Планирование эксперимента. Учебно-методическое пособие и варианты заданий для контрольной работы

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

УДК 620.22 ББК 34.39я73

П37

П37 Планирование эксперимента: учебно-методическое пособие и варианты заданий для контрольной работы / Сост. Т.М. Пугачева. – Самара: Самар.

гос. техн. ун-т, 2018. – 66 с.

Приведены методические указания и варианты заданий для выполнения контрольной работы по дисциплине «Планирование эксперимента» студентами заочной формы обучения по направлению 22.03.02 «Металлургия», профиль «Материаловедение и термическая обработка»

Рецензент канд. техн. наук, доцент Е.А. Амосов

УДК 620.22 ББК 34.39я73 П 37

2

Цель контрольной работы – получить навыки использования методики планируемого эксперимента для решения экстремальных задач в области материаловедения и технологии металлов с использованием матрицы дробного факторного эксперимента типа 24-1 и крутого восхождения (метода Бокса – Уилсона).

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПЛАНИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью [1]. При этом существенно следующее:

–стремление к минимизации общего числа опытов;

–одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;

–использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

–выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

При планировании эксперимента и обработки результатов опытов реализуют следующие этапы.

1.Выбор выходного параметра (параметра оптимизации).

2.Выбор факторов.

3.Выбор условий проведения опытов (основного уровня и интервалов варьирования факторов).

4.Составление таблицы уровней факторов.

5.Составление плана эксперимента в кодированном и натуральном масштабе.

6.Рандомизация опытов.

7.Реализация опытов.

8.Измерение параметра оптимизации.

9.Расчет дисперсии опытов.

10.Расчет оценок коэффициентов модели.

3

11.Проверка статистической значимости оценок коэффициентов.

12.Составление модели.

13.Анализ модели.

14.Расчет опытов крутого восхождения по градиенту модели.

Приведем два примера планирования дробного факторного эксперимента с разными определяющими контрастами и опишем этапы обработки результатов запланированных опытов [2].

ПРИМЕР 1

Требуется повысить предел прочности при температуре 1000 ° С одного из сплавов на основе молибдена при изменении содержания в нем циркония, титана, температуры деформации литых заготовок и температуры последующей деформации.

В качестве основного уровня и интервалов варьирования выбра-

–для температуры деформации или отливок 1550 и 50 ° С;

–для температуры последующей деформации 1000 и 50 ° С.

1.ПРЕДПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.1.Выбор выходного параметра (параметра оптимизации)

Из множества откликов, известных из литературных данных и опыта экспериментатора, в данной задаче выбран предел прочности

σ1000 С 2

при температуре 1000 ° С – в , кГ/мм .

1.2. Выбор факторов Из всего множества факторов, которые могут повлиять на предел

прочности при 1000 ° С, в эксперименте выбраны наиболее существенные, с точки зрения экспериментатора, следующие факторы: Х1

4

– содержание циркония; Х2 – содержание титана; Х3 – температура деформации отливок; Х4 – температура последующей деформации. Именно эти факторы будут варьироваться в опытах.

1.3. Выбор условий проведения опытов

1.3.1. Выбор основного уровня На основе некоторых предварительных опытов и существующих

технологических процессов в качестве основного уровня выбраны следующие значения факторов:

–содержание циркония Х01 = 0,3 %;

–содержание титана Х02 = 0,3 %;

–температура деформации отливок Х03 = 1550 ° С;

–температура последующей деформации Х04 = 1000 ° С;

1.3.2. Выбор интервалов варьирования Учитывая, что интервал варьирования не может быть меньше

ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, а с другой стороны не должен быть слишком большим, так как при этом уменьшается вероятность построения адекватной линейной модели, в эксперименте выбрали следующие интервалы варьирования факторов:

– для содержания циркония Х1 = 0,1 %;

– для содержания титана Х2 = 0,1 %;

– для температуры деформации отливок Х3 = 50 ° С;

– для температуры последующей деформации Х4 = 50 ° С.

1.3.3. Составление таблицы уровней факторов Для определения верхнего уровня фактора к основному уровню

прибавим интервал варьирования, для определения нижнего уровня фактора от основного уровня отнимем интервал варьирования

(табл. 1.1).

5

2.СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1.Выбор плана

В качестве плана выбираем двухуровневый ортогональный и рототабельный план дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа

24-1 , с определяющим контрастом 1 ≡ х1х2х3х4.

План состоит из восьми опытов. Для расчета дисперсии предусматриваем дополнительное проведение трех опытов на основном уровне.

2.2. Матрица планирования в кодированном масштабе Для записи матрицы планирования ДФЭ типа 24-1 для первых

трех факторов х1х2х3 записываем матрицу полного факторного эксперимента 23, а столбец х4 приравниваем к произведению х1х2х3, так как из определяющего контраста 1 ≡ х1х2х3х4 следует, что генерирующее соотношение имеет вид х4 ≡ х1х2х3.

Три последних опыта представляют собой дополнительные опыты на основном уровне, необходимые для расчета дисперсии опыта.

6

2.3. Система смешивания оценок коэффициентов [3] При выбранном определяющем контрасте 1 ≡ х1 х2 х3 х4, генери-

рующее соотношение х4 ≡ х1 х2 х3, тогда система смешивания оценок коэффициентов будет выглядеть следующим образом:

х3 = х1х2х4 b3 → β3 + β12 4

Как видно, происходит смешивание основных эффектов (β1, β2, β3,, β4) с тройными (β234 , β134 и т.д.) взаимодействиями, а парных (β12, β13 и т.д.) взаимодействий – друг с другом. Таким образом, выбранное планирование позволяет построить линейную модель вида у =

bo+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4.

2.4. Матрица планирования в натуральном масштабе С использованием данных табл. 1.1 и матрицы планирования

(табл. 1.2) запишем план 24-1 в натуральном масштабе и проведем рандомизацию опытов.

7

Рандомизацию, предусматривающую проведение опытов плана в случайном порядке, используют для уменьшения ошибок, связанных с систематически действующими во время эксперимента неконтролируемыми факторами (выгорает футеровка в печах, изнашивается инструмент при обработке давлением и т.д.).

Для определения случайного порядка проведения опытов (рандомизации опытов) используем таблицу случайных чисел (табл. П26).

В соответствии с табл. 1.3 было проведено 11 опытов и измерены σ1000b , кГ/мм2 . Полученные результаты занесены в табл. 1.3 (последний столбец).

3. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ ОПЫТА

Индивидуальные значения выходной характеристики (σ1000b ,кГ/мм2 ) при повторении одного и того же опыта различаются между собой и в силу этого отклоняются от среднего значения в ту или другую сторону. Как известно, величину отклонений индивидуального значения от средней характеризуют средним квадратическим отклонением (S) или дисперсией (S2) [4].

8

Значение дисперсии опыта S 2у рассчитываем по результатам трехкратного дублирования опытов на основном уровне (табл. 1.4)

ских ситуациях связи, ограничивающие свободу измерения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэффициентов, и пр.), подсчитанных по результатам этих опытов.

Под дублированием понимается не серия измерений в одном опыте («несколько образцов на точку»), а полное повторение опыта: приготовление сплава заново, новое проведение всех технологических операций его обработки и т.д.

Таблица 1.4

Расчет дисперсии опыта S 2у

S y2 = 7,8 = 3,4 2

Итак, дисперсия опыта S 2у =3,4 при числе степеней свободы f1 = 2.

±1,4 кГ/мм2. Учитывая, что различие значений y в опытах составляет 55 – 36 = 19 кГ/мм2, что существенно больше Sу = 1,4, делаем вывод:

9

выбранные факторы в своей совокупности оказывают существенное влияние на выходную характеристику. Продолжаем обработку результатов опытов, чтобы определить раздельное влияние факторов на параметр оптимизации.

4. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

Для расчета коэффициентов регрессии к матрице, приведенной в табл. 1.2 добавляем столбец х0, состоящий из одних "+" для расчета b0 (табл. 1.5). Коэффициенты регрессии считаем по формуле

Для подсчета bi столбцу у следует приписать знаки соответствующего столбца xi, вычислить полученное выражение и результат разделить на число опытов планирования.

10