Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

Группа

Генераторы

Группа

Генераторы

1

1

422

4 || X3, 2 || X1

–

–

4mm

4 || X3, m ^ X1

1

1

2

2 || X3

–

–

42m

4 || X3, 2 || X1

m

m ^ X3

4/mmm

–

4 || X3, 2 || X1, 1

2/m

2 ||

–

6

6 || X3

X3, 1

222

2 || X3, 2 || X1

–

–

|| X3

6

6

mm2

2 || X3, m ^ X1

6/m

6 ||

–

X3, 1

mmm

–

622

6 || X3, 2 || X1

2 || X3, 2 || X1, 1

3

3 || X3

6mm

6 || X3, m ^ X1

–

–

|| X3

–

–

3

3

6m2

6 || X3, m ^ X1

32

3 || X3, 2 || X1

6/mmm

–

6 || X3, 2 || X1, 1

3m

3 || X3, m ^ X1

23

2 || X3, 3 || [111]

–

–

m3

–

3m

3 || X3, 2 || X1

2 || X3, 3 || [111], 1

4

4

|| X3

432

4 || X3, 3 || [111]

–

–

|| X3

–

–

4

4

43m

4 || X3, 3 || [111]

4/m

4 ||

–

m3m

–

X3, 1

4 || X3, 3 || [111], 1

Тензорная

Каноническая форма

Симметрия

Расположение осей глав-

величина

тензора

тензора

ной системы координат

Скаляр

a11

0

0

∞∞m

Произвольное

0

a

0

11

0

0

a

11

Симметрич-

a11

0

0

∞/mm

Ось ∞ совпадает с осью X3

ный поляр-

0

a

0

ный тензор

11

второго ранга

0

0

a

33

a11

0

0

mmm

Оси 2 совпадают с осями

X1, X2, X3

0

a

0

22

0

0

a

33

Аксиальный

0

a12

0

∞/m

Ось ∞ совпадает с осью X3

вектор

−a

0

0

12

0

0

0

Несимметрич-

a

a

0

2/m

Оси 2 симметричного

ный поляр-

11

12

полярного тензора со-

−a

a

0

ный тензор

впадают с осями X1, X2,

12

22

второго ранга

0

0

a

X

; ось ∞ аксиального

33

3

вектора совпадает с осью

X3

a11

a12

−a31

`1

Оси 2 симметричного

полярного тензора со-

−a

a

a

12

22

23

впадают с осями X

, X ,

a

−a

a

1

2

X

; ось ∞ аксиального

31

23

33

3

вектора не совпадает

ни с одной из этих осей

Тензорная

Каноническая форма

Симметрия

Расположение осей глав-

величина

тензора

тензора

ной системы координат

Псевдоскаляр

A

0

0

∞∞

Произвольное

11

0

A

0

11

0

0

A

11

Симметрич-

A11

0

0

∞2

Ось ∞ совпадает с осью X3

ный псевдо-

0

A

0

тензор второ-

11

го ранга

0

0

A

33

A11

0

0

222

Оси 2 совпадают с осями

X1, X2, X3

0 A

0

22

0

0

A

33

–

–

A11

0

0

42m

Ось 4 совпадает с осью

X3; оси 2 совпадают

0

−A

0

11

с осями X1 и X2

0

0

0

Полярный

0

A12

0

∞m

Ось ∞ совпадает с осью X3

вектор

−A

0

0

12

0

0

0

Несимметрич-

A

A

0

∞

Ось ∞ полярного вектора

ный поляр-

11

12

0

совпадает с осью X3

−A

A

ный тензор

12

11

второго ранга

0

0

A

11

A11

A12

0

2

Оси 2 симметричного

псевдотензора совпадают

−A

A

0

с осями X1, X2, X3; ось

12

22

0

0

A

∞ полярного вектора со-

33

впадает с осью X3

Тензорная

Каноническая форма

Симметрия

Расположение осей глав-

величина

тензора

тензора

ной системы координат

A11

A12

−A31

1

Оси 2 симметричного

псевдотензора совпада-

−A

A

A

12

22

23

ют с осями X1, X2, X3;

A

−A

A

ось ∞ полярного вектора

31

23

33

не совпадает ни с одной

из этих осей

mm2

–

A11

A12

0

Ось 4 симметричного

псевдотензора совпадает

−A

−A

0

12

11

с осью X3; ось ∞ поляр-

0

0

ного вектора совпадает

0

с осью X3

A11

A12

−A31

m

Плоскость симметрии со-

ставляет угол 45° с осями

−A

−A

A

12

11

23

X1, X2 и проходит вдоль

A

−A

0

оси X

3

31

23