2′, e3′ на собственных векторах тензора [aik]:

e1′ = u(1), e2′ =u(2), e3′ =u(3).

Введем матрицу направляющих косинусов (Cik), осуществляющую переход от старого базиса, в котором определен приведенный в задаче тензор [aik], к новому базису:

(%i4) C: matrix(u[1][1],u[2][1],u[3][1]);

Найдем вид тензора [aik] в новой системе координат:

(%i6) C.a.transpose(C)$ ratsimp(%);

Таким образом, тензор [aik] имеет диагональный вид в системе координат, построенной на его собственных векторах, т.е. в своей главной системе координат.

Задача  2.4. Определить собственные векторы и собственные значения симметричного псевдотензора второго ранга

64

Определить, какой группой описывается внешняя симметрия этого тензора. Выяснить, в какой системе координат тензор [Aik] имеет диагональный вид.

Решение

Решим задачу в среде Maxima. Введем псевдотензор [Aik]:

(%i1) A: matrix([4,0,–1],[0,3,0],[–1,0,4]);

Вычислим собственные значения и собственные векторы псевдотензора [Aik]:

щим собственным значениям l2 = l3 = 3 соответствует плоскость собственных векторов, перпендикулярная собственному вектору u(1). В качестве направляющих векторов этой плоскости мо-

Очевидно, что любой вектор, лежащий в плоскости собственных векторов, является собственным вектором псевдотензора [Aik].

Два собственных значения симметричного псевдотензора второго ранга [Aik] совпадают, следовательно, его внешняя симметрия описывается предельной группой ∞2; ось ∞ этой группы

тензора [Aik].

65

Построим ортонормированный базис e1′, e2′, e3′ таким образом, чтобы орты e1′и e2′лежали в плоскости собственных векторов псевдотензора [Aik], а ортом e3′ служил его собственный вектор u(1):

где a, b – любые действительные числа.

Введем векторы e1′, e2′, e3′:

(%i4) e1: a/sqrt(a^2+b^2)*u[2][1]+b/sqrt(a^2+b^2)*u[2][2];

(%i5) e2: –b/sqrt(a^2+b^2)*u[2][1]+a/sqrt(a^2+b^2)*u[2][2];

(%i6) e3: u[1][1];

(%o6) 12,0,- 12

Введем матрицу направляющих косинусов (Cik), задающую ориентацию нового базиса e1′, e2′, e3′ относительно старого, в котором определен приведенный в условии задачи псевдотензор [Aik]:

66

Определитель матрицы (Cik) равен –1:

(%i9) determinant(C)$ ratsimp(%);

(%o9) –1

Значит, система координат перешла из правой (левой) в левую (правую).

Определим вид тензора [Aik] в новой системе координат:

(%i11) –C.A.transpose(C)$ ratsimp(%);

Базис e1′, e2′, e3′ может быть построен различными способами. Изменив, например, направление орта e2′ на противоположное, получим следующую матрицу (Cik):

Определитель этой матрицы равен +1:

(%i14) determinant(C)$ ratsimp(%);

(%o14) 1

Значит, система координат перешла из правой (левой) в правую (левую). Найдем вид псевдотензора [Aik] в новой системе координат:

(%i16) C.A.transpose(C)$ ratsimp(%);

3 0 0

(%o16) 0 3 00 0 5

67

Таким образом, псевдотензор [Aik] имеет диагональный вид в своей главной системе координат. При этом знаки собственных значений псевдотензора [Aik] не меняются в том случае, если система координат перешла из правой (левой) в правую (левую), и меняются на противоположные, если система координат перешла из правой (левой) в левую (правую).

Задача  2.5. Показать, что антисимметричный полярный тензор второго ранга дуален аксиальному вектору.

Решение

Для доказательства утверждения, сформулированного в условии задачи, достаточно показать, что при изменении системы координат компоненты антисимметричного полярного тензора второго ранга преобразуются как компоненты аксиального вектора.

Решим задачу в среде Maxima.

Пусть дан антисимметричный полярный тензор [aik]:

(%i1) a: matrix([0,a_12,–a_31],[–a_12,0,a_23],[a_31,–a_23,0]);

Рассмотрим, как преобразуются компоненты этого тензора при изменении системы координат.

Введем матрицу (Cik) произвольного ортогонального преобразования системы координат:

(%i2) C: genmatrix(C,3,3);

Представим закон преобразования компонент полярного тензора второго ранга aik′ = CimCknamn в виде

68

и вычислим независимые компоненты a12′ , a23′ , a31′ тензора [aik] в новой системе координат:

Результаты вычислений показывают, что компоненты антисимметричного полярного тензора второго ранга преобразуются по закону

Матрица (Cik)T, транспонированная к матрице (Cik), одно-

временно и обратна матрице (Cik). Тогда (Cik) = ((Cik)T)–1 и любой элемент матрицы (Cik) может быть выражен через ее дру-

гие элементы с помощью соотношения

где Mik – минор матрицы (Cik), получающийся при вычеркивании строки i и столбца k;

D – определитель матрицы (Cik), D = ±1.

Найдем вид матрицы (Cik), элементы которой определяются в соответствии с соотношением (2.14):

(%i5) D*genmatrix(lambda([i,k],(-1)^(i+k)*determinant(minor(C,i,k))),

69

Отсюда

Заменим в соотношениях (2.13) разности двойных произведений компонент матрицы (Cik), заключенные в скобки, соответствующими компонентами Cik в соответствии с соотношениями (2.15):

(%i6) lratsubst([%[1,1]/D=D*C[1,1],%[1,2]/D=D*C[1,2],%[1,3]/D=D*C[1,3], %[2,1]/D=D*C[2,1],%[2,2]/D=D*C[2,2],%[2,3]/D=D*C[2,3], %[3,1]/D=D*C[3,1],%[3,2]/D=D*C[3,2],%[3,3]/D=D*C[3,3]], a_rot );

(%o6) ar12 = (C3,2a31 +C3,1a23 +C3,3a12)D, r31 = (C2,2a31 +C2,1a23 +C2,3a12)D, ar23 = (C1,2a31 +C1,1a23 +C1,3a12)D

Полученные соотношения

представляют собой другую форму записи закона преобразования (2.13).

Введем следующие обозначения:

и выполним подстановку соотношений (2.17) в соотношения (2.16):

70