Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

ственные значения тензора [aik] различны, то уравнение указательной поверхности принимает вид

r =(l1cos2j+l2sin2j)sin2q+l3cos2q.

Если два собственных значения совпадают, например l1 = = l2 ≠ l3, то уравнение указательной поверхности можно записать в виде

r =(l1 +l2 )sin2q+l3cos2q;

независимость r от угла j показывает, что указательная поверхность представляет собой поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором u(3). Наконец, если все три собственных значения совпадают, то указательной поверхностью будет сфера, т.е. r = l.

Рис.  2.1. К соотношению между сферическими (j, θ) и декартовыми (n1, n2, n3) координатами направления n в кристалле

Если все собственные значения тензора [aik] положительны, то расстояние r до любой точки указательной поверхности тоже положительно. Если же среди собственных значений имеются отрицательные, то для некоторых направлений r также будет отрицательно. В этом случае части поверхности, соответствующие отрицательным значениям r, строят так же, как положительные части поверхности, но окрашивают их в черный цвет, в отличие от положительных, белых частей поверхности.

На рис.  2.2 изображены указательные поверхности, симметрия которых зависит только от того, сколько различных

51

собственных значений имеет тензор [aik], но не зависит от знаков собственных значений или от того, какое из них больше. При трех различных собственных значениях симметрия указательной поверхности mmm; оси второго порядка соврадают с собственными векторами тензора (рис.  2.2, а, б). Если тензор имеет два совпадающих собственных значения, симметрия указательной поверхности ∞/mm; ось ∞ совпадает с собственным вектором, перпендикулярная к ней плоскость симметрии совпадает с плоскостью собственных векторов (рис.  2.2, в, г). Наконец, если все три собственных значения совпадают, симметрия указательной поверхности ∞∞m (рис.  2.2, д).

Рис.  2.2. Указательные поверхности симметричного полярного тензора второго ранга; тензоры симметрии mmm:

a – при l1 > l2 > l3 > 0, б – при l1 > l2 > 0 > l3; тензоры симметрии ∞/mm: в – при l3 > l2 = l1 > 0, г – при l3 > 0 > l1 = l2; тензор симметрии ∞∞m: д – при l1 = l2 = l3 > 0; оси координат

направлены по собственным векторам

Для изображения симметричного полярного тензора второго ранга [aik] используется также характеристическая поверхность. Эта поверхность второго порядка описывается уравнением

52

aikxixk =1

и, в зависимости от знаков собственных значений тензора [aik], описывает эллипсоид (все собственные значения положительны), однополостный гиперболоид (два собственных значения положительны, а одно отрицательно), двуполостный гиперболоид (одно собственное значение положительно, а два отрицательны) или мнимый эллипсоид (все собственные значения отрицательны).

Симметрия характеристической поверхности, как и симметрия указательной поверхности, определяется только тем, сколько различных собственных значений имеет тензор [aik]. Например, если l1 ≠ l2 ≠ l3 > 0, то характеристическая поверхность является эллипсоидом и его симметрия описывается группой mmm. Если l1 = l2 ≠ l3 > 0, то поверхность является эллипсоидом вращения и его симметрия описывается предельной группой ∞/mm. Если же l1 = l2 = l3 > 0, то поверхность – сфера и ее симметрия описывается предельной группой ∞∞m.

Характеристическая поверхность лежит в тех конусах, в которых располагаются белые части указательной поверхности, причем длина произвольно ориентированного радиус-вектора характеристической поверхности тензора [aik] численно равна обратному значению квадратного корня из величины нормальной составляющей тензора [aik] в направлении радиус-вектора.

Стереографические проекции указательных поверхностей

Указательные поверхности симметричного полярного тензора [aik] хотя и очень наглядны, но малопригодны для количественных оценок. Несколько удобнее в этом отношении анализировать сечения указательных поверхностей, однако и они позволяют оценить величину свойства только в некоторых направлениях. Если указательная поверхность оказывается поверхностью вращения, то о величине свойства во всех направлениях можно судить по одному из ее сечений, проходящих через ось вращения. В остальных случаях для этого используют стереографические проекции указательных поверхностей.

53

Такая возможность обусловлена тем, что каждому направлению n в пространстве соответствует определенная точка на стереографической проекции. В свою очередь, каждому направлению n соответствует определенное значение a(n). Соединив те точки на стереографической проекции, которые характеризуются одним и тем же значением a(n), получим линии уровня a(n). Совокупность таких линий образует стереографическую проекцию указательной поверхности тензора [aik].

Примеры решения задач

Задача  2.1. Симметричный псевдотензор второго ранга в своей главной системе координат имеет вид

Определить, какой группой описывается собственная симметрия псевдотензора [Aik].

Решение

Для решения задачи воспользуемся прямым методом определения внешней симметрии тензоров, в котором равенства (2.7), (2.8) рассматриваются как система уравнений относительно матричных элементов Cik, компоненты тензора считаются заданными. Множество решений этой системы, каждое из которых есть матричное представление операции симметрии, относительно которой инвариантен тензор, составляет его группу внешней симметрии.

Решим задачу в среде Maxima.

Введем приведенный в условии задачи псевдотензор [Aik]:

(%i1) A: matrix([A_11,0,0],[0,–A_11,0],[0,0,0]);

Введем матрицу (Cik) какой-либо операции g группы внешней симметрии псевдотензора [Aik]:

54

(%i2) C: genmatrix(C,3,3);

Пусть операция g является операцией первого рода. Представив закон преобразования компонент псевдотензора второго ранга Aik′ = DCimCknAmn в матричной форме записи:

(Aik′ )= D(Cim )(Amn )(Ckn )T ,

найдем вид псевдотензора [Aik] в новой системе координат:

Так как g – операция внешней симметрии псевдотензора [Aik], его компоненты Aik′ в новой системе координат должны совпадать с его компонентами Aik в старой системе. Для шести независимых компонент симметричного псевдотензора [Aik] это условие можно записать следующим образом:

Дополним полученную систему уравнений соотношениями ортогональности CikCjk = dij и решим ее:

55

Представим множество решений системы уравнений в виде матриц:

Определим, каким операциям симметрии соответствуют полученные матрицы:

(%i10) map(dcm2rot,Γ);

(%o10) [[[1,0,0],0,1],[[0,1,0],p,−1],[[1,0,0],p,−1],[[0,0,1],p,1], [[0,0,1],p,−1],[[1,0,0],p,1],[[0,1,0],p,1],[[1,0,0],0,−1]]

(%i11) for i:1 thru length(Γ) do

print(i,":",if %[i][3]=–1 then "инверсионный поворот" else "поворот","вокруг оси",%[i][1],

"на",%[i][2]*180/%pi,"градусов")$

1 : поворот вокруг оси [1,0,0] на 0 градусов 2 : инверсионный поворот вокруг оси [0,1,0] на 180 градусов

56

Исключим из рассмотрения операции второго рода (инверсионные повороты). Оставшиеся операции симметрии – повороты вокруг осей X1, X2, X3 на 180° (операции 2X, 2Y, 2Z), а также отождествление (операция 1) – входят в группу внешней симметрии псевдотензора [Aik].

Пусть операция g является операцией второго рода. Найдем вид псевдотензора [Aik] в новой системе координат:

Запишем систему уравнений вида Aik′ = Aik для шести независимых компонент псевдотензора [Aik]:

(%i13) eqs1: [A_rot[1,1]=A[1,1],A_rot[1,2]=A[1,2],A_rot[1,3]=A[1,3],

A_rot[2,2]=A[2,2],A_rot[2,3]=A[2,3],A_rot[3,3]=A[3,3]];

(%o13) C1,22 A11 -C1,12 A11 = A11,C1,2C2,2A11 -C1,1C2,1A11 =0,C1,2C3,2A11 -C1,1C3,1A11 =0, C22,2A11 -C22,1A11 = -A11,C2,2C3,2A11 -C2,1C3,1A11 =0,C3,22 A11 -C3,12 A11 =0

Найдем решения полученной системы уравнений, дополнив ее соотношениями ортогональности:

57

Исключив из рассмотрения операции первого рода (повороты), получим, что в группу внешней симметрии псевдотензора [Aik] входят отражения в плоскостях симметрии, совпадаю-

Определить, какова внешняя симметрия этого тензора.

Решение

Решим задачу в среде Maxima. Введем тензор [aik]:

(%i1) a: matrix([a_11,0,0],[0,a_11,0],[0,0,a_33]);

59

Введем матрицу (Cik), соответствующую какой-либо операции g группы внешней симметрии тензора [aik]:

(%i2) C: genmatrix(C,3,3);

Представив закон преобразования компонент полярного тензора второго ранга aik′ = CimCknamn в матричной форме записи:

(aik′ )=(Cim )(amn )(Ckn )T ,

найдем вид тензора [aik] в новой системе координат:

Запишем систему уравнений (2.7) для шести независимых компонент тензора [aik]:

C1,3C3,3a33 +(C1,2C3,2 +C1,1C3,1 )a11 =0;

C2,3C3,3a33 +(C2,2C3,2 +C2,1C3,1 )a11 =0.

60