9.1. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ

Рассмотрим жидкость, находящуюся под действием только сил тяжести и сил давления. Проекции ускорений массовых сил будут проекциями ускорения силы тяжести:

jx = gx ; jy = g y ; jz = gz .

Если расположить оси координат так, чтобы ось z была направлена вверх, параллельно ускорению силы тяжести, то закон распределения давления по вертикали выглядит так:

gx = g y = 0 ; gz = −g .

Перепад давления

dp = −ρgz = γdz ,

где ρ – плотность жидкости; γ – объёмный вес жидкости.

обычно в метрах столба рассматриваемой жидкости.

Уравнение (9.1) называется основным уравнением гидростатики. Оно показывает, что сумма геометрического и пьезометрического напоров есть величина постоянная.

Физический смысл уравнения гидростатики: пьезометрический напор выражает собой удельную работу, которую могло бы совершить давление или удельную потенциальную энергию давления жидкости.

Геометрический напор выражает удельную потенциальную энергию положения, а уравнение гидростатики утверждает, что сумма удельной потенциальной энергии положения и давления покоящейся жидкости величина постоянная.

Пусть жидкость, входящая в цилиндр с малым сечением F действует с давлением p на поршенёк и перемещает его на расстояние x (рис. 9.2). При этом жидкость совершает работу

A = p Fx .

Удельная работа, отнесённая к единице веса жидкости: a = GA = γp FxFx = Pγ .

72

9.2. ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Опытами Рейнольдса было установлено, что существуют два различных по характеру движения жидкости. Это удалось обнаружить опуская тонкую струйку краски в жидкость, которая течёт по стеклянной трубке. При малых скоростях жидкости струйки краски вытягиваются вдоль трубки и не смешиваются с окружающей жидкостью. При этом жидкость в трубке движется параллельными, не смешивающимися струйками. Такое движение называется ламинарным. При увеличении скорости струйка краски сначала становится волнообразной, затем размывается, появляются завихрения и далее краска размывается по сечению трубки, интенсивно перемешиваясь. Такое движение называется турбулентным. Это один из видов неустановившегося движения.

При турбулентном режиме движение отдельных частиц беспорядочно, поэтому скорость каждой частицы, кроме составляющей, направленной вдоль оси потока, имеет поперечную составляющую.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки и потока идеальной жидкости в установившемся движении имеет вид

В этом уравнении γp + z – пьезометрический и геометрический напоры;

v2 – скоростной или динамический напор. 2g

Сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении.

Сумма γp + z является удельной потенциальной энергией жидкости.

Величина 2vg – удельная кинетическая энергия. Таким образом уравне-

ние Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической

ипотенциальной энергии идеальной жидкости в установившемся движении

иявляется частным случаем закона сохранения энергии.

9.3.УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ И ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Вотличие от идеальной жидкости при движении реальной жидкости часть энергии расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений. Поэтому начальная общая энергия жидкости по длине струйки или потока

73

уменьшается от сечения к сечению, т.е. гидромеханическая энергия преобразовывается в тепловую. Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости имеет вид:

где hп – называется потерянным напором.

В потоке реальной жидкости скорости в разных точках сечения потока не одинаковы вследствие действия силы трения, отсутствующей у идеальной жидкости. В результате происходит торможение у стенок сосуда. При этом

сумма кинетических энергий элементарных струек ∑Ki = αkср связана

с кинетической энергией потока, подсчитанной по средней скорости в данном сечении, коэффициентом Кариолиса α и уравнение Бернулли приобретает вид:

Для турбулентного течения в трубах α изменяется 1,02…1,122.

9.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера дают возможность установить напряжённое состояние неподвижной жидкости. Для движущейся жидкости необходимо получить связь действующих на неё сил не только с напряжениями, но и со скоростями. В теоретической механике известен способ использования уравнений статики для описания движения тел – принцип Даламбера. В соответствии с ним в исходные уравнения равновесия нужно ввести силы инерции

dJr = dm dur . dt

Все величины в уравнениях отнесены к массе жидкой частицы и имеют размерность ускорения. Поэтому и сила инерции должна быть также отнесена к массе частицы. Тогда она численно равна ускорению движения:

dJ = dur . dm dt

Проекции удельной силы инерции на соответствующие оси выражаются через компоненты скорости следующим образом:

dudmx ; dudty и dudtz .

74

Согласно принципу Даламбера, уравнения движения получают вид:

ax − ρ1 ∂∂рх = dudtx ; ay − ρ1 ∂∂ру = dudty ; az − ρ1 ∂∂рz = dudtz .

Эти уравнения справедливы для невязкой жидкости, так как при выводе исходных зависимостей не были учтены касательные напряжения.

9.5.УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАВЬЕ–СТОКСА

Вреальных (вязких) жидкостях при движении обязательно появляются касательные напряжения трения, значение которых определяется законом вязкого трения Ньютона. Силы трения можно ввести в уравнение движения жидкости, отнеся их, как и все остальные слагаемые к массе жидкости. В итоге получаются дифференциальные уравнения движения жидкости Навье– Стокса (при ρ = const):

где v – кинематическая вязкость.

Решение уравнений Навье–Стокса является гораздо более сложной задачей, чем решение уравнений Эйлера. Отметим также, что система (9.5) является замкнутой.

Вопросы для самопроверки к разделу 9

1.Чем отличается жидкое тело от твёрдого и газообразного?

2.В чём состоит различие между удельным весом и плотностью?

3.Что называется вязкостью жидкости?

5.Что называется абсолютным, избыточным, вакуумметрическим давле-

нием?

6.Какими свойствами обладает элементарная струйка жидкости?

7.Напишите уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости и объясните геометрический и физический смысл каждого члена, входящего в это уравнение.

8.Какой физический смысл коэффициента Кориолиса «α»?

9.В чём различие между ламинарным и турбулентным режимами движения жидкости в трубах?

75