Рис. 4.6
3. Круг. Определим полярный момент инерции круга (рис. 4.6). Выделим из круга двумя кольцевыми сечениями с радиусами p и
p + dp элементарное кольцо. Площадь его будет равна
dF = 2πρdρ .
Согласно определению:
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
Iρ = ∫ρ2dF =∫2πρ3dρ = ∫2 2πρ3dρ = 2π |
ρ4 |
|
πd 4 |
. |
|||||
|
2 = |
||||||||
4 |
|
32 |
|||||||
F |
F |
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|||||||
Так как круг – фигура симметричная, то
I y = Iz .
Однако, в соответствии с (4.6).
Iρ = I y + Iz I y = Iz = I2ρ = π64d 4 .
Вопросы для самопроверки к разделу 4
1.Почему геометрические характеристики плоских сечений, кроме площади, называют моментами?
2.Чему равен статический момент относительно центральной оси?
3.С чего начинается вычисление координат центра тяжести любой фигуры?
4.Как вычисляются моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных сторонам прямоугольника?
5.Можно ли при определении моментов инерции сложных фигур вычислять не сумму, а разность моментов инерции простых фигур?
37
5.ИЗГИБ
5.1.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
При центральном растяжении–сжатии и кручении прямых брусьев их оси остаются прямыми и после возникновения деформаций. В отличие от этих видов нагружения при изгибе происходит искривление осей прямых брусьев.
I. Классификация по наличию действующих силовых факторов:
а) чистый изгиб, когда в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент;
б) поперечный изгиб, когда наряду с изгибающим моментом действует перерезывающая сила.
II. По направлению воздействия внешних силовых факторов:
а) прямой изгиб, когда плоскость действия внешних сил и моментов совпадает с плоскостью, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечений;
б) косой изгиб, когда плоскость действия внешних сил и моментов не совпадает с плоскостями, проходящими через одну из главных центральных осей инерции сечения.
Определение: Стержень, преимущественно работающий на изгиб, называется балкой.
Частный вид балки – консоль, когда один её конец жёстко закреплён
(рис. 5.1).
Внешние силовые факторы при изгибе:
1)сосредоточенная сила (поперечная, перерезывающая) Р, т; кг; Н;
2)изгибающий момент М, т м;
3)распределённая нагрузка q, Н/м.
Правило знаков: поперечная сила Qy в произвольном сечении численно равна сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от проведённого сечения на ось, перпендикулярную оси балки. Qy положительна, если внешние силы стремятся повернуть рассматриваемую часть относительно центра тяжести проведённого сечения по часовой стрелке (рис. 5.2).
Изгибающий момент M x в произвольном сечении численно равен алгеб-
раической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести этого сечения. M x положителен, ес-
ли балка изгибается выпуклостью вниз (рис. 5.3).
Рис. 5.1 |
Рис. 5.2 |
Рис. 5.3 |
38
5.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРИ ИЗГИБЕ
Рассмотрим на примере порядок построения эпюр при поперечном изгибе
(рис. 5.4).
Пример. Дано: q = 1 т/м; P = 2 т; M = 2 т м.
Определение реакций в опорах:
∑Fверт = 0 ;
RA − P −q 3 = 2 +1 3 = 5 т.
∑M A = 0 ;
M A + M − P 3 − q 3 1,5 = 0 .
M A = −M +3 P + 4,5 q = −2 +3 2 + 4,5 1 = 8,5 т м.
II
1 |
|
2 |
5
4
2
Qx , т
Мx′, т·м
2,5
4
6,25 6
8,5
Рис. 5.4
39
Проверка правильности определения реакций: в качестве проверочного уравнения моментов нельзя составлять уравнения относительно любой из опор конструкции:
∑M B = 0 ;
∑M B = q 3 1,5 + M A + M − RA 3 = 0 ;
0 = 0 .
Первый способ решения задачи. I: Qy = RA − q z1 ; 0 ≤ z1 ≤1
Qy (0)= RA = 5 т;
Qy (1)= RA −q 1 = 4 т;
M x = −M A + RA z1 − q z1 z21 .
Любой силовой фактор, лежащий в конце участка, в уравнения сил и моментов не входит:
M x (0)= −M A = −8,5 ;
M x (1)= −8,5 +5 1−1 122 = −4 т·м;
M x (0,5)= −8,5 +5 0,5 −1 0,252 = −6,125 т м.
Проверка правильности решения эпюры изгибающих моментов: на участке действия кривой распределённой нагрузки выпуклость эпюры M x должна
быть направлена навстречу распределённой нагрузке. II. Qy = P + q z2 , 0 ≤ z2 ≤ 2
Qy (0)= P = 2 т;
Qy (2)= 2 +1 2 = 4 т;
Mx (0)= −P z2 − q z2 z22 ;
Мх(0) = 0 ;
M x (2)= −2 2 −1 222 = −6 т м; M x (1)= −2 1−1 112 = −2,5 т м.
Проверка правильности построения эпюр.
1. Любой скачок на эпюре Qy должен быть равен сосредоточенной силе,
приложенной в этом сечении.
2. Любой скачок на эпюре M x должен быть равен сосредоточенному моменту, приложенному в этом сечении.
40