Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

Очевидно, что полученные соотношения представляют собой закон преобразования компонент аксиального вектора A.

Таким образом, компоненты антисимметричного полярного тензора второго ранга преобразуются при изменении системы координат как компоненты аксиального вектора. Иначе говоря, антисимметричный полярный тензор второго ранга дуален аксиальному вектору.

Задача  2.6. Определить, при каком преобразовании системы координат антисимметричный полярный тензор второго ранга приводится к простейшему виду.

Решение

Компоненты антисимметричного полярного тензора второго ранга [aik] и дуального ему аксиального вектора A связаны соотношениями (2.17). Тогда антисимметричному тензору

будет соответствовать аксиальный вектор A = (A1, A2, A3), где

A1 = a23, A2 = a31, A3 = a12.

Выберем новую систему координат так, чтобы ее ось X3′ была направлена по вектору A. В этой системе координат компоненты аксиального вектора A принимают такой вид:

A1′ = A2′ =0; A3′ = DA12 + A22 + A32 ,

где D – определитель матрицы преобразования системы координат.

Используя соотношения (2.17), получаем, что в новой системе координат компоненты антисимметричного тензора [aik] принимают следующий вид:

71

Таким образом, антисимметричный полярный тензор второго ранга [aik] принимает простейший вид в системе координат, одна из осей которой направлена по аксиальному вектору A, дуальному этому тензору.

Задача  2.7. Полярный тензор второго ранга имеет вид

Определить, какой группой описывается внешняя симметрия этого тензора.

Решение

Решим задачу в среде Maxima.

Введем заданный в условии задачи тензор [aik]:

(%i1) a: matrix([2,–1/sqrt(2),–2],[1/sqrt(2),–1,1/sqrt(2)],

[–2,–1/sqrt(2),2]);

72

Используя формулы (2.3), разложим этот тензор на симметричный [aik′ ] и антисимметричный [a″ik] тензоры:

Отсюда следует, что собственному значению l1 = –1 соответствует собственный вектор u(1) =(0,±1,0), собственному значе-

Собственные значения тензора [aik′ ] различны. Это означает, что внешняя симметрия этого тензора описывается груп-

73

пой mmm; три оси симметрии 2 тензора [aik′ ] направлены по его собственным векторам.

Антисимметричный тензор

дуален аксиальному вектору

Внешняя симметрия тензора [a″k] описывается предельной группой ∞/m; ось ∞ направлена по вектору A.

Группой внешней симметрии тензора [aik] является наивысшая общая подгруппа групп внешней симметрии симметричного тензора [aik′ ] и антисимметричного тензора [a″ik] при заданной ориентации их элементов симметрии. Нетрудно видеть, что ось ∞ тензора [a″ik] совпадает с осью 2 тензора [aik′ ], на-

правленной по вектору u(3). Тогда при наложении на группу mmm группы ∞/m так, чтобы ось ∞ совпала с осью 2 || u(3), наи-

высшей общей подгруппой этих групп будет группа 2/m. Таким образом, внешняя симметрия несимметричного по-

лярного тензора [aik] описывается группой 2/m.

Задача  2.8. Симметричный полярный тензор второго ранга имеет вид

Определить, какой вид имеет указательная поверхность этого тензора. Выяснить, какова симметрия этой поверхности.

74

Определить, в каких направлениях нормальная составляющая тензора [aik] принимает экстремальные значения, а в каких равна нулю.

Решение

Величина нормальной составляющей тензора [aik] в произвольном направлении n = (n1, n2, n3) определяется как a(n) = = aiknink или в матричной форме:

Величина a(n) достигает экстремальных значений в направлениях собственных векторов тензора [aik], а эти экстремальные значения равны соответствующим собственным значениям тензора [aik]. Если среди собственных значений тензора [aik] имеются и положительные и отрицательные значения, то на некотором конусе направлений a(n) = 0. Таким образом, рассматриваемая задача сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов тензора [aik].

Решим задачу в среде Maxima. Введем тензор [aik]:

Вычислим собственные значения тензора [aik] и соответствующие им собственные векторы:

75

Отсюда l1 = 25; l2 = –15,3; l3 = –5,596. Столбцы матрицы

являются собственными векторами тензора [aik]: собственному значениюl1 =25соответствуетсобственныйвекторu(1) =(–0,4699, –0,171, –0,866), собственному значению l2 = –15,3 – собственный вектор u(2) = (–0,7851, 0,5294, 0,3215), собственному значению l3 = –5,596 – собственный вектор u(3) = (–0,4035, –0,831, 0,383).

Заметим, что матрица U представляет собой матрицу направляющих косинусов, которая осуществляет переход от главной системы координат тензора [aik] к системе координат, в которой определен приведенный в условии задачи тензор [aik].

Построим указательную поверхность тензора [aik]. Выразим компоненты ni единичного вектора n в сфериче-

ских координатах:

(%i5) n: [cos(j)*sin(q),sin(j)*sin(q),cos(q)]$

Для визуализации указательной поверхности тензора [aik] создадим функцию, которая производит вычисление либо положительных (sign = 1), либо отрицательных (sign = –1) частей указательной поверхности r(j, q):

(%i6) define(surf(j,q,sign),block([r: n.’a.n], if sign*r<0 then 0 else r))$

Рассчитаем и построим указательную поверхность тензора [aik]:

(%i7) draw3d(

dimensions = [800,600], surface_hide = true, proportional_axes = xyz, axis_3d = false,

/* Построение указательной поверхности */

76

color = gray, spherical(surf(j,q,1),j,0,2*%pi,q,0,%pi), color = black, spherical(surf(j,q,–1),j,0,2*%pi,q,0,%pi),

/* Построение осей системы координат */ head_length = 0.75,

head_angle = 15, vector([0,0,0],[20,0,0]), vector([0,0,0],[0,20,0]), vector([0,0,–20],[0,0,2*22]),

label(["X_1",22,0,0],["X_2",0,22,0],["X_3",0,0,26]) )$

Указательная поверхность представляет собой две соприкасающиеся полости – «светлую» и «темную» (рис.  2.3). Светлая полость соответствует тем направлениям, вдоль которых величина a(n) положительна, темная – тем, вдоль которых величина a(n) отрицательна. Оси X1, X2, X3 на рис.  2.3 – это соответствующие оси системы координат, в которой задан тензор [aik].

Рис.  2.3. Указательная поверхность тензора [aik]

Тензор [aik] имеет три различных собственных значения; симметрия указательной поверхности mmm. Три оси симме-

77

трии 2 этой поверхности направлены по собственным векторам тензора [aik].

Рассчитаем и построим стереографическую проекцию указательной поверхности тензора [aik]:

(%i8) draw3d(

xaxis = true, xlabel = "", xtics = false, yaxis = true, ylabel = "", ytics = false, key = " ",

proportional_axes = xy, xu_grid = 181,

yv_grid = 61,

transform = [tan(y/2)*cos(x),tan(y/2)*sin(x),z,x,y,z], explicit(surf(j,q,0),j,0,2*%pi,q,0,%pi/2), contour_levels = {–15,–10,l[3],0,5,10,15,20}, contour = map )$

Лежащая внизу (невидимая) половина стереографической проекции, изображенной на рис.  2.4, может быть определена благодаря тому, что указательная поверхность имеет центр симметрии. Поэтому, чтобы из видимой половины проекции получить невидимую ее половину, нужно отразить изображение в центре проекции. Точки X1 и X2 на рис.  2.4 – это выходы соответствующих координатных осей; ось X3 направлена вверх от центра стереографической проекции.

Найдем экстремумы нормальной составляющей тензора [aik]. Для этого, воспользовавшись соотношениями (см. рис.  2.2)

q=arccos(u3 ), 0°≤j≤180°,

вычислим сферические координаты собственных векторов u(1),

u(2), u(3):

78

Рис.  2.4. Стереографическая проекция указательной поверхности тензора [aik]

Результаты вычислений показывают (см. также рис.  2.4), что нормальная составляющая тензора [aik] принимает максимальное значение, равное 25, в направлении, определяемом сферическими углами j = –160°, q = 150°; минимальное значение, равное –15,3, – в направлении j = 146°, q = 71,25°; направление, определяемое сферическими углами j = –115,9°, q = 67,48°, на котором нормальная составляющая принимает значение, равное –5,596, соответствует седловой точке на указательной поверхности.

Среди собственных значений тензора [aik] имеются и положительные, и отрицательные. Тогда на некотором конусе направлений n нормальная составляющая тензора [aik] будет обращаться в нуль (см. рис.  2.4).

Решим уравнение a(n) = 0 аналитически. Для этого построим базис e1′, e2′, e3′ из собственных векторов тензора [aik] таким

79

образом, чтобы орт e3′ был направлен по собственному вектору u(1), соответствующему собственному значению l1, знак которого отличается от знаков двух других собственных значений:

В системе координат X1′X2′X3′, построенной на базисе e1′, e2′, e3′, тензор [aik] будет иметь диагональный вид:

(%i15) a: ['(l[2]),'(l[3]),'(l[1])]*ident(3);

Запишем уравнение a(n) = 0 в сферических координатах и решим его:

Таким образом, нормальная составляющая тензора [aik] обращается в нуль при

где угол j может принимать любые значения.

80