4.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

4.1.СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ

Поперечное сечение бруса можно охарактеризовать его размерами и площадью сечения.

Площадь – простейшая геометрическая характеристика поперечного сечения.

Если представить сечение состоящим из бесчисленного множества элементарных площадок dF (рис. 4.1), то площадь всего сечения

Однако, две фигуры, например круг и квадрат, с одинаковой площадью по-разному воспринимают действие изгибающей нагрузки и крутящего момента.

Для более полной характеристики сечения вводится понятие моментов. Выражения этих характеристик отличаются от выражения (3.1) тем, что у них под знак интеграла входят произведения элементарных площадок на функции координат этих площадок (y, z, p). Таким образом, указанные геометрические характеристики зависят не только от формы и размеров сечения, но и от положения осей и полюсов, относительно которых они вычисляются.

Определение: Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на их расстояние до этой оси.

Рис. 4.1

32

Свойство: Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.

Найдем зависимость между статическими моментами одного и того же сечения относительно параллельных осей z и z′ (рис. 4.2). В соответствии с определением

Sz = ∫y dF ; Sz′ = ∫y′dF .

Определим положение осей y1 и z1 , относительно которых статические моменты равны нулю (рис. 4.3).

Для этого приравняем к нулю выражения (4.2) и (4.3):

Точка пересечения осей y1 и z1 (точка С) является центром тяжести сечения. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральны-

ми осями.

Рис. 4.2

33

4.2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ СЕЧЕНИЙ

1. Прямоугольник. Рассмотрим прямоугольник с высотой h и основанием b относительно осей, проходящих через его центр тяжести (рис. 4.4).

Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси z, элементарную полоску с высотой dy и шириной b. Площадь этой элементарной полоски

dF = bdy .

Подставив полученное значение в зависимость (3.5) вместо dF, получим

Iz = ∫y2bdy .

F

Пределы интегрирования по оси y будут изменяться от −h2 до h2 :

Аналогично:

I y = hb123 .

Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю, так как они – главные.

Рис. 4.4

35

2.Треугольник. Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием b

ивысотой h (рис. 4.5).

Для него центр тяжести расположен на расстоянии h / 3 от основания. Выделим из него линиями, параллельными оси z на расстоянии y от этой оси, элементарную полоску высотой dy. Основание этой полоски равно b(y).

Треугольники ABC и A′B′C′ подобные:

Данное выражение справедливо и для неравнобедренного треугольника.

Рис. 4.5

36