Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

метрии mY, даст направление 2, повороты вокруг оси 3Z на 120° и 240°– направления 3, 4 и 5, 6 соответственно. Размножив эти направления с помощью любой из остальных операций, можно убедиться в том, что все дальнейшие преобразования приведут лишь к повторению этих же направлений. Таким образом, из исходного направления 1, проведя все преобразования симметрии группы 3m, получим шесть симметрически эквивалентных направлений.

Рис.  1.7. Стереографическая проекция элементов симметрии и симметрически эквивалентных направлений в точечной группе 3m

Каждая из операций симметрии группы 3m совмещает кристаллический многогранник сам с собой, т.е. переводит исходное направление 1 в одно из шести симметрически эквивалентных направлений:

перевод 1 → 1 – это оставление кристаллического многогранника на месте, т.е. единичная операция;

1 → 2 осуществляется путем отражения в плоскости mY; 1 → 3 – путем поворота вокруг оси 3Z на 120°;

1 → 4 – путем отражения в плоскости mU;

1 → 5 – путем поворота вокруг оси 3Z на 240°; 1 → 6 – путем отражения в плоскости mX.

Таким образом, в точечную группу 3m входит шесть операций симметрии:

3m{1,31Z,32Z,mX,mY ,mU}.

Порядок группы N = 6.

31

Для того чтобы построить таблицу умножения точечной группы 3m, необходимо произвести умножение всевозможных пар операций симметрии этой группы. Например, операция 31Z осуществляет перевод 1 → 3, операция mX – 3 → 4, но можно сразу перевести 1 →4 отражением в плоскости mU, т.е. mX 31Z = mU (см. рис.  1.7). Результаты всевозможных пар последовательно проведенных операций симметрии группы 3m представлены в таблице:

Таблица умножения не симметрична относительно главной диагонали,следовательно,группа3m–некоммутативнаягруппа.

Рис.  1.8. Выбор осей кристаллофизической

–

системы координат для точечной группы 42m

32

Решим задачу в среде Maxima.

Найдем матричное представление точечной группы симме-

– m трии 42 .

Составим функцию, которая при перемножении матриц генераторов конечной группы всеми способами дает матричное представление этой группы:

(%i1) group(g):= block([N:length(g),Γ:setify(g)], for i:1 thru N do

for j:1 thru N do

Γ: adjoin(g[i].g[j],Γ), Γ: listify(Γ),

if length(Γ)#N then Γ: group(Γ), Γ)$

Функция group требует ввода списка матриц генераторов конечной группы и возвращает список матриц всех операций

Генераторами группы 42m являются операции 4Z и 2X (см.

прил.  3). Вычислим матрицы, соответствующие этим операциям:

33

Определим, каким операциям симметрии соответствуют по-

34

Окончание табл.

35

Из результатов, приведенных в таблице, следует, что в то-

чечную группу 42 входит восемь операций симметрии:

– m

Произведем умножение всевозможных пар операций сим-

метрии группы 42 . Например, для того чтобы заполнить

– m

ячейку таблицы, расположенную на пересечении столбца,

–3

в начале которого стоит символ операции 4Z, и строки, в начале которой стоит символ операции 2Y, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

Выполнив команду

(%i10) genmatrix(lambda([i,j],G[sublist_indices(Γ, lambda([g],g=Γ[i].Γ[j]))[1]]),N,N);

36

Таблицаумножениянесимметричнаотносительноглавнойди-

агонали, следовательно, группа 42 – некоммутативная группа.

– m

– m Найдем подгруппы группы 42 .

Прежде всего найдем подгруппы, порождаемые одним эле-

– m ментом группы 42 :

(%i11) S: {}$

(%i12) for i: 1 thru N do (group([Γ[i]]),

makelist(G[sublist_indices(Γ,lambda([g],g=%%[k]))[1]],k, length(%%)),if length(%%)<N then S: adjoin(%%,S))$

(%i13) S;

(%o13) {[1],[2x,1],[2y,1],[2z,1],[2z,4iz,4iz^3,1],[m[1-10],1],[m[110],1]}

– m Результаты вычислений показывают, что у группы 42 име-

ется шесть подгрупп, порождаемых одной операцией симметрии:

2{1, 2X },2{1,2Y },2{1,2Z },m{1,m[110]},m{1,m[110]},4{1,41Z,2Z,43Z }.

37

Эти группы, состоящие из степеней одной операции, – ци-

клические группы, или элементы симметрии. По отношению

– –

к группе 42m группа 4 является подгруппой индекса 2, а груп-

пы 2 и m – подгруппы индекса 4.

В силу того что группа 42 образуется двумя генератора-

– m

ми, необходимо определить подгруппы, порождаемые двумя элементами этой группы:

(%i14) S: {}$

(%i15) for i: 2 thru N-1 do for j: i+1 thru N do

(group([Γ[i],Γ[j]]), makelist(G[sublist_indices(Γ,lambda([g],g=%%[k]))[1]],

k,length(%%)),

if length( %% )<N then S: adjoin(%%,S))$

(%i16) S;

(%o16) {[2z,2y,2x,1],[2z,4iz,4iz^3,1],[2z,m[110],m[1-10],1]}

– m

Из результатов вычислений следует, что у группы 42 есть две подгруппы, порождаемые двумя операциями симметрии:

222{1,2X,2Y ,2Z } и mm2{1,2Z,m[110],m[110]}.

– m mm

По отношению к группе 42 группы 222 и 2 являются подгруппами индекса 2.

Для того чтобы построить таблицы умножения групп 222 mm – m

и 2, воспользуемся таблицей умножения группы 42 . Сохраняя в этой таблице только столбцы и строки, в начале которых стоят символы операций 1, 2X, 2Y и 2Z, получаем таблицу умножения группы 222:

Аналогичным образом строится таблица умножения группы mm2:

38

Таблицы умножения групп 222 и mm2 симметричны относительно главной диагонали, следовательно, группы 222 и mm2 – коммутативные группы.

39

2.  Собственные векторы и собственные значения симметричного

тензора второго ранга. Внешняя симметрия тензора второго ранга.

Характеристические и указательные поверхности тензора второго ранга

Скаляры, векторы и тензоры второго ранга

Для описания физических объектов и явлений используются скалярные, векторные и тензорные величины.

Величины, не зависящие от направления, называются скалярными. Аналитически скалярные величины задаются одним числом. Различают два вида скалярных величин – истинно скаляры (или просто скаляры) и псевдоскаляры. Различие между скалярами и псевдоскалярами заключается в том, что скаляры не чувствительны к изменению знака энантиоморфизма системы координат, тогда как псевдоскаляры при переходе от правой (левой) к левой (правой) системе координат изменяют свой знак. Свойство псевдоскаляра изменять знак при изменении знака энантиоморфизма системы координат означает, что псевдоскаляр является либо правым, либо левым.

Закон преобразования скаляра при переходе от старой системы координат X1X2X3 к новой X1′X2′X3′ имеет вид

a′=a,

где a – скалярная величина в старой системе координат; a′ – скалярная величина в новой системе координат.

В свою очередь псевдоскаляры преобразуются по закону

A′= DA,

где A и A′ – величина псевдоскаляра в старой и новой системе координат соответственно;

40