Из условия равновесия:

M2 − M1 + M3 + M4 = 0 ;

M1 = M 2 + M 3 + M 4 = 20 +40 +30 = 90 кг м.

I сечение:

M кр = M 2 = 20 кг м.

II сечение:

M кр = M 2 − M1 = 20 −90 = –70 кг м.

III сечение:

Mкр = M 2 − M1 + M 3 = 20 −90 +40 =–30 кг м.

ϕA = 0 – начало построения.

6.3. РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом вале не должны превышать допускаемых напряжений. Условие прочности имеет вид:

τ≤ [τ].

Ас учётом формулы (6.10) условие прочности выглядит следующим об-

разом:

После этого определяется диаметр вала в соответствии с формулой (6.12). Для стальных валов [τ]=20…40 МПа.

В технологическом оборудовании недостаточная жёсткость на кручение элементов конструкций приводит к нарушению точности обработки изготавливаемых изделий.

Условие жёсткости при кручении:

ϕ ≤ [ϕ],

где [ϕ]− допускаемый относительный угол закручивания на длине 1 м. Или

57

где l p =1 м.

После расчёта I p определяется диаметр вала по формуле (6.11). Если [ϕ°] задан в градусах, то перевод в радианы осуществляется так:

[ϕ]= [ϕ°]180π .

Вопросы для самопроверки к разделу 6

1.Как направлены касательные напряжения в точке при кручении стержня с круглым поперечным сечением?

2.Каков порядок определения максимальных касательных напряжений

вконструкции при кручении?

3.Какой тип поперечного сечения является наиболее экономичным по расходу материала при кручении?

4.Какие перемещения возникают при кручении валов?

58

7. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Кинематика – раздел, изучающий движение материальной точки и абсолютно твёрдого тела без учёта сил, это движение вызывающих.

7.1.ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

Втеоретической механике изучаются простейшие формы движения – механическое движение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчёта. Систему отсчёта можно связать с любым телом. Она может быть как движущейся, так и условно неподвижной.

Основное положение кинематики: Движение точки считается заданным, если мы можем в любой момент времени определить положение точки в пространстве. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию. Эта линия, представляющая собой геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчёта называется

траекторией точки.

Изучение движения точки заключается в определении основных характеристик этого движения:

–положения точки в выбранной системе отсчёта;

–её скорости и ускорения в любой момент времени.

Существует несколько способов задания движения тела:

1. Естественный, который предполагает, что движение точки определено, если известны следующие элементы (рис. 7.1):

–траектория точки в виде прямой или кривой линии;

–начало и направление отсчёта координаты;

–уравнение движения в виде

59

3. Координатный способ – положение точки в системе координат (x, y, z) определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, и z. При движении точки её координаты изменяются с течением времени. Они являются функциями времени t.

Движение в одной плоскости определяется двумя координатами, а прямолинейное движение одним уравнением:

x = f1(t) .

При этом координатный способ сводится к естественному.

7.2. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

При векторном способе задания движения точки вектор скорости в данный момент времени равен производной от радиус-вектора точки по времени:

Вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис. 7.3).

При естественном способе задания движения точки вектор скорости определяется:

v = dsdt τ .

В этой зависимости производная dsdt представляет собой проекцию скоро-

сти v на касательную, т.е. определяет алгебраическую величину скорости; τ – единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений S. Вектор касательной всегда направлен в сторону увеличения координаты

(рис. 7.4).

v2

v1 M2

M1

Рис. 7.3

60

z

x

Рис. 7.4

Определим скорость точки при задании её движения координатным способом. Пусть заданы уравнения движения точки в виде:

Обозначим единичные векторы касательной (орты) осей координат через

i, j,k.

Проведём из начала координат точки О в движущуюся точку М радиус вектор ОМ, тогда:

OM = OA + AB + BM или τ = ix + jy + kz .

Скорость точки равна производной от радиус-вектора r по времени. Най-

дем эту производную, учитывая, что орты i, j, k имеют неизменные модули и направления и могут быть вынесены за знак производной.

v = ddtr = i dxdt + j dydt + k dzdt .

61

Построив прямоугольный параллелепипед, оси которого параллельны

осям координат, а диагональ совпадает со скоростью v , получим проекции

скорости v на оси координат vx ,vy ,vz , равные алгебраическим значением отрезков Ma, Mb, Mc, тогда:

v = ivx + jvy + kvz .

То есть проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

При данном варианте задания движения точки её ускорение равно второй производной от радиус-вектора по времени

а с учётом того, что:

vx = dxdt , v y = dydt , vz = dzdt .

Получим:

a = i dvdtx + j dvdty + k dvdtz .

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

При задании движения векторным способом ускорение точки, характеризующее быстроту изменения модуля и направления скорости точки, равно первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени:

(рис. 7.5).

Рис. 7.5 Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении точки М и характеризует изменение направления вектора скорости.

Касательное ускорение существует лишь при неравномерном движении и характеризует изменение модуля скорости.

62