Планирование эксперимента и математическая обработка данных. Учебное пособие

4. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии

n

b0 = (1/8) yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 + 7,8 + 10,2 + 5,77 + 17 + 7,6 + 9,4 + 8,8) = 9,25;

8

b1 = (1/8) xijyjср =

j 1

= (1/8)(7,4 – 7,8 + 10,2 + 5,77 + 17 – 7,6 + 9,4 – 8,8) = l,75;

8

b2 = (1/8) xi2yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 + 7,8 – 10,2 – 5,77 + 17 + 7,6 – 9,4 – 8,8) = 0,7;

8

b3 = (1/8) xi3yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 + 7,8 + 10,2 + 5,77 – 17 – 7,6 – 9,4 – 8,8) = -1,45;

8

b12 = (1/8) xi1xj2yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 – 7,8 – 10,2 + 5,77 + 17 – 7,6 – 9,4 + 8,8) = 0,5;

8

b13 = (1/8) xi1xj3yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 – 7,8 + 10,2 – 5,77 – 17 + 7,6 – 9,4 + 8,8) = -0,75;

8

b23 = (1/8) xi2xj3yjср =

j 1

= (1/8)(7,4 + 7,8 – 10,2 – 5,77 – 17 – 7,6 + 9,4 + 8,8) = -0,9;

8

b123 = (1/8) xi1xj2xj3yjср =

j 1

=(1/8)(7,4 – 7,8 – 10,2 + 5,77 – 17 + 7,6 + 9,4 – 8,8) = -1,7.

5.Находим дисперсию воспроизводимости (табл. 6.6).

41

Таблица 6.6

Расчет дисперсий

Суммируя элементы столбца 6 табл. 6.6, получаем

8

Sj2 = 16,48335.

j 1

Отсюда получаем дисперсию воспроизводимости

8

S2{y} = (1/8) Sj2 = 16,48335/8 = 2,06.

j 1

6. Определяем среднее квадратическое отклонение коэффициентов

S{y} = (S2{y}/(nm))1/2 = (2,06/(8 3))1/2 = 0,293.

Из таблиц распределения Стьюдента (см. табл. П1.6) по числу степеней свободы n(m – 1) = 8 2 = 16 при уровне значимости α = 0,05 находим tкр = 2,12. Следовательно, tкр S{y} = 2,12 0,293 = 0,52. Сравнивая полученное значение с коэффициентами уравнения регрессии, видим, что все коэффициенты кроме b1,2 больше по абсолютной величине 0,52. Следовательно, все коэффициенты кроме b1,2 значимы. Полагая, что b1,2 = 0, получаем уравнение регрессии в кодированных переменных

у= 9,25 + 1,75х1 + 0,7х2 – 1,45х3 – 0,75х1х3 – 0,9х2х3 – 1,7х1х2х3.

7.Проверим полученное уравнение на адекватность по критерию Фишера. Так как дисперсия воспроизводимости найдена в предыдущем

пункте, то для определения расчетного значения критерия Fрасч необходимо вычислить остаточную дисперсию S2ост. Для этого найдем значения изучаемого параметра по полученному уравнению регрессии yjр (j = 1, …, 8), подставляя +1 или -1 вместо xi в соответствии с номером j эксперимента из табл. 6.6:

y1р = 9,25 + 1,75 + 0,7 – 1,45 – 0,75 – 0,9 – 1,7 = 6,9;

42

y2р = 9,25 + 1,75 (-1) + 0,7 – 1,45 – 0,75 (-1) – 0,9 – 1,7 (-1) = 8,3; y3р = 9,25 + 1,75 + 0,7 (-1) – 1,45 – 0,75 – 0,9 (-1) – 1,7 (-1) = 10,7; y4р = 9,25 + 1,75 (-1) + 0,7 (-1) – 1,45 – 0,75 (-1) – 0,9 (-1) – 1,7 = 5,3; y5р = 9,25 + 1,75 + 0,7 – 1,45 (-1) – 0,75 (-1) – 0,9 (-1) – 1,7 (-1) = 16,5; y6р = 9,25 + 1,75 (-1) + 0,7 – 1,45 (-1) – 0,75 – 0,9 (-1) – 1,7 = 8,1; y7р = 9,25 + 1,75 + 0,7 (-1) – 1,45 (-1) – 0,75 (-1) – 0,9 – 1,7 = 9,85; y8р = 9,25 + 1,75 (-1) + 0,7 (-1) – 1,45 (-1) – 0,75 – 0,9 – 1,7 (-1) = 8,3.

Находим остаточную дисперсию

8

Sост = 3/(8 – 7) (yэj – ypj)2;

j 1

Sост = 3[(6,9 – 7,4)2 + (8,3 – 7,8)2 + (10,7 – 10,2)2 + (5,3 – 5,77)2 +

+ (16,5 – 17)2 + (8,1 – 7,6)2 + (9,85 – 9,4)2 + (8,3 – 8,8)2] = 3 1,9234 = 5,77.

Расчетное значение критерия Фишера

Fрасч = S2ост/S2{y} = 5,77/2,8 = 2,06.

Табличное значение критерия Fтабл находим из таблицы критических точек распределения Фишера (см. табл. П1.2) при уровне значимости α = 0,05 по соответствующим степеням свободы (r = 3 + 4 = 7 – сумма количества факторов и взаимодействий)

k1 = n – r = 8 – 7 = 1, k2 = n(m – 1) = 8·(3 – 1) = 16, Fтабл = 4,49.

Так как Fрасч = 2,06 < Fтабл = 4,49, то уравнение регрессии адекватно.

8.Проведем интерпретацию полученной модели

у= 9,25 + 1,75х1 + 0,7х2 – 1,45х3 – 0,75х1х3 – 0,9х2х3 – 1,7х1х2х3.

По уравнению видно, что наиболее сильное влияние оказывает фактор х1 – количество наносимого клея, так как он имеет наибольший по абсолютной величине коэффициент. После него по силе влияния на отклик (прочность приклеивания низа обуви) идут: тройное взаимодействие всех факторов х1х2х3; фактор х3 – давление пресса при склеивании; парное взаимодействие х2х3 – сочетание времени активации клеевой пленки и уровня давления при склеивании; парное взаимодействие х1х3 – сочетание количества наносимого клея и уровня давления при склеивании; фактор х2 – время активации клеевой пленки. Так как коэффициенты при х1 и х2 положительные, то с увеличением этих факторов увеличивается отклик, т.е. увеличивается прочность. Коэффициенты при х3, х1х3, х2х3, х1х2х3 отрицательные, это означает, что с уменьшением фактора х3 и перечисленных взаимодействий значение отклика будет возрастать, а с увеличением – убывать.

43

9. Выписываем уравнение регрессии в натуральных переменных, подставляя вместо xi их выражения через zi, которые берем из табл. 6.4:

y= 9,25 + 1,75(50z1 – 2) – 0,7((z2 – 180)/120) – 1,45((z3 – 5)/2) –

–0,75(50z1 – 2)((z3 – 5)/3) – 0,9((z2 – 180)/120)(z3 – 5)/3 –

–1,7(50z1 – 2)((z2 – 180)/120)(z3 – 5)/3.

Преобразовав это уравнение, окончательно получаем его вид в натуральных переменных

у= 10,87 – 62,5z1 – 0,029z2 – 1,23z3 + 1,18z1z2 + 30z1z3 +

+0,007z2z3 – 0,236z1z2z3.

6.2.Задания для самостоятельного решения

6.2.1. Задание 1

На основании экспериментальных данных вывести математическую модель (линейную и нелинейную) в кодированных и натуральных значениях факторов по вариантам. Вариант задания выбирается согласно номеру в списке группы учащихся.

Варианты 1–6. Для изучения зависимости некоторой величины от воздействующих факторов были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на отклик, были выбраны следующие:

44

Варианты 7–12. Для изучения зависимости некоторой величины от воздействующих факторов были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на отклик, были выбраны следующие:

Варианты 13–18. Для изучения зависимости некоторой величины от воздействующих факторов были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на отклик, были выбраны следующие:

45

Варианты 19–24. Для изучения зависимости некоторой величины от воздействующих факторов были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на отклик, были выбраны следующие:

46

6.2.2. Задание 2

На основании экспериментальных данных вывести математическую модель (линейную и нелинейную) в кодированных и натуральных значениях факторов по вариантам.

Вариант 1. Исследовать процесс получения резистивных пленок рения. На основании анализа технологического процесса и результатов предварительных опытов установлено, что на температурный коэффициент сопротивления (ТКC) пленок рения оказывают влияние температура испарения (А); температура подложки при осаждении (В) и термообработке (С) пленок. Исследование технологического процесса для получения локального описания поверхности отклика осуществляется с помощью ПФЭ типа 23. Проводилось две серии параллельных опытов (у = ТКС104 1/°С). Значения факторов при исследовании свойств резистивных пленок рения следующие:

Результаты эксперимента следующие:

Вариант 2. При оптимизации ТКС резистивных пленок рения после движения по градиенту по поверхности отклика пришли в точку, в которой ставится новая серия опытов. Получить локальное описание поверхности отклика для данной точки на основании ПФЭ типа 23. Проводилось две серии параллельных опытов (у = ТКС104 1/°С). Значения факторов при исследовании свойств резистивных пленок рения следующие:

47

Вариант 3. Исследовалось влияние температуры, вакуума и нагрузки на характеристики реле. Определение зависимости напряжения срабатывания реле от указанных параметров проводилось в ПФЭ типа 23. Проводилось три серии параллельных опытов (y = U, В). Рассчитать математическую модель. Значения факторов при исследовании реле следующие:

Результаты эксперимента следующие:

Вариант 4. Для отыскания математической модели, описывающей зависимость деформации упругих элементов фрезерного динамометра от приложенной силы резания, проведен ПФЭ типа 23. Рассчитать математическую модель. Независимые переменные (составляющие силы резания): тангенциальная РТ, радиальная РR и осевая РА. Проводилось три серии параллельных опытов. Значения факторов при исследовании динамометра следующие:

48

Результаты эксперимента для тангенциальной составляющей РТ:

Вариант 5. Условие дано в варианте 4. Результаты эксперимента для радиальной составляющей РR следующие:

Вариант 6. Условие дано в варианте 4. Результаты эксперимента для осевой составляющей РА следующие:

Вариант 7. Определить зависимость коэффициента парной корреляции между определяющими параметрами резисторов интегральной схемы rоп от координат местоположения резисторов на подложке микросборки X, Y и от расстояния между резисторами по оси ОY LRY в ПФЭ типа 23. Проводилось две серии параллельных опытов. Значения факторов при исследовании пленочных резисторов следующие:

Вариант 8. Для построения математической модели технологического процесса был проведен ПФЭ 23. Исследовалась операция спекания, в результате которой формируется пористая структура матрицы катода. За меру спекания было принято изменение пористости вольфрамового штабика. В качестве управляющих технологических факторов были взяты скорость по-

49

вышения температуры VT, температура спекания Т и время спекания τ. Проводилось три серии параллельных опытов. Рассчитать математическую модель. Значения факторов при исследовании техпроцесса следующие:

Результаты эксперимента следующие:

Вариант 9. Исследовалась зависимость коэффициента усиления Ku усилителя от изменения нагрузки Rн, внутреннего сопротивления генератора сигнала Rг и сопротивления обратной связи Rос. Проводился ПФЭ типа 23. Было выполнено две серии параллельных опытов. Рассчитать математическую модель. Значения факторов следующие:

Результаты эксперимента (Ku = у) следующие:

Вариант 10. Исследовалась зависимость входного сопротивления Rвх усилителя от изменения нагрузки Rн, внутреннего сопротивления генератора сигнала Rг и сопротивления обратной связи Rос. Проводился ПФЭ типа 23. Было выполнено две серии параллельных опытов. Рассчитать математическую модель. Значения факторов следующие:

50