Планирование эксперимента и математическая обработка данных. Учебное пособие

Найдем общую и факторную суммы: - общая

Qобщ = 309/81 + 2190/81 + 705/81 = 3204/81 = 356/9; - факторная

k

Qфакт = n (Xгрj – Xоб.ср)2 = 3[(3 – 34/9)2 + (14/3 – 34/9)2 +

j 1

+(11/3 – 34/9)2] = 38/9.

4.Вычислим остаточную сумму

Qост = Qобщ – Qфакт = 356/9 – 38/9 = 106/3. 5. Вычислим дисперсии

S2факт = Qфакт/(k – 1) = (38/9)/(3 – 1) = 19/9, S2ост = Qост/(nk – k) = (106/3)/[3(3 – 1)] = 53,9.

6.Для проверки нулевой гипотезы о незначимости фактора цвета для объема продаж (см. табл. П1.2 при уровне значимости α = 0,05) используем критерий Фишера в предположении, что факторная и остаточная дисперсии распределены нормально.

7.Находим расчетное значение критерия

Fрасч = S2факт/S2ост = (19/9)/(53/9) = 0,358.

8. По таблице распределения Фишера (см. табл. П1.2) для уровня значимости α = 0,05 и степеней свободы

k1 = k – 1 = 3 – 1 = 2, k2 = k(n – 1) = 3(3 – 1) = 6

находим Fкрит(0,05; 2; 6) = 5,14.

9. Так как Fкрит = 5,14 > Fрасч = 0,358, то заключаем, что фактор (цвет) существенно не влияет на продажу автомобилей, нулевую гипотезу

принимаем.

2.2. Дисперсионный анализ данных в программе Excel

Для статистической обработки экспериментальных данных, проведения дисперсионного и регрессионного анализов используют компьютер-

ные программы (Statistica, Mathcad, Matlab и др.).

Широкое распространение получила программа обработки электронных таблиц Excel операционной системы Windows. Она полезна для таких операций, как статистическая обработка и анализ данных, решение задач оптимизации, построение диаграмм и графиков.

11

По умолчанию пакет Анализ данных в программе Excel на рабочей панели не установлен. Для установки пакета Анализ данных необходимо через кнопку Office щелкнуть левой кнопкой мыши Параметры Excel.

На появившемся диалоге Параметры Excel в списке выбираем

Надстройки и нажимаем на кнопку Перейти…

В диалоге Надстройки устанавливаем флажок в строке Пакет анализа и кнопкой OK закрываем диалог Надстройки.

Введем данные для дисперсионного анализа (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Данные для дисперсионного анализа

Выберем команду меню Данные, Анализ данных. (В предыдущих версиях Excel 97/2000 команда Сервис, Анализ данных). На экране появит-

ся диалог Анализ данных (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Инструменты анализа данных

В списке Инструменты анализа щелкнем мышью Однофакторный дисперсионный анализ.

Нажмем кнопку OK, чтобы закрыть диалог Анализ данных.

На экране появится диалог Однофакторный дисперсионный анализ

для проведения дисперсионного анализа данных (рис. 2.3).

Выделим данные, которые необходимо проанализировать, – диапазон ячеек В1:Н6. В поле Входной интервал группы элементов управления Входные данные появится указанный диапазон. Необходимо в группе элементов управления Входные данные установить переключатель по столбцам.

Установим флажок Метки в первой строке, так как первая строка выделенного диапазона содержит названия столбцов.

12

Встолбце Счет расположено количество измерений (параллельных наблюдений) соответствующих проб, в столбце Сумма – суммы величин, в столбце Среднее – средние арифметические значения, в столбце Дисперсия – дисперсия результатов измерений каждой пробы.

Вдиапазоне ячеек А15:G19 отображается информация, касающаяся существенности расхождений между группами данных.

Встроке 15 находятся названия параметров дисперсионного анализа,

встроке 16 – результаты межгрупповой обработки, в строке 17 – результаты внутригрупповой обработки, а в строке 19 – суммы значений вышеуказанных двух строк. В столбце SS расположены величины варьирования, т.е. суммы квадратов по всем отклонениям. Варьирование, как и дисперсия, характеризует разброс данных. По таблице (см. рис. 2.4) можно заметить, что межгрупповой разброс значительно выше величины внутригруппового варьирования.

Встолбце df находятся значения чисел степеней свободы. Данные числа указывают на количество независимых отклонений, по которым будет вычисляться дисперсия.

Например, межгрупповое число степеней свободы равняется разности количества групп данных и единицы.

Чем больше число степеней свободы, тем выше надежность дисперсионных параметров.

Данные степеней свобод в таблице (см. рис. 2.4) показывают, что для внутригрупповых результатов надежность выше, чем для межгрупповых параметров.

Встолбце MS расположены величины дисперсий воспроизводимости, которые определяются отношением варьирования и числа степеней свобод.

Дисперсия характеризует степень разброса данных, но в отличие от величины варьирования не имеет прямой тенденции увеличиваться с ростом числа степеней свобод.

Вячейке D17 указана величина суммарной дисперсии воспроизводимости данных задачи 1, равной 0,033392.

Таким образом, полученные с помощью программы Microsoft Excel значения дисперсий соответствуют ранее рассчитанным величинам. Из таблицы (см. рис. 2.4) видно, что межгрупповая дисперсия значительно больше внутригрупповой дисперсии.

Встолбце F находится значение F-статистики (F-критерий), вычисляемое отношением межгрупповой и внутригрупповой дисперсий. В столбце F-критическое расположено F-табличное значение, рассчитываемое по числу степеней свободы и величине Альфа.

F-статистики и F-критическое значение используются в критерии Фишера.

Если F-критерий больше значения F-критическое, то различие между группами данных носит неслучайный характер.

14

Втаблице результатов (см. рис. 2.4) F-критерий превосходит величину F-табличное, что указывает на закономерность различий между группами.

Встолбце Р-Значение находится значение вероятности того, что расхождение между группами случайно. Так как в таблице (см. рис. 2.4) данная вероятность очень мала, то отклонение между группами, скорее всего, носит неслучайный характер.

2.3. Задания для самостоятельного решения

Варианты заданий выбираются согласно номеру в списке группы. Вариант 1. Исследовалось влияние четырех различных типов по-

крытия на удельную проводимость телевизионных трубок. Результаты наблюдений следующие:

Определить, влияет или не влияет тип покрытия на удельную проводимость.

Вариант 2. Исследовалось влияние числа оборотов вращения центрифуги при нанесении слоя фоторезистора на его равномерность. Нанесение слоя фоторезистора осуществлялось на установке ПФН-2 на ситалловые подложки, покрытые металлическими пленками.

Отклонения толщины слоя фоторезиста от среднего значения при различных частотах вращения центрифуги следующие:

Определить, влияет или не влияет число оборотов вращения центрифуги на равномерность слоя резистора.

Вариант 3. Проводился анализ технологического процесса растачивания отверстий ф75+006 в шестернях на настроенном токарном станке. Для анализа из партии обрабатываемых деталей через равные промежутки времени было осуществлено пять выборок по шесть деталей в каждой. Отклонения от номинального размера деталей во всех выборках следующие:

15

Определить, существует ли смещение центра рассеяния деталей, т.е. наличие систематической переменной погрешности.

Вариант 4. Проведен эксперимент по оценке влияния постоянной влажности на эффективное сопротивление 10-омных резисторов, поступающих от четырех различных поставщиков. Результаты эксперимента следующие:

Оценить, имеются ли статистически значимые различия между резисторами четырех поставщиков.

Вариант 5. На трех станках изготавливаются детали одного и того же размера. Из продукции каждого было отобрано по четыре образца. Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями:

Можно ли утверждать, что партии изготовляемых деталей имеют одинаковые групповые средние? Гипотезу проверить при α = 0,01, α = 0,05

и α = 0,10.

Вариант 6. Исследовалось влияние способов измерения (1 и 2) параметров анодной алюминиевой фольги для электрических конденсаторов на точность измерения ее удельной емкости. Результаты исследования следующие:

16

Считая, что удельная емкость фольги распределена по гауссовскому закону, а образцы фольги принадлежат одному рулону, заформованному на одном агрегате при постоянных технологических режимах, оценить различие систематических ошибок способов измерения.

Вариант 7. Исследовалось влияние группы материалов одной и той же партии на выходную переменную Y:

Оценить значимость влияния и дать интерпретацию результатов эксперимента с конкретными рекомендациями.

Вариант 8. В бригаде регулировщиков, состоящей из четырех человек, одному доверено личное клеймо контроля качества. Можно ли доверить личное клеймо бригаде в целом? Результаты контроля замеров по восьми аппаратам, отобранным с рабочих мест регулировщиков в полностью рандомизированном порядке, следующие:

Оценить, существует ли различие в качестве изделий у разных регулировщиков.

Вариант 9. Одинаковая продукция шести предприятий исследовалась на надежность (среднее время безотказной работы). Из продукции каждого предприятия было отобрано по восемь образцов:

17

Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Можно ли по групповым средним утверждать, что их продукция одинакового качества? Гипотезу проверить при

α = 0,05 и α = 0,10.

Вариант 10. С четырех предприятий поступают партии конденсаторов одного и того же номинала. Из продукции каждого предприятия было отобрано по пять образцов. Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями:

Можно ли считать, что групповые средние этих партий одинаковы? Гипотезу проверить при α = 0,05 и α = 0,10.

Вариант 11. На трех станках изготавливаются детали одного и того же размера. Из продукции каждого было отобрано по четыре образца. Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями:

Можно ли утверждать, что партии изготовляемых деталей имеют одинаковые групповые средние? Гипотезу проверить при α = 0,01, α = 0,05

и α = 0,10.

Вариант 12. Испытывались на долговечность электрические лампы. Выборки были взяты из 4-х партий, изготовленных из разных материалов:

Гипотеза Н0: средние долговечности ламп в партиях одинаковы и не зависят от примененных материалов. Можно ли утверждать, что партии изготовляемых ламп имеют одинаковые групповые средние?

Вариант 13. Проверялось наличие одинаковых систематических ошибок трех микроскопов, каждым из которых проводилось по пять измерений на одном и том же образце:

18

Гипотеза Н0: приборы имеют одинаковые систематические ошибки. Можно ли утверждать, что систематические ошибки одинаковы?

Вариант 14. На предприятии, работающем в три смены, получены следующие данные о проценте брака выпускаемой продукции в каждой из смен за семь дней недели:

Гипотеза Н0: эффект влияния фактора А (смены на процент брака) отсутствует. Можно ли утверждать, что партии изготовляемой продукции имеют одинаковые групповые средние?

Вариант 15. С четырех предприятий поступают партии конденсаторов одного и того же номинала. Из продукции было отобрано по семь образцов. Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями:

Можно ли считать, что групповые средние этих партий одинаковы? Гипотезу проверить при α = 0,05 и α = 0,10.

Вариант 16. На трех станках изготавливаются детали одного и того же размера. Из продукции было отобрано по четыре образца. Предполагается, что выборки сделаны из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями:

Можно ли утверждать, что партии изготовляемых деталей имеют одинаковые групповые средние? Гипотезу проверить при α = 0,01, α = 0,05

и α = 0,10.

19

Вариант 17. Три мастера проводили проверку однотипных устройств. Каждый из них проверил различное число комплектов и обнаружил различное число дефектов при каждой проверке. Анализируя их работу, начальник наладочного участка составил таблицу, из которой можно предположить, что 2-й мастер вроде бы имеет более низкую квалификацию или у него отсутствует служебное рвение, так как он обнаружил в среднем в два раза меньше дефектов (от общего среднего, равного 6):

Можно ли на основании приведенных данных в таблице сделать вывод о различной квалификации мастеров?

Вариант 18. Выходной параметр – время нагревания микропаяльника, с. Уровни единственного фактора А – три разных типа микропаяльников:

Эксперимент полностью рандомизирован. Провести дисперсионный анализ и проверить гипотезу о том, что среднее время нагревания одинаково для всех типов микропаяльников.

Вариант 19. Выходной параметр – срок службы миниатюрного индикаторного прибора, ч. Уровни единственного фактора А – партии приборов, изготовленные по четырем разным технологиям. Отбор приборов для испытания полностью рандомизирован. Было отобрано по пять приборов из каждой партии:

20