Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

D – определитель матрицы ортогонального преобразования, переводящего старую систему координат в новую.

Простейшими направленными величинами являются векторы. Направленность векторных величин состоит в том, что у них можно различить противоположные концы. Существует два вида векторных величин – полярные векторы (или просто векторы) и аксиальные векторы. Противоположные концы полярных векторов можно характеризовать скалярами, имеющими одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки. Аналогично, противоположные концы аксиальных векторов могут характеризоваться псевдоскалярами противоположных знаков: один из них является правым, а другой – левым.

Компоненты полярного вектора при переходе от старой системы координат X1X2X3 к новой X1′X2′X3′, определяемом матрицей ортогонального преобразования (Cik), преобразуются согласно закону

ai′ = Cikak,

где ak и ai′– компоненты полярного вектора в старой и новой системе координат соответственно.

При обратном переходе от новой системы координат X1′X2′X3′ к старой X1X2X3 компоненты полярного вектора преобразуются по закону

ak = Cikai′.

Компоненты аксиального вектора при операциях первого рода преобразуются так же, как компоненты полярного век­ тора:

Ai′ = Cik Ak; Ak = Cik Ai′,

при операциях второго рода закон преобразования имеет вид

Ai′ = −Cik Ak; Ak = −Cik Ai′.

41

Отсюда нетрудно получить закон преобразования компонент аксиального вектора при изменении системы координат в виде

Ai′ = DCik Ak; Ak = DCik Ai′,

где Ak – компоненты аксиального вектора в старой системе

координат X1X2X3;

Ai′– компоненты аксиального вектора в новой системе координат X1′X2′X3′.

К понятию тензора второго ранга можно прийти, рассматривая линейную связь двух векторов. Полярные тензоры второго ранга определяют линейную связь между компонентами двух полярных или двух аксиальных векторов, а аксиальные тензоры второго ранга (псевдотензоры) – полярного и аксиального векторов.

Пусть в системе координат X1X2X3, заданы полярные векторы p и q. Если между ними имеет место линейная зависимость, то компоненты этих векторов связаны между собой линейными соотношениями:

p1 =a11q1 +a12q2 +a13q3; p2 =a21q1 +a22q2 +a23q3; p3 =a31q1 +a32q2 +a33q3,

или

pi =aikqk.

Полярным тензором второго ранга называется совокупность девяти величин aik, которая записывается как

Рассмотрим случай, когда полярный вектор p линейно связан с аксиальным вектором Q:

42

p1 = A11Q1 + A12Q2 + A13Q3;

p2 = A21Q1 + A22Q2 + A23Q3;

p3 = A31Q1 + A32Q2 + A33Q3,

или

pi = AikQk.

Совокупность девяти величин

называется псевдотензором второго ранга.

Закон преобразования компонент полярного тензора второго ранга записывается в следующем виде:

aik′ = CimCknamn; amn =CimCknaik′ ,

где aik – компоненты полярного тензора второго ранга в старой системе координат X1X2X3;

aik′ – компоненты полярного тензора второго ранга в новой системе координат X1′X2′X3′,

а псевдотензора второго ранга – в виде

Aik′ =DCimCkn Amn; Amn =DCimCkn Aik′ ,

где Aik и Aik′ – компоненты псевдотензора второго ранга соответственно в старой и новой системах координат.

Заметим, что в законы преобразования компонент тензора второго ранга входят две компоненты матрицы направляющих косинусов, в законы преобразования компонент вектора – одна компонента матрицы направляющих косинусов, в законы преобразования скаляра – ни одной. Соответственно этому векторы принято трактовать как тензоры первого ранга, а скаляры – как тензоры нулевого ранга.

43

Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга

Как полярные тензоры [Tik] = [aik], так и псевдотензоры [Tik] = [Aik] могут обладать свойствами симметрии по отношению к своим индексам.

Если компоненты тензора [Tik] не изменяются при перестановке индексов:

то тензор называется симметричным.

Соотношение (2.1) уменьшает число независимых компонент симметричного тензора [Tik]. Так, несимметричный тензор второго ранга [Tij] в общем случае имеет девять компонент, тогда как симметричный тензор второго ранга [Tij] имеет только шесть независимых компонент:

Если компоненты тензора [Tik] изменяют свой знак при перестановке индексов:

то тензор называется антисимметричным.

Соотношение (2.2) не только уменьшает число независимых компонент антисимметричного тензора [Tik], но и обращает в нуль диагональные компоненты этого тензора. Так, из соотношения (2.2) следует, что

Tii =–Tii =0,

и антисимметричный тензор [Tik] принимает вид

имея всего три независимые компоненты.

44

Свойство тензора быть симметричным или антисимметричным по отношению к перестановке индексов называется внутренней симметрией тензора. При этом если какой-либо тип внутренней симметрии тензора обнаруживается в некоторой системе координат, то тот же тип внутренней симметрии обнаружится и в любой другой системе координат.

Любой несимметричный тензор второго ранга [Tik] может быть представлен как сумма симметричного тензора [Tik′ ] и антисимметричного тензора [Tik″]:

[Tik ]=[Tik′ ]+[Tik′′].

Здесь

где [Tik]T – тензор, транспонированный тензору [Tik].

Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга

Симметричный полярный тензор второго ранга [aij], умноженный скалярно на вектор u, преобразует его в вектор p, при этом pi = aikuk. Те векторы, которые в этом случае не изменяют направление, а только удлиняются или укорачиваются, называются собственными векторами тензора [aij]. Собственные векторы, следовательно, удовлетворяют системе уравнений

где l – число, показывающее, во сколько раз удлиняется вектор u под действием тензора [aij], называемое собственным значением тензора [aij], соответствующим данному собственному вектору.

45

Если некоторый вектор u удовлетворяет системе уравнений (2.4), то ему удовлетворяет и любой вектор, коллинеарный вектору u. Поэтому говорят о собственных направлениях тензора, направление же естественно задавать единичным вектором: u u = uiui = 1.

Система уравнений (2.4), записанная в виде

представляет собой систему из трех однородных линейных уравнений относительно компонент вектора u. Нетривиальные решения система однородных линейных уравнений может иметь только в том случае, если ее определитель равен нулю:

Этому уравнению, которое называется характеристическим уравнением тензора, должны удовлетворять собственные значения l. Для симметричного тензора [aij] с вещественными компонентами уравнение (2.6) имеет три вещественных корня.

Подставляя поочередно каждое из трех собственных значений lm в систему уравнений (2.5), можно получить соответствующие собственным значениям lm собственные векторы u(m).

Если все собственные значения тензора [aij] различны, то его собственные векторы u(m) взаимно ортогональны и их можно использовать в качестве ортонормированного базиса. Система координат, построенная на этом базисе, называется главной системой координат тензора. В такой системе координат тензор [aij] принимает диагональный вид:

Когда два собственных значения тензора [aij] совпадают, например l1 = l2 ≠ l3, им соответствует целая плоскость собствен-

46

ных векторов, перпендикулярная к собственному вектору u(3). В любой декартовой системе координат, ортом e3 которой служит собственный вектор u(3), тензор [aij] приобретает вид

Наконец, при совпадении всех трех собственных значений тензора [aij] (l1 = l2 = l3 = l) его компоненты имеют вид

aik =lδik;

для этого тензора любой вектор является собственным.

В свою очередь, выбором соответствующей системы координат любой антисимметричный полярный тензор второго ранга [aik] может быть приведен к простейшему виду:

Система координат, в которой антисимметричный тензор можно записать в простейшем виде, также называется главной системой, а ось с нулевыми компонентами – главной осью. Для представленного выше тензора главная ось совпадает с осью X3 системы координат.

Приведение симметричного псевдотензора второго ранга к диагональному виду, а антисимметричного – к простейшему виду аналогично рассмотренным выше случаям, соответствующим полярному тензору.

Симметрия скаляров, векторов и тензоров второго ранга

Если при некотором преобразовании координат все компоненты тензора остаются неизменными, говорят, что он инвариантен относительно этого преобразования. Совокупность орто-

47

гональных преобразований, относительно которых инвариантен некоторый тензор, образует группу его внешней симметрии.

Группой внешней симметрии скаляра является предельная группа ∞∞m, псевдоскаляра – предельная группа ∞∞.

Внешняя симметрия полярного вектора описывается предельной группой ∞m, аксиального вектора – предельной группой ∞/m. При этом ось ∞ совпадает с направлением вектора.

Задача о нахождении внешней симметрии тензоров второго ранга сводится к записи тензора в главной системе координат и проверке выполнения равенств

для полярных тензоров и

для псевдотензоров при преобразованиях системы координат. При анализе внешней симметрии симметричного тензора второго ранга необходимо различать случаи соответственно тому, сколько у данного тензора совпадающих собственных зна-

чений.

Если все три собственных значения совпадают между собой, то внешняя симметрия симметричного полярного тензора описывается предельной группой ∞∞m, симметричного псевдотензора – предельной группой ∞∞.

При совпадении двух собственных значений, например l1 = = l2 ≠ l3, внешняя симметрия симметричного полярного тензора описывается предельной группой ∞/mm, симметричного псевдотензора – предельной группой ∞2. Оси ∞ этих групп направлены по собственному вектору u(3).

Когда все три собственных значения различны, внешняя симметрия симметричного полярного тензора описывается группой mmm, симметричного псевдотензора – группой 222. Оси 2 этих групп направлены по собственным векторам тензора.

В случае l1 = –l2, l3 = 0 внешняя симметрия симметрично-

– m

го псевдотензора второго ранга описывается группой 42 . Для симметричного полярного тензора второго ранга такой случай не приводит к новой группе симметрии.

48

Группой внешней симметрии антисимметричного полярного тензора второго ранга является предельная группа ∞/m, антисимметричного псевдотензора второго ранга – группа ∞m. Это отражает тот факт, что антисимметричный полярный тензор второго ранга дуален аксиальному вектору, т.е. с равным правом оба тензора могут быть использованы для описания одного и того же геометрического объекта. Соответственно, антисимметричный псевдотензор второго ранга дуален полярному вектору.

Несимметричный тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга. Тогда группа внешней симметрии несимметричного тензора второго ранга является наивысшей общей подгруппой групп внешней симметрии симметричной и антисимметричной частей этого тензора при заданном взаимном расположении их элементов симметрии. Отсюда следует,

что внешняя симметрия несимметричного полярного тензора

– m ∞ m

второго ранга описывается группами 1, 2/ , / ; внешняя симметрия несимметричного псевдотензора второго ранга описывается группами 1, 2, m, mm2, ∞.

В прил.  4, 5, приведены основные канонические формы полярных тензоров и псевдотензоров второго ранга и указаны группы симметрии этих форм. Их частными случаями являются группы симметрии скаляров и векторов. Как следует из данных, приведенных в прил.  4, 5, существует шесть различных по симметрии форм полярных тензоров и десять – псевдотензоров.

Нормальные составляющие симметричного полярного тензора второго ранга

Нормальной составляющей симметричного полярного тензора второго ранга [aik] в направлении единичного вектора n называется величина

a(n)= aiknink.

Если принять единичный вектор n за один из ортов новой системы координат X1′X2′X3′ (например, e1′ = n), то нормальная составляющая окажется соответствующей диагональной компонентой тензора в системе X1′X2′X3′ (в данном примере a(n) = a11′ ).

49

Нормальная составляющая тензора достигает экстремальных значений в направлениях собственных векторов этого тензора. Эти экстремальные значения равны соответствующим собственным значениям тензора.

Если все собственные значения тензора положительны (отрицательны), то и все нормальные составляющие положительны (отрицательны). Если же среди собственных значений тензора имеются и положительные, и отрицательные, нормальная составляющая тензора также принимает и положительные, и отрицательные значения. Будучи непрерывной функцией направления, она при этом на некотором конусе направлений обращается в нуль.

Характеристические и указательные поверхности симметричного полярного тензора второго ранга

Для изображения симметричных полярных тензоров второго ранга применяются характеристические и указательные поверхности.

Указательная поверхность симметричного полярного тензора [aik] описывается формулой

r (n)= aiknink,

которая означает, что от начала координат в каждом направлении n откладываются отрезки, численно равные нормальной составляющей тензора [aik] в данном направлении. Концы этих отрезков образуют указательную поверхность.

Выразив компоненты единичного вектора n в сферических координатах (рис.  2.1):

получим уравнение указательной поверхности в этих координатах. Наиболее простой вид оно будет иметь в случае, если координатные оси, от которых отсчитываются углы j и q, совместить с собственными векторами тензора [aik]. Если все соб-

50