Подставим в формулу касательных напряжений полученные выражения:

на нейтральной оси

τmax = 32Qbhy .

Вопросы для самопроверки к разделу 5

1.Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении при плоском изгибе?

2.Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении по методу сечений?

3.Как вычисляется поперечная сила по методу сечений?

4.Какова дифференциальная зависимость между изгибающим моментом

ираспределённой нагрузкой?

5.Почему нормальные напряжения при чистом и поперечном изгибе определяются одинаково?

6.На каком законе основан вывод формулы Журавского?

7.Почему касательные напряжения в большинстве случаев не используются для оценки прочности при поперечном изгибе?

51

6. КРУЧЕНИЕ

Под деформацией кручения понимают деформацию стержня, при которой в поперечном сечении из всех внутренних усилий возникает только крутящий момент.

Метод сечений при кручении: крутящий момент в произвольном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных по одну сторону от сечения.

При расчётах на прочность и жёсткость, знак крутящего момента не имеет принципиального значения, поэтому он может быть выбран произвольно, но его необходимо придерживаться до конца решения задачи.

Определение: Стержень, работающий на кручение, называется валом.

6.1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Теория кручения брусьев круглого или кольцевого сечения основана на следующих положениях:

1.Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения вала, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации. Они лишь поворачиваются вокруг оси вала.

2.Радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми и не изменяют своей длины.

3.Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформаций остаются постоянными.

Уравнение равновесия при кручении (рис. 6.1) имеет следующий вид:

где τ – касательное напряжение, возникающее в поперечном сечении вала. Выделим из окружности в поперечном сечении вала бесконечно малый

элемент и рассмотрим его деформацию. При этом элемент определяется двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстояние dz друг от друга. Из него выделяется двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами ρ и ρ+dρ элементарное кольцо (рис. 6.2).

dF

τ

ρ

Рис. 6.1

52

ρ

ρ + dρ

dz

Рис. 6.2

Выделим из кольца элемент двумя плоскими сечениями, проходящими через ось и образующими между собой угол dα (рис. 6.3).

Правое торцевое сечение поворачивается относительно левого на угол dϕ , а образующая BC поворачивается на угол γ , если считать CD началом

отсчёта (рис. 6.4).

Согласно схеме деформаций:

dz

dρ

dα

Рис. 6.3

53

γ

где ddzϕ – называется относительным углом закручивания двух смежных сече-

ний. Эта величина аналогична относительному удлинению при растяжении– сжатии dll .

Элемент ABCD работает в условиях чистого сдвига, а закон Гука при чистом сдвиге имеет вид

G ddzϕ I p = M кр ,

54

касательные напряжения равны нулю, а в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней

поверхности вала, они максимальны. График изменения Рис. 6.5 касательных напряжений вдоль какого-либо диаметра носит линейный харак-

тер (рис. 6.5).

Наибольшее напряжение в непосредственной близости от наружной поверхности вала можно получить путём подстановки в выражение (6.9) вместо

величины ρ расстояние d2 :

где Wp −полярный момент сопротивления поперечного сечения;

Wp = Idp = 2dI p . 2

Выражается Wp в см3, м3. Для круглого сечения:

55

6.2. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ.

ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ И УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯ

Деформацией при кручении является угол закручивания вала ϕ . Согласно формуле (6.8), имеем:

dϕ = M кр dz . GI p

ϕ= ∫MGIкрpdz dz .

ϕ= M кр l .

GI p

Пример: М2 = 20 кг м; М3 = 40 кг м; М4 = 30 кг м; М1 = ? (рис. 6.6).

Мкр, кг м

Рис. 6.6

56