Планирование эксперимента и математическая обработка данных. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Комсомольский-на-Амуре государственный университет»

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Утверждено в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Комсомольский-на-Амуре государственный университет»

Комсомольск-на-Амуре

2022

1

3

ВВЕДЕНИЕ

Успехи в развитии любой страны зависят от уровня технического прогресса, достигнутого на данном этапе ее развития. Целью же технического прогресса является повышение производительности труда и эффективности использования материалов, машин и технологий. Уровень технического прогресса напрямую зависит от научных достижений и их реализации в сфере производства. Поэтому именно наука является двигателем научно-технического прогресса, а ее проводниками в жизнь являются ученые, магистры и инженеры самых различных специальностей.

Эксперимент – это искусственное воспроизведение явления, процесса в заданных условиях, в ходе которого проверяется выдвигаемая гипотеза.

Эксперименты могут быть классифицированы по различным основаниям:

-отраслям научных исследований: физические, технологические, биологические, химические, социальные и т.д.;

-характеру взаимодействия средства исследования с объектом: обычные (экспериментальные средства непосредственно взаимодействуют

сисследуемым объектом) и модельные (модель замещает объект исследования). Последние делятся на мысленные (умственные, воображаемые) и материальные (реальные).

Экспериментальное изучение объектов по сравнению с наблюдением имеет ряд преимуществ:

1)в процессе эксперимента становится возможным изучение того или иного явления в «чистом виде»;

2)эксперимент позволяет исследовать свойства объектов действительности в экстремальных условиях.

Процесс исследовательской работы, связанный с проведением экспериментальных измерений, включает в себя выполнение расчетов по результатам измерений, их анализ и объяснение.

Традиционные методы исследований связаны с экспериментами, которые требуют больших затрат, сил и средств, так как являются «пассивными», т.е. основанными на поочередном варьировании отдельных независимых переменных в условиях, когда остальные стремятся сохранить неизменными. Эксперименты, как правило, являются многофакторными и связаны с оптимизацией качества материалов, отысканием оптимальных условий проведения технологических процессов, разработкой наиболее рациональных конструкций оборудования. Системы, которые служат объектом таких исследований, очень часто являются такими сложными, что не поддаются теоретическому изучению в разумные сроки. Поэтому, несмотря на значительный объем выполненных научно-исследовательских работ, из-за отсутствия реальной возможности достаточно полно изучить значи-

4

тельное число объектов исследования многие решения принимаются на основании информации, имеющей случайный характер, и поэтому далеки от оптимальных. Применение планирования эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством является его универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследований.

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1)минимизировать общее число опытов;

2)выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3)использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

4)одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

5)организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6)получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;

7)рандомизировать условия опытов, т.е. многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8)оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков.

1.ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для получения адекватной математической модели необходимо обеспечить выполнение определенных условий проведения эксперимента. Модель называют адекватной, если в оговоренной области варьирования факторов X полученные с помощью модели значения функций отклика Y отличаются от истинных не более чем на заданную величину. Методы по-

5

строения экспериментальных факторных моделей рассматриваются в теории планирования эксперимента. Цель планирования эксперимента – получение максимума информации о свойствах исследуемого объекта при минимуме опытов. Такой подход обусловлен высокой стоимостью экспериментов, как физических, так и вычислительных, и вместе с тем необходимостью построения адекватной модели. При планировании активных экспериментов используются следующие принципы:

-отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта;

-постепенное усложнение структуры математической модели;

-сопоставление результатов эксперимента с величиной случайных

помех;

-рандомизация опытов;

-оптимальное планирование эксперимента.

Детальное представление о свойствах поверхности отклика может быть получено лишь при условии использования густой дискретной сетки значений факторов, покрывающей все факторное пространство. В узлах этой многомерной сетки находятся точки плана, в которых проводятся опыты. Выбор структуры факторной модели основан на постулировании определенной степени гладкости поверхности отклика. Поэтому с целью уменьшения количества опытов принимается небольшое число точек плана, для которых осуществляется реализация эксперимента.

При большом уровне случайной помехи получается большой разброс значений функции отклика Y в опытах, проведенных в одной и той же точке плана. В этом случае оказывается, что чем выше уровень помехи, тем с большей вероятностью простая модель окажется работоспособной. Чем меньше уровень помехи, тем точнее должна быть факторная модель.

Кроме случайной помехи при проведении эксперимента может иметь место систематическая помеха. Наличие этой помехи практически никак не обнаруживается, и результат ее воздействия на функцию не поддается контролю. Однако если путем соответствующей организации проведения опытов искусственно создать случайную ситуацию, то систематическую помеху можно перевести в разряд случайных. Такой принцип организации эксперимента называется рандомизацией систематически действующих помех.

Наличие помех приводит к ошибкам эксперимента. Ошибки подразделяются на систематические и случайные соответственно наименованиям вызывающих их факторов – помех.

Рандомизацию опытов осуществляют только в физических экспериментах. Следует отметить, что в этих экспериментах систематическую ошибку могут порождать наряду с отмеченными ранее факторами также неточное задание значений управляемых факторов, обусловленное некаче-

6

ственной калибровкой приборов для их измерения (инструментальная ошибка), конструктивные или технологические факторы.

К факторам в активном эксперименте предъявляются определенные требования:

-управляемость (установка заданных значений и поддержание постоянными в процессе опыта);

-совместность (их взаимное влияние не должно нарушать процесс функционирования объекта);

-независимость (уровень любого фактора должен устанавливаться независимо от уровней остальных);

-однозначность (одни факторы не должны быть функцией других);

-они должны непосредственно влиять на выходные параметры. Выбор параметров оптимизации (критериев оптимизации) является

одним из главных этапов работы на стадии предварительного изучения объекта исследования, так как правильная постановка задачи зависит от правильности выбора параметра оптимизации, являющегося функцией цели.

Под параметром оптимизации понимается характеристика цели, заданная количественно. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы.

Реальные объекты или процессы, как правило, очень сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень многих, параметров. Каждый объект может характеризоваться всей совокупностью параметров или любым подмножеством этой совокупности, или одним единственным параметром оптимизации. В последнем случае прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметра оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных.

Параметр оптимизации (функции отклика) – это признак, по которому оптимизируется процесс. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100 %. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови – это примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Количественная оценка параметра оптимизации на практике не всегда возможна. В таких случаях пользуются приемом, называемым ранжированием. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки (ранги) по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В

7

простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

2. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

В итоге проведения эксперимента могут быть получены результаты наблюдений при различных уровнях фактора, не заданных количественно. Необходимо обработать результаты наблюдений, используя методику дисперсионного анализа, чтобы подтвердить или отклонить нулевую гипотезу Н0. Дисперсионный анализ удобен тем, что он позволяет оценивать влияние неизмеряемых качественных факторов на количественные показатели, например влияние той или иной технологии на качество продукции.

Пусть на рассматриваемую количественную величину Х влияет качественный фактор А, который имеет k уровней. Для каждого уровня фактора А проводится одинаковое количество измерений величины Х. Число таких измерений на каждом из уровней равно n. Результаты измерений представляются в табличном виде (табл. 2.1). В обозначениях индексов переменных величин будем следовать правилам алгебры матриц: строки будем обозначать индексом i, а столбцы – индексом j; для переменных с двумя индексами: первый индекс – номер строки, а второй индекс – номер столбца.

В последней строке помещены средние значения измерений для каждого уровня j фактора А, найденные по формуле

n

Xгрj = 1/n Xij = (X1j + X2j +…+ Xnj)/n.

i 1

Рассмотрим основные понятия дисперсионного анализа. Общей средней по всем измерениям (общее число измерений равно kn) является величина, равная

8

Общей суммой квадратов отклонений измеренных значений ху от общей средней называется выражение

n k

Qобщ = (Xij – Xоб.ср)2. i 1 j 1

Факторной суммой квадратов отклонений групповых средних от общей средней называется выражение

k

Qфакт = n (Xгрj – Xоб.ср)2. j 1

Остаточной суммой квадратов отклонений измеренных значений от групповых средних служит сумма Qост, равная

Qост = Q общ – Qфакт.

Подсчитав общую сумму Qобщ, факторную сумму Qфакт и остаточную сумму Qост, можно получить дисперсии: общую S2общ, факторную S2факт и остаточную S2ост. Дисперсия S2общ обязана своим появлением всем действующим факторам: как фактору А, так и случайным факторам на каждом уровне. Основная задача, которую решает дисперсионный анализ, – это разложение общей дисперсии S2общ на составляющие, которые характеризовали бы фактор А и случайный фактор в отдельности. С учетом того, что факторная дисперсия S2факт зависит от k составляющих и является смещенной оценкой, формула для несмещенной оценки дисперсии принимает вид

S2факт = Qфакт/(k – 1).

Остаточная дисперсия S2ост зависит от Хj, т.е. от kn составляющих. Следовательно, для несмещенной остаточной дисперсии имеем

S2ост = Qост/(nk – k),

где число степеней свободы по сравнению с nk уменьшено на k, так как в каждой группе за счет групповой средней число степеней свободы уменьшается на единицу.

Для проверки нулевой гипотезы Н0 о незначимом влиянии фактора А используем критерий Фишера-Снедекора, т.е. случайную функцию, равную отношению выборочных дисперсий двух нормально распределенных случайных величин (во всех случаях полагаем, что совокупности данных измерений распределены по нормальному закону)

Fрасч = S2факт/S2ост.

9

По таблицам распределения Фишера (табл. П1.1 – П1.4) для уровня значимости α = 0,05 и степеней свободы k1 = k – 1, k2 = k(n – 1) находим

Fкрит(0,05; k1; k2). Если Fкрит > Fрасч, то заключаем, что фактор влияет несущественно, принимаем нулевую гипотезу. Если Fкрит < Fрасч, то заключаем,

что фактор влияет существенно, нулевую гипотезу отвергаем.

2.1. Пример задания

В трех автосалонах продаются автомобили трех цветов. В табл. 2.2 указаны объемы дневных продаж по автосалонам и цветам.

На уровне значимости α = 0,05 необходимо установить влияние фактора цвета на объем продаж.

Решение

1. Находим групповое среднее значение спроса для каждого цвета (уровня)

Xгр1 = (3 + 4 + 2)/3 = 3; Xгр2 = (5 + 1 + 8)/3 = 14/3; Xгр3 = (2 + 3 + 6)/3 = 11/3.

10