УДК 519.242(075.8)

ББК 22.172я73 С50

Рецензенты:

профессор Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ», доктор технических наук

Е. М. Антонюк;

заведующий кафедрой Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна, доктор технических наук, профессор

Е. В. Полякова

Смирнов, И. Н.

С50 Планирование эксперимента: учеб. пособие / И. Н. Смирнов.− СПб.: ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2017. − 78 с.

ISBN 978-5-7937-1396-2

Учебное пособие содержит понятия, термины и определения теории планирования эксперимента, вопросы планирования на основе регрессионного анализа с использованием планов первого и второго порядка. Приведены сравнительные характеристики планов. Рассмотрены методы обработки опытных данных со статистической проверкой получаемых в результате эксперимента моделей. Изложены вопросы планирования экстремальных экспериментов, а также планирования на основе латинских квадратов.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 15.04.04 – Автоматизация технологических процессов и производств.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава 1. Общие положения теории планирования эксперимента (ПЭ)…….6

§1.1 Основные понятия……..……………………..…………………………6

§1.2. Регрессионные модели ………………………………………………...9

§1.3. Определение оценок методом наименьших квадратов.

§1.4. СНУ в матричной форме и анализ решений.………………………..14

§1.5. Свойства моделей и характеристики планов …….……………........16

Глава 2. Планы первого порядка ...…………………………………………….21

§2.1. Области применения и особенности планов первого порядка…….21

§2.2. Пример неудачного плана эксперимента……………………………22

§2.3. Полный факторный эксперимент……………………………………26

§2.4. Учет взаимодействий…………………………………………………31

§2.5. Дробный факторный эксперимент………………………………......33

§2.6. Однофакторный эксперимент и симплекс-планы…………………..37

§2.7. Реализация и обработка результатов эксперимента ……………….42

Глава 3. Планы второго порядка ………………………………………………49

§3.1. Области применения и классификация планов второго порядка….49

§3.2. Симметричные центральные композиционные планы.…………….52

§3.3. Несимметричные планы……………………………………………...57

Глава 4. Планирование экстремальных экспериментов…………………….59

§4.1. Общие положения…………………………………………………. ...59

§4.2. Градиентные методы поиска……………………………………… ...60

§4.3. Последовательный симплекс-метод………………………………... 63

Глава 5. Планы на основе латинских квадратов…………………………......68

§5.1. Латинские квадраты………………………………………………......68

§5.2. Модификации латинских квадратов…………………………...........72

Заключение………………………………………………………………………...74

Библиографический список……………………………………………………. 75 Приложение А. Статистические таблицы…………………………………......76

3

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальные исследования всегда составляли основу естественных наук и инженерно-технических дисциплин, иногда проникая и в гуманитарные области знаний. Масштабы экспериментальных работ неуклонно росли и в начале двадцатого столетия достигли такого уровня, что заставили задуматься об их рациональной организации. В результате возникла новая научная дисциплина – планирование эксперимента1.

Ее формирование было начато трудами Р. Фишера (R. Fisher) в двадцатые годы прошлого века и успешно продолжено работами Ф. Йетса (F. Yates), Д. Кокса (D. Cox) и ряда других ученых. Развитию теории планирования эксперимента и ее внедрению в практику способствовали и наши соотечественники В. Налимов, В. Федоров и многие другие.

В распоряжении создателей теории планирования эксперимента уже было мощное основание – математическая статистика. Использованию ее положений способствовало то обстоятельство, что при проведении экспериментов обычно отчетливо проявляется влияние случайных воздействий. Кроме того, цели планирования эксперимента порой оказываются весьма похожими на те, что преследуются в математической статистике. В частности, это относится к задачам статистического оценивания и проверки гипотез.

Тесную связь с планированием эксперимента обнаруживает дисперсионный анализ, под которым можно понимать «статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния»2.

Другой раздел математической статистики, непосредственно используемый в планировании эксперимента, – это регрессионный анализ, который еще будет упомянут впоследствии3.

Одной из основных задач планирования эксперимента является получение математической модели изучаемого объекта (оригинала). Если известны подлинные причинно-следственные связи между переменными, характеризующими его состояние, они могут быть математически оформлены в виде уравнений (чаще всего дифференциальных). Получающиеся в результате математические модели дают определенные гарантии своего соответствия оригиналам.

Однако существуют объекты, не допускающие подобного подхода из-за их высокой сложности, малой изученности или изменчивости. В этих случаях средством исследования таких объектов зачастую остается лишь эксперимент. Понятно, что при этом можно рассчитывать только на получение математиче-

1В англоязычной литературе встречаются два наименования, соответствующие русско-

му термину «планирование эксперимента»: experimental design и planning of experiments.

2 Г. Шеффе. Дисперсионный анализ. −М.: Наука, 1980.

3 Определения терминов «дисперсионный анализ» и «регрессионный анализ» можно найти в стандарте [1].

4

ских моделей невысокой сложности, как правило, в виде функциональных зависимостей между переменными оригинала. Кроме того, такие модели могут претендовать на соответствие действительным характеристикам оригиналов только в той (или немного более широкой) области значений переменных, где ставится эксперимент.

Что касается самого эксперимента, то к его проведению, обычно дорогостоящей и трудоемкой процедуре, предъявляется ряд естественных требований. К их числу относят уменьшение до разумных пределов числа переменных и количества опытов, наилучшую с точки зрения некоторого выбранного критерия организацию эксперимента, возможность проверки правильности (приемлемости) полученных выводов.

Эти и подобные им вопросы и составляют предмет теории планирования эксперимента (ПЭ).

Внастоящем пособии в основном рассмотрено планирование с целью получить регрессионные модели, поскольку они обычно представляют наибольший интерес как в лабораторных исследованиях, так и при анализе промышленных опытных данных. Изложены вопросы поиска воздействий на объект, обеспечивающих наилучшие в некотором заранее оговоренном смысле результаты («экстремальные эксперименты»). Приведены сведения о планировании на основе латинских квадратов.

Впределах каждой главы сохраняется сквозная нумерация рисунков, таблиц, формул и смысл большинства обозначений. Имеющиеся в тексте примеры выделены знаком ▲ в начале и ▼ в конце каждого из них.

5

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА (ПЭ)

§1.1. Основные понятия

Втеории планирования эксперимента объект исследований представляют

ввиде неизвестной структуры (иногда используют выражение «черный ящик»),

находящейся под влиянием векторов внешних воздействий X, Z, E и характеризуемой вектором показателей своего состояния V1. На рис. 1.1, а эти векторы обозначены широкими стрелками.

Вектор X с координатами x1, x2, ..., xn представляет собой внешние воздействия, которые можно контролировать (в частности, измерять) и которыми

можно управлять − выбирать по усмотрению исследователя. Вектор ZТ = || z1, z2,

..., zh || это контролируемые, но не управляемые воздействия. Вектор ЕТ = || е1, е2, ..., еf || объединяет не контролируемые и не управляемые воздействия (помехи), возникающие из-за ошибок измерений и влияния неучтенных в векторах X и Z явлений. Координаты векторов X и Z в теории ПЭ называют факторами. Факторы подразделяют на количественные и качественные. Первые могут быть измерены и выражены числом. В объектах технологического назначения к ним относятся, например, температура, давление, частота вращения и т. п. Вторые принципиально не поддаются измерению, а числовые значения могут быть присвоены им только условно (вид покрытия рабочей поверхности, тип красителя, наличие или отсутствие некоторой операции при обработке изделия и т. п.).

Z

Рис. 1.1. Схема объекта исследований: а – общая; б – в случае активного эксперимента с аддитивной помехой и скалярным выходом

Эксперимент с объектом, на который воздействуют только факторы группы X, называют активным. При воздействии только факторов группы Z

1Везде далее имеются в виду векторы-столбцы. Для экономии места иногда применяется запись векторов-строк как результатов транспонирования столбцов, что отмечается дополнительным символом «Т» в качестве верхнего индекса.

6

эксперимент называют пассивным (а также активно-пассивным в смешанных случаях). В теории ПЭ преимущественно изучается активный эксперимент, и дальнейшее изложение будет относиться только к нему.

Вектор выходных показателей чаще всего считают содержащим всего одну скалярную составляющую y. Этого можно достигнуть, конструируя один обобщенный показатель из многих компонентов V или выделяя из них главный. Показатель y называют откликом. В результате эксперимента отклик y может быть измерен с точностью, зависящей от помехи Е.

Большинство методов ПЭ разработано для случая, когда помеха может быть приведена к единственной скалярной величине е, действующей аддитивно, т. е. так, что ее значение алгебраически суммируется с выходным показателем, составляя отклик y. Считается при этом, что помеха образует последовательность независимых друг от друга и от выбора факторов случайных величин, меняющихся от одного измерения к другому. Перечисленные выше предположения приводят к схеме на рис. 1.1, б, которая и будет изучаться в дальнейшем. В качестве иллюстрации к этой схеме рассмотрим следующие примеры.

▲Пример 1.1. При исследовании работы пневмопрядильной машины БД200 возникла необходимость получения зависимости относительной разрывной нагрузки пряжи от частоты вращения расчесывающего валика и крутки пряжи. Требовалось также выяснить влияние на результат камер, с которых отбирались для испытаний образцы пряжи. Частота вращения выбиралась в пределах от 5 000 до 7 000 мин‾¹, крутка от 600 до 900 кручений на метр, а отбор пряжи проводили с четырех групп камер, имеющих номера 1-10, 11-20, 21-30 и 31-40. Очевидно, что в данном случае откликом является разрывная нагрузка. Имеются два количественных фактора − частота вращения и крутка пряжи − и один качественный − группа камер, с которых отбиралась пряжа. Помеха определяется в основном колебаниями свойств сырья.▼

▲Пример 1.2. Процесс изготовления в экструдере покрытия из пластмассы для стальных труб состоит из следующих операций: нагревание пластиковых гранул и выдавливание размягченной пластмассы через кольцевую щель

спомощью вращающегося шнека с образованием пластмассовой трубы. Требуется выяснить влияние температуры разогрева, скорости вращения шнека и типа пластмассы на производительность экструдера. Здесь два количественных фактора (температура и скорость), один качественный (тип пластмассы), а откликом является производительность. Помеха обусловлена влиянием цехового микроклимата и колебаниями свойств пластмассы, не зависящих от ее типа.▼

Остановимся на некоторых терминах теории ПЭ, в том числе уже упомянутых [1].

Эксперимент − совокупность действий (формирование воздействий, наблюдение, измерение и т.п.), направленных на получение информации об объекте исследования.

Опыт − часть эксперимента, состоящая в воспроизведении определенно-

7

го комплекса действий1.

План эксперимента − число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента − выбор плана эксперимента, удовлетворя-

ющего заданным требованиям.

Область планирования − область возможных значений факторов в эксперименте. Она может быть задана минимальным xi min и максимальным xi max зна-

чениями каждого фактора (i = 1, 2, ..., n). Иногда минимальные и максимальные значения обнаруживаются естественным образом. Например, содержание како- го-то компонента в продукте, выраженное в процентах, не может быть меньше 0 или больше 100. При задании области планирования в некоторых случаях следует учитывать совместимость факторов. Скажем, при приготовлении смеси веществ, следует исключить сочетание их концентраций, чреватое взрывом

xjn ||. Координаты вектора здесь снабжены двумя индексами, первый из которых означает номер точки (опыта), а второй – номер фактора.

Упорядоченная совокупность таких векторов X1, X2, ..., XL и образует план эксперимента, насчитывающего всего L опытов. Множество N различных векторов в этой совокупности называют спектром плана (N ≤ L). В дальнейшем будем считать, что все векторы различны (L = N), или делать специальную оговорку, если это не так.

При проведении опытов каждому фактору обычно присваивают одно из ряда заранее выбранных значений, принадлежащих области планирования. Эти значения называют уровнями факторов. В качестве уровней могут выступать, в

Пользуясь (1.1) и (1.2), часто проводят нормализацию (говорят также «ко-

1 С точки зрения лингвистики термины “эксперимент” и “опыт” неразличимы. Разные значения приписывают им условно и только ради удобства.

8

дирование») факторов по формуле

Нормализованные (кодированные) значения факторов − это безразмерные величины, принимающие, в частности, значения (−1) при xi = xi min , 0 при xi = xi0 и (+1) при xi = xi max , что легко проверяется по формулам (1.1) − (1.3). Первона-

чальные, имевшие место до нормализации значения факторов будем называть

естественными.

Нормализованные значения способствуют лаконичности записи исходных данных и результатов. В дальнейшем будут преимущественно использоваться нормализованные факторы.

План эксперимента часто записывают в виде матрицы плана размера (L × n). Строки в ней отвечают различным опытам, а столбцы − факторам. Элемент xji в этой матрице − это, как и выше, значение фактора с номером i в опы-

те с номером j. При отсутствии повторяющихся опытов (когда L = N) ее назы-

вают матрицей спектра плана.

При решении задач ПЭ, как правило, предполагается, что погрешности при измерении и задании факторов вносят пренебрежимо малый вклад в значение отклика по сравнению с помехой. После соответствующей идеализации этого положения можно считать, что все факторы принимают неслучайные и точно известные значения, что и предполагается в дальнейшем.

Напротив, отклик может быть существенно искажен случайной помехой, как это отражено на рис. 1.1, б.

Нетрудно обнаружить, что многие из приведенных выше терминов и определений по существу относятся только к количественным факторам. Это, например, интервал варьирования и нормализованное значение фактора. Бо́льшая часть приведенных далее материалов тоже предполагает работу с количественными факторами, равно как и их методологическая основа − регрессионной анализ.

Некоторые особенности планирования эксперимента с качественными факторами обсуждаются в заключительной главе 5.

§ 1.2. Регрессионные модели

Основное предположение, лежащее в основе регрессионных моделей, состоит в том, что отклик описывается функцией многих переменных: факторов x1, x2, ..., xn, образующих вектор X, и помехи. Тем самым исключаются из рассмотрения более сложные модели, например, в форме дифференциальных уравнений.

В результате с учетом предположений предыдущего параграфа отклик

9

приобретает вид

где ϕ(X) – детерминированная функция детерминированных переменных x1, x2,

..., xn, которая в отсутствие помехи е однозначно определяла бы зависимость y от X. Ее называют функцией отклика. Отыскание этой функции и является одной из основных целей эксперимента. Геометрическое представление функции отклика называют поверхностью отклика.

Поскольку помеха е − случайная величина, то случайным является и отклик y. Найдем его среднее значение или, пользуясь терминологией теории вероятностей, математическое ожидание my

В этих формулах применена символическая запись M{}для математического ожидания (МО) и учтены его свойства: МО суммы равно сумме МО слагаемых; МО неслучайной величины совпадает с этой величиной. Математическое ожидание помехи обозначено me.

При использовании регрессионных моделей (1.4) считают me постоянным и равным 0. Последнее предположение по существу не вносит новых ограничений, так как, если me ≠ 0, то это значение как неслучайная величина может быть просто включено в виде слагаемого в функцию ϕ. Таким образом,

при me = 0 ϕ(X) согласно (1.5) может рассматриваться как зависимость математического ожидания отклика от переменных x1, x2, ..., xn1. Такую зависимость называют в математической статистике регрессией, что и объясняет появление этого термина в системе понятий ПЭ.

Кроме того, раздел математической статистики, называемый регрессионным анализом (упоминался ранее), предусматривает оценивание неизвестных параметров модели и статистический анализ полученных результатов, что вполне согласуются с задачами ПЭ. Это позволяет непосредственно использовать методы регрессионного анализа при решении таких задач.

Требования к конструктивности методов определения ϕ(X) заставляют идти по пути дальнейших упрощающих предположений. Так, считают, что функция ϕ(X) может быть представлена в виде линейной комбинации некоторых (s+1) известных функций fk (X) с неизвестными числовыми множителями

(параметрами) βk (k = 0, 1, ..., s)

1В стандарте [1] для функции отклика принято именно такое определение.

10