Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

Результаты вычислений показывают, что таких матриц четыре: первая соответствует инверсии, вторая – повороту на 180° вокруг оси 4 кристалла, третья – отражению в плоскости симметрии кристалла, четвертая – отождествлению. Следовательно, пересечением группы симметрии 4/m кристалла и группы симметрии mmm напряжения чистого сдвига является группа 2/m.

Таким образом, напряжение чистого сдвига приводит к тому, что кристалл сохраняет ось второго порядка, плоскость симметрии и центр инверсии. Иначе говоря, при таком способе приложения механического воздействия симметрия кристалла понижается до класса 2/m.

Задача  3.4. К кубическому кристаллу с симметрией m3m приложили одноосное напряжение растяжения. Определить, какой симметрией будет обладать кристалл, если механическое напряжение прикладывается вдоль кристаллографического направления [111].

Решение

Математически решение задачи состоит в нахождении пересечения группы симметрии m3m кристалла до воздействия и группы симметрии ∞/mm одноосного растягивающего напряжения при заданной взаимной ориентации элементов симметрии этих групп.

Решим задачу в среде Maxima.

В соответствии с правилами выбора кристаллофизической системы координат, в кристаллах класса m3m координатные оси X1, X2, X3 направлены по трем взаимно ортогональным осям симметрии четвертого порядка (см. прил.  2).

Найдем матричное представление G(m3m) группы m3m, выбрав в качестве генераторов группы поворот на 90° вокруг оси 4 || [001], поворот на 120° вокруг оси 3 || [111] и инверсию (см. прил.  3). Вычислим матрицы, соответствующие этим операциям:

(%i1) C4: rot2dcm([0,0,1],%pi/2,1);

0 1 0

(%o1) -1 0 00 0 1

101

(%i2) C3: rot2dcm([1,1,1]/sqrt(3),2*%pi/3,1);

0 1 0

(%o2) 0 0 11 0 0

(%i3) Ci: –ident(3);

Построим матричное представление G(m3m):

Порядок группы равен N = 48:

(%i5) N: length(G);

(%o5) 48

Вычислим для каждой операции g группы m3m единичный вектор k, задающий ось поворота, угол поворота j и определитель D матрицы направляющих косинусов C(g):

Группа ∞/mm содержит бесконечное множество простых и инверсионных поворотов на произвольный угол вокруг оси ∞, а также бесконечное множество простых и инверсионных поворотов на 180° вокруг любой оси, перпендикулярной оси ∞ (см. задачу  2.2).

По условию задачи ось ∞ группы ∞/mm направлена вдоль кристаллографического направления [111]. Тогда искомое пересечение группы симметрии кристалла до воздействия и группы

102

симметрии одноосного напряжения растяжения есть множество операций группы m3m, включающее простые и инверсионные повороты вокруг направления [111], а также простые и инверсионные повороты на 180° вокруг осей, перпендикулярных направлению [111].

Найдем повороты вокруг направления [111], принадлежащие группе m3m:

Результаты вычислений показывают, что приложение одноосного растягивающего усилия вдоль направления [111] приво-

дит к тому, что кристалл сохраняет ось 3{1, 31[111], 32[111]}, вдоль которой производится растяжение.

Операция инверсии входит и в группу m3m, и в группу ∞/mm, значит, при внешнем воздействии в кристалле сохраняется центр инверсии.

Найдем инверсионные повороты вокруг направления [111], содержащиеся в группе m3m:

(%i8) for i:1 thru N do

if (G[i][1]=[1,1,1]/sqrt(3) or G[i][1]=[–1,–1,–1]/sqrt(3)) and G[i][3]=–1 then

print(i,":","инверсионный поворот вокруг оси",G[i][1],

103

Нетрудно видеть, что принадлежащие группе m3m простые

и инверсионные повороты вокруг направления [111] образуют

– –1 –2 2 –3 – –4 1 –5

группу 3{1, 3[111], 3[111] = 3[111], 3[111] = 1, 3[111] = 3[111], 3[111]}.

–

Одновременное присутствие осей симметрии 3 и 3 вдоль на-

–

правления [111] объясняется тем, что инверсионная ось 3 рав-

–

носильна одновременно действующим оси 3, совпадающей с 3, и центру инверсии.

Определим оси симметрии второго порядка группы m3m, перпендикулярные направлению [111]:

(%i9) for i:1 thru N do

if G[i][1].[1,1,1]=0 and G[i][2]=%pi and G[i][3]=1 then print(i,":","поворот вокруг оси",G[i][1],

Из результатов вычислений следует, что кристалл при внеш-

правлений [011], [110] и [101].

Наконец, определим плоскости симметрии группы m3m, проходящие вдоль направления [111]:

(%i10) for i:1 thru N do

if G[i][1].[1,1,1]=0 and G[i][2]=%pi and G[i][3]=–1 then print(i,":","инверсионный поворот вокруг оси",G[i][1],

104

Из результатов вычислений нетрудно получить, что кристалл при внешнем воздействии сохраняет три плоскости сим-

(101), (110) и (011).

Таким образом, приложение одноосного растягивающего усилия вдоль направления [111] приводит к тому, что кристалл сохраняет ось 3, вдоль которой производится растяжение, три поперечные оси второго порядка, три продольные плоскости симметрии и центр инверсии. Иначе говоря, при та-

ком способе приложения механического напряжения симме-

–m трия кристалла понижается до класса 3 .

105

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики [Текст] : учеб. пособие / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. – 2-е изд., перераб. – М. : Наука, 1979.

Вайнштейн, Б.К. Современная кристаллография [Текст] :

в4 т. / Б.К. Вайнштейн. – М. : Наука, 1979. – Т. 1. Современная кристаллография [Текст] : в 4 т. / Л.А. Шува-

лов [и др.]. – М. : Наука, 1981. – Т. 4.

Желудев, И.С. Физика кристаллов и симметрия [Текст] / И.С. Желудев. – М. : Наука, 1987.

Сонин, А.С. Курс макроскопической физики [Текст] : учеб. пособие для вузов / А.С. Сонин. – М. : Физматлит, 2006.

Переломова, Н.В. Кристаллофизика [Текст] : сб. задач с решениями / Н.В. Переломова, М.М. Тагиева ; под ред. Ю.Н. Пархоменко. – 6-е изд., перераб. и доп. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2013.

Чичкарев, Е.А. Компьютерная математика с Maxima [Текст] : руководство для школьников и студентов / Е.А. Чичкарев. – М. : ALT Linux, 2012.

106

ПРИЛОЖЕНИЕ  1.  Обозначения элементов симметрии на стереографической проекции

107

ПРИЛОЖЕНИЕ  2. Стереографические проекции элементов симметрии 32 кристаллографических классов симметрии. Выбор кристаллофизических систем координат в кристаллах 32 классов симметрии

Триклинная сингония

Моноклинная сингония

Ромбическая сингония

108

Тригональная сингония

Гексагональная сингония

109

Тетрагональная сингония

Кубическая сингония

110