Планирование эксперимента. Учебно-методическое пособие и варианты заданий для контрольной работы

5. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

Значимость коэффициентов будем проверять путем сравнения абсолютной величины коэффициента с его доверительным интерва-

лом ( bi) [3]:

bi = ta ; f1 Sb i ,

где t – критерий Стьюдента, выбирается из табл. П27 в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы f1 при определении дисперсии опыта S y2 ;

Sbi – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициента регрессии.

Для расчета дисперсии оценок коэффициентов регрессии Sb2 i используем формулу

где S y2 – дисперсия опыта

11

Для определения критерия Стьюдента – ta , f1 – выберем обычно принимаемый в инженерных расчетах уровень значимости a = 0,05 и учитывая, что f1 = 3 – 1 = 2 по табл. П27 находим t0,05;2 = 4,3.

Таким образом, Dbi = 4,3 × 0,65 = 1,92.

Коэффициент считается статистически значимым, когда его абсолютная величина больше доверительного интервала или равна ему:

вi ³ вi

или

вi ³ tα , f1 Sвi .

Смысл последнего неравенства заключается в том, что абсолютная величина коэффициента должна быть в t раз больше, чем ошибка в его определении.

Статистическая незначимость коэффицентов означает отсутствие влияния соответствующего фактора на параметр оптимизации, т.е. можно считать, что в изученных интервалах варьирования изменение фактора на отклик не влияет.

Сравним абсолютные величины коэффициентов регрессии с их доверительными интервалами:

Таким образом, коэффициенты b0, b2, b3 и b4 можно признать статистически значимыми, а коэффициент b1 – статистически незначимым и из модели исключить.

6. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ

Уравнение, связывающее отдельный параметр оптимизации и факторы, представляет собой математическую модель объекта исследования и называется функцией отклика [1]. Вид функции отклика до

12

эксперимента неизвестен. Наиболее часто функцию отклика аппрок-

В общем виде модель будет иметь вид

y = b0+ ∑bi xi + ∑bi j xi x j + ∑bii xi2 + ....+

1 ≤ i ≤ k 1 ≤ i<j ≤ k 1 ≤ i ≤ k.

Коэффициенты вi называют линейными (главными или основными) эффектами факторов (x1 ) .

Коэффициенты вij называют эффектами взаимодействия двух факторов (xi и xj) или эффектами парного взаимодействия. Эффекты взаимодействия больших порядков – вijl и т.д. называют эффектами тройного и т.д. взаимодействия.

В уравнение регрессии

у = в0 + ∑ вi xi + ∑ вij xi x j + ∑ вijl xi x j xl ...

включаем только статистически значимые коэффициенты.

Итак, получили следующее линейное уравнение регрессии (линейную модель):

y = 44,5 + 3,0x2 + 3,5x3 – 2,25x4

От кодированных значений х2, х3 и х4 к натуральным можно перейти по формулам

13

7. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Адекватность модели — соответствие модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, иначе это была бы не модель, а сам объект.

Всякая модель ценна постольку, поскольку она верно отражает описываемое явление.

На рисунке ниже приведены два случая с одинаковым расположением экспериментальных точек, но с различным разбросом в точках (с различной дисперсией воспроизводимости). Разброс в точках показан отрезками прямых, составляющих доверительный интервал,

равный ± 2Sy . По экспериментальным точкам были рассчитаны уравнения регрессии.

Линии регрессии:

о – экспериментальные значения, х – расчетные значения

Как видно из рисунка, предсказанные моделью значения (показаны х) будут соответствовать экспериментальным (с учетом ошибки опыта) только в первом случае (см. рисунок а). В данном случае разброс в точках того же порядка, что и разброс относительно линии. Поэтому можно предполагать, что модель пригодна. Во втором случае (см. рисунок б) опыты слишком точны. Требуется более сложная модель, чем линейная, чтобы точность ее определения была сравнима с точностью эксперимента (например, модель, показанная пунктиром).

Количественно гипотезу об адекватности проверяют с помощью F – критерия (критерия Фишера) и t – критерия (критерия Стьюдента) [3, 4].

14

Гипотезу об адекватности уравнения не отвергают, если расчетные значения F – критерия и t – критерия не превышают табличных для выбранного уровня значимости α, т.е.

Fрасч ≤ Fтабл и tрасч ≤ tтабл.

Проверим гипотезу об адекватности модели по критерию Стьюдента (t).

Для расчета t-критерия используем формулу

Поскольку tтабл > tрасч, гипотеза об адекватности модели при 5%- ном уровне значимости не отвергается.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера (F). Для расчета F-критерия используем формулу

рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально;

15

Так как Fрасч < Fтабл, гипотеза об адекватности модели при 5%-ном уровне значимости не отвергается.

16

8.АНАЛИЗ МОДЕЛИ

Вслучае, если гипотеза об адекватности модели не отвергается, нужно провести анализ модели [3, 4], т.е. интерпретацию результатов для выбранных в исследовании интервалов варьирования факторов.

Линейная модель представляет собой полином первой степени. Геометрический смысл коэффициентов – тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора. Соответственно анализ модели начинают с определения, в какой мере каждый из факторов в изученных интервалах варьирования влияет на параметр оптимизации. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем сильнее влияние. Характер влияния показывает знак коэффициента. Знак «+» означает, что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимиза-

ции, а знак «–» – что она убывает.

Интерпретация знаков зависит от задачи исследования. Если требуется повысить значение отклика, то увеличение значений всех факторов, чьи коэффициенты имеют знак «+», благоприятно, а чьи коэффициенты имеют знак «–» – неблагоприятно. Если требуется уменьшить значение отклика, то, наоборот, благоприятно увеличение значений тех факторов, знаки коэффициентов которых отрицательны.

Проведем анализ полученной модели.

В изученных интервалах варьирования содержание циркония (х1) не влияет на значение σ1000b (коэффициент b1 статистически незначим). Содержание титана (х2) и температуры деформации отливки (х3)

оказывают практически одинаковое влияние на σ1000b (b2 ≈ b3 ). Температура последующей деформации (х4) оказывает несколько

меньшее влияние на σ1000b ( b4 < b2 < b3 ) . Для увеличения σ1000b необходимо увеличивать по сравнению с основным уровнем содержание титана и температуры деформации отливки (коэффициенты b2 и b3 положительные) и уменьшать по сравнению с основным уровнем температуру последующей деформации (коэффициент b4 отрицательный).

17

9. КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ

Крутое восхождение по поверхности отклика (движение по градиенту) – наиболее короткий путь к оптимуму. Изменяя независимые переменные (факторы) пропорционально величинам коэффициентов регрессии, мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.

ции подсчитываем из пропорций.

Этапы расчета крутого восхождения и план движения по градиенту представлены в табл. 1.7. При этом учитывали, что температуру деформации отливок из металловедческих соображений нельзя повышать сверх 1700 ° С. Поэтому после достижения этого значения температуру больше не меняем. Поскольку, коэффициент b1 оказался статистически назначим, содержание циркония (х1) в сплаве во всех опытах этапа крутого восхождения поддерживали на основном уровне (0,3 %).

18

ственные, с точки зрения экспериментатора, следующие факторы: Х1

– содержание циркония; Х2 – содержание титана; Х3 – температура деформации отливок; Х4 – температура последующей деформации. Именно эти факторы будут варьироваться в опытах.

1.3. Выбор условий проведения опытов 1.3.1. Выбор основного уровня

На основе некоторых предварительных опытов и существующих технологических процессов в качестве основного уровня выбраны следующие значения факторов:

–содержание циркония Х01 = 0,3 %;

–содержание титана Х02 = 0,3 %;

–температура деформации отливок Х03 = 1550 ° С;

–температура последующей деформации Х04 – 1000 ° С;

1.3.2. Выбор интервалов варьирования Учитывая, что интервал варьирования не может быть меньше

ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, а с другой стороны не должен быть слишком большим, так как при этом уменьшается вероятность построения адекватной линейной модели, в эксперименте выбрали следующие интервалы варьирования факторов:

1.3.3. Составление таблицы уровней факторов Для определения верхнего уровня фактора к основному уровню

прибавим интервал варьирования, для определения нижнего уровня фактора от основного уровня отнимем интервал варьирования

(табл. 2.1).

20