Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

В качестве примера определим направления в плоскости X1′X3′ главной системы координат тензора [aik], вдоль которых a(n) = 0:

(%i20) q0: atan(tgq)*180/%pi,j:0$ float(%); (%o20) [–51.97,51.97]

Результаты вычислений показывают, что нормальная составляющая тензора [aik] равна нулю в направлениях, составляющих с осью X3′ угол q = 51,97°.

Построим сечение указательной поверхности тензора [aik] плоскостью X1′X3′ и укажем на графике найденные направления (рис.  2.5):

(%i21) a:''a$

(%i22) draw2d(

/* Построение полярной координатной сетки */ xaxis = true,

xtics_axis = true, yaxis = true, ytics_axis = true, axis_right = false, axis_top = false, axis_left = false, axis_bottom = false, proportional_axes = xy, nticks = 180,

color = black, line_type =dots, polar(10,j,0,2*%pi) , polar(20,j,0,2*%pi) , polar(30,j,0,2*%pi) , transform = [y,x,x,y], line_type = solid,

/* Построение направлений, на которых нормальная составляющая тензора равна нулю */

explicit(x*tan(q0[1]*%pi/180),x,–15,15), explicit(x*tan(q0[2]*%pi/180),x,–15,15),

/* Построение сечения указательной поверхности тензора */

81

line_width = 2, polar(surf(0,q,1),q,0,2*%pi), line_type =dashes, polar(surf(0,q,–1),q,0,2*%pi), label(["X_1^'",0,32],["X_3^'",32,0],

["51.97^o",16,22],["128.03^o",–16,22]) )$

Рис.  2.5. Сечение указательной поверхности тензора [aik] плоскостью X1′X3′: сплошная линия соответствует тем направлениям, вдоль которых величина a(n) положительна, штриховая – тем, вдоль которых величина a(n) отрицательна

Поскольку приведенный в условии задачи тензор [aik] задан в системе координат X1X2X3, а найденные векторы – в системе координат X1′X2′X3′, их также следует привести к исходной системе координат X1X2X3.

Определим, например, положение вектора n относительно исходной системы координат в случае, если в системе координатX1′X2′X3′ егонаправлениезаданосферическимиугламиj=0°, q = 128,03° (см. рис.  2.5). Для этого подставим j = 0°, q = 128,03° в соотношения (2.9) и вычислим компоненты ni′вектора n:

(%i24) n, j: 0, q: (180+q0[1])*%pi/180$ n0r: float(%);

(%o24) [0.7877,0.0,–0.6161]

82

Затем построим в соответствии с соотношениями (2.19) матрицу CT, осуществляющую преобразование системы координат X1′X2′X3′ в исходную систему координат X1X2X3:

(%i25) C: addcol(submatrix(U,1),col(U,1));

Далее, представив закон преобразования компонент полярного вектора ak = Cikai′в матричной форме записи:

(ak )=(Cik )T (ai′),

найдем компоненты ni вектора n в системе координат X1X2X3:

(%i26) n0: list_matrix_entries(C.n0r);

(%o26) [–0.3289,0.5223,0.7868]

Проверим, что в этом направлении a(n) = 0:

(%i27) n0.%o1.n0;

(%o27) –2.043 10–14

Наконец, используя соотношения (2.18), найдем сферические координаты вектора n в системе координат X1X2X3:

(%i29) [atan2(n0[2],n0[1]),acos(n0[3])]*180/%pi$ float(%);

(%o29) [122.2,38.12]

Таким образом, положение вектора n относительно исходной системы координат X1X2X3 задается углами j = 122,2°, q = 38,12° (см. соответствующую точку на рис.  2.4).

83

3.  Принцип симметрии в кристаллофизике.

Принципы Кюри и Неймана

Кристалл как сплошная однородная анизотропная среда

Рассматривая макроскопические физические свойства кристаллов, мы имеем дело с расстояниями, существенно большими, чем период кристаллической решетки, и с объемами, гораздо большими, чем объем элементарной ячейки. Поэтому кристалл можно рассматривать как сплошную (непрерывную) среду.

Можно считать, что свойства кристалла одинаковы во всех его точках. Следовательно, кристалл можно считать однородной средой. При этом мы отвлекаемся не только от дискретного строения кристалла, но и от того, что кристалл содержит различного рода примеси и дефекты, имеющие различное объемное распределение. Поэтому следует помнить, что кристалл можно рассматривать как сплошную однородную среду лишь с некоторой степенью точности.

Наконец, хотя бы некоторые физические свойства кристалла анизотропны, т.е. зависят от направления, или, иными словами, их описание зависит от ориентации системы координат. Следовательно, кристаллическая среда анизотропна.

Итак, при рассмотрении макроскопических свойств кристалла его можно считать сплошной однородной анизотропной средой.

Материальные и полевые тензоры

Физические тензоры в зависимости от их отношения к кристаллу бывают двух видов. Материальные тензоры описывают свойства кристалла, т.е. соотношения между измеряемыми величинами. Полевые тензоры описывают воздействие на кристалл и его реакцию.

Симметрия материальных тензоров должна согласовываться с симметрией кристалла, а элементы симметрии этих тензо-

84

ров должны совпадать с соответствующими элементами симметрии кристалла.

В противоположность материальным тензорам симметрия полевых тензоров не связана с симметрией кристалла, и элементы симметрии таких тензоров могут иметь любую ориентацию по отношению к элементам симметрии кристалла. Например, к кристаллу любой симметрии можно приложить как угодно ориентированное электрическое поле (полярный вектор) или механическое напряжение (симметричный полярный тензор второго ранга); в кристалле любой симметрии можно задать как угодно направленную поляризацию или любую компоненту деформации.

Одни и те же физические тензоры в различных случаях могут быть и материальными, и полевыми. Так, вектор поляризации обычно является полевым тензором, однако у пиро­ электриков этот вектор описывает свойство спонтанной поляризации и должен быть согласован с симметрией кристалла. Тензор деформации, обычно являющийся полевым тензором, становится материальным и должен быть согласован с симметрией кристалла тогда, когда он описывает спонтанную деформацию сегнетоэластиков.

Соотношение между внешней симметрией материальных тензоров и симметрией описываемых ими физических свойств

Материальные тензоры зависят от температуры, частоты измерительного поля и других скалярных параметров, т.е. различным скалярным параметрам w1, w2, …, wn соответствуют различные материальные тензоры T(w1), T(w2), …, T(wn). Их группы симметрии G(T(w1)), G(T(w2)), …, G(T(wn)) содержат, как правило, одни и те же элементы симметрии, но их ориентация у различных тензоров может оказаться различной.

Симметрия физического свойства есть общая симметрия совокупности тензоров, описывающих данное свойство при различных значениях скалярных параметров, т.е. группа симметрии физического свойства Gсв есть пересечение групп G(T(wi)):

85

Gсв =G(T(w1 ))∩G(T(w2 ))∩...∩G(T(wn )).

В тех случаях, когда главная система координат тензора сохраняет свою ориентацию в кристалле, симметрия физического свойства и внешняя симметрия описывающего его тензора равны, в противном случае группа симметрии Gсв свойства является подгруппой группы Gт внешней симметрии соответствующего тензора:

Например, все материальные векторы кристаллов, имеющих ось симметрии, направлены по этой оси, и поэтому симметрия не только каждого отдельного материального вектора, но и множества всех мыслимых материальных векторов составляет ∞m. Но материальные векторы кристалла класса m могут иметь любое направление, лежащее в плоскости симметрии, и поэтому, хотя симметрия каждого отдельного вектора по-прежнему составляет ∞m, симметрия всей их совокупности – только m.

Аналогично, каждый отдельный материальный симметричный тензор второго ранга кристалла любого класса моноклинной сингонии имеет симметрию mmm, но у всего множества таких тензоров только одна общая ось симметрии второго порядка и одна общая плоскость симметрии, поэтому группа симметрии этого множества – 2/m.

Очевидно, если не учитывать возможную зависимость ориентации тензоров от скалярных параметров, то всегда Gсв = Gт.

Соотношение между точечной симметрией кристалла и симметрией его физических свойств

Симметрия физических свойств кристалла связана с его точечной группой симметрии. Эта связь устанавливается фундаментальным законом кристаллофизики, известным как принцип Неймана: группа симметрии Gсв любого физического свойства, которым обладает кристалл, должна включать в себя все элементы точечной группы (кристаллографического класса) симметрии Gк кристалла.

86

Иными словами, группа Gк либо совпадает с группой Gсв, либо является ее подгруппой. Следовательно, учитывая соотношение (3.1), можно записать:

Отметим, что принцип Неймана утверждает лишь возможность существования у кристалла свойств, удовлетворяющих соотношению (3.2), но не требует их обязательного наличия, т.е. выполнение соотношения (3.2) является необходимым, но не достаточным условием существования у кристалла конкретных физических свойств. В то же время, наличие свойства, не подчиняющегося условию (3.2), заведомо невозможно, т.е. выполнение этого условия является необходимым и достаточным условием отсутствия у кристалла данного свойства.

Определение вида тензоров, описывающих физические свойства кристаллов различных классов симметрии

Физическое свойство, его симметрия и симметрия описывающего его тензора не изменяются при преобразовании системы координат. Однако вид тензора существенно зависит от выбора осей координат.

Наиболее простой вид тензор имеет в своей главной системе координат. При этом для тензора данного ранга с данной внутренней симметрией каждой группе Gт соответствует свой вид тензора с определенными соотношениями между компонентами и определенным числом независимых компонент.

Так как физические свойства кристаллов принято описывать в кристаллофизической системе координат, то в качестве табулируемых значений компонент тензора, описывающего данное физическое свойство, берутся значения его компонент

вэтой системе. Когда кристаллофизическая система совпадает с главной системой тензора, эти значения являются главными значениями компонент тензора. Когда ориентация главных осей тензора не полностью или вообще не зафиксирована

вкристалле, вид этого тензора в кристаллофизической системе

87

координат становится более сложным, чем в главной системе координат (увеличивается число ненулевых компонент). Очевидно, что в этом случае симметрическими преобразованиями для компонент тензора будут только те преобразования кристаллофизической системы координат, которые содержатся в соответствующей группе Gсв.

Общий способ определения вида тензора [Tik] для кристалла заданного класса симметрии состоит в том, что формулы теории внешней симметрии тензоров (2.7), (2.8) рассматриваются как система линейных уравнений, которым должны удовлетворять компоненты тензора [Tik] в случае, если этот тензор описывает свойства кристалла. Решение этой системы уравнений определяет, какие компоненты тензора [Tik] равны нулю, а также устанавливает соотношения между ненулевыми компонентами этого тензора, если они есть.

Существует ряд других методов определения вида тензоров. Вид тензора [Tik] для кристаллов, не относящихся к тригональной и гексагональной сингониям, могут быть получены с помощью метода прямой проверки (метода Фуми). Этот метод основан на том, что компоненты тензора [Tik] при переходе к новой системе координат преобразуются как произведения компонент векторов. Для рассматриваемых кристаллов все компоненты матрицы (Cik) любой операции симметрии g, входящей в группу симметрии Gк кристалла, целочисленны и равны +1, –1 или 0. Поэтому компоненты вектора или остаются неизменными, или переходят в другие, возможно изменяя при этом знак. Поскольку (Cik) является матричным представлением опе-

рации симметрии g, то, согласно принципу Неймана, Tik′ = Tik. Способ построения тензора [Tik], инвариантного относи-

тельно заданной кристаллографической группы Gк, посредством усреднения по группе заключается в следующем. На тензор [Tik] заданной внутренней симметрии нужно поочередно подействовать всеми операциями симметрии g, входящими в группу Gк, и вычислить среднее арифметическое [Tik] Gк всех полученных результатов:

88

где N – порядок группы Gк;

[Tik]g – тензор [Tik], подвергнутый симметрическому преобразованию g.

Если группа Gк имеет несколько генераторов, необходимо усреднить тензор сначала по ее подгруппе H1, определяемой одним генератором, потом результат первого усреднения усреднить по подгруппе H2, определяемой другим генератором, и т.д. Последовательность выполнения усреднений значения не имеет.

Принцип Кюри

Наряду с принципом Неймана для кристаллофизики важен еще один симметрийный постулат, называемый принципом Кюри. Если принцип Неймана связывает симметрию свойства и исходную симметрию кристалла, т.е. симметрию кристалла до воздействия, то принцип Кюри позволяет определить симметрию кристалла после воздействия.

Принцип Кюри можно сформулировать следующим образом: кристалл под внешним воздействием изменяет свою точечную симметрию так, что сохраняет лишь элементы симметрии, общие с элементами симметрии воздействия.

Другими словами, точечная группа симметрии–Gк кристалла в результате воздействия переходит в группу Gк – высшую общую подгруппу групп симметрии кристалла Gк и воздействия

Gв при заданной взаимной ориентации элементов симметрии

–

этих групп, т.е. Gк есть пересечение групп Gк и Gв:

Из соотношения (3.3) следует, что если к в, то –к = к,

G G G G

т.е. если исходная группа симметрии кристалла есть подгруппа группы симметрии воздействия, то симметрия кристалла при этом воздействии не меняется.

Примеры решения задач

– m

Задача  3.1. Для кристаллов класса 42 определить вид: а)  материального несимметричного полярного тензора второго

89

ранга; б)  материального несимметричного псевдотензора второго ранга. При решении задачи использовать метод прямой проверки.

a)  Определим вид материального несимметричного поляр- a – m

ного тензора второго ранга [ ik] для кристалла класса 42 . Сравнивая законы преобразования компонент полярного

вектора a и полярного тензора второго ранга [aik], нетрудно получить, что компоненты полярного тензора второго ранга при переходе к новой системе координат преобразуются аналогично произведению двух компонент полярного вектора:

ai′ak′ =CimCknaman;

aik′ =CimCknamn.

–1

Под действием операции 4Z компоненты вектора a преобразуются по закону

или

a1′ = −a2; a2′ =a1; a3′ = −a3.

90