Планирование эксперимента и математическая обработка данных. Учебное пособие

Щелкнем мышью на поле ввода Входной интервал Y группы элементов управления Входные данные.

Выделим диапазон ячеек С1:С4, чтобы указать первую группу данных.

Вполе Входной интервал Y группы Входные данные появится вы-

бранный диапазон.

Щелкнем мышью на поле ввода Входной интервал Х группы элементов управления Входные данные.

Выделим диапазон ячеек В1:В4, чтобы указать первую группу данных.

Вполе Входной интервал Х группы Входные данные появится вы-

бранный диапазон. Установим флажок Метки в группе элементов управления Входные данные, так как указанные столбцы содержат названия.

Если в группе элементов управления Параметры ввода не установлен переключатель Новый рабочий лист, то необходимо его установить, чтобы результаты регрессионного анализа были помещены на новый рабочий лист.

Нажмем ОK, чтобы закрыть диалог Регрессия.

На новом рабочем листе появятся результаты регрессионного анали-

за (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Результаты регрессионного анализа

Вдиапазоне ячеек В4:В8 расположены данные регрессионной статистики.

Вячейке В5 находится коэффициент детерминированности 0,999, который вычисляется сравнением реальных данных и значений полученного уравнения.

Если коэффициент близок к единице, то существует хорошая корреляция данных с уравнением, а если коэффициент примерно равен нулю, то модель выбрана неудачно.

Вячейке В4 расположен коэффициент корреляции 0,999, равный квадратному корню из коэффициента детерминированности.

Полученный коэффициент также близок к единице.

Вячейке В6 находится нормированный коэффициент детерминированности 0,999.

31

Данная величина нормирует простой коэффициент детерминированности по числу измерений.

Вячейке В7 расположена стандартная ошибка предсказания данных по уравнению регрессии – 0,415, что составляет доли процента фактических значений температуры.

Вдиапазоне ячеек А11:F14 расположены результаты дисперсионного анализа регрессионных данных.

Встроке 11 находятся названия параметров, в строке 12 – результаты, касающиеся регрессионного уравнения, в строке 13 – данные, относящиеся к отклонению измерения от вычисленного по уравнению, в строке 14 – сумма строк 12 и 13.

Вячейке С12 расположена регрессионная сумма квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений вычисленных значений от средней величины.

Вячейке С13 находится остаточная сумма квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений измерений от вычисленных значений.

Чем регрессионная сумма больше остаточной, тем лучше регрессионное уравнение описывает данные.

Встолбце df расположены числа степеней свобод, которые определяются по количеству независимых элементов, требующихся для образования упоминавшихся сумм квадратов.

Встолбце MS находятся значения дисперсии.

Встолбце F находятся значения F-статистики, в ячейке F12 – вероятность того, что предлагаемое регрессионное уравнение не подходит для описания данных.

Полученное значение вероятности 0,001 показывает, что с большой надежностью вывода регрессионное уравнение удачно описывает зависимость температуры от термо-ЭДС термопары.

Вдиапазоне ячеек А16:I18 находятся коэффициенты регрессионного уравнения и их параметры.

Встроке 16 расположены названия параметров, в строке 17 – параметры, характеризующие свободный член уравнения, в строке 18 – данные, представляющие коэффициент при независимой переменной в уравнении.

Встолбце Коэффициенты расположены коэффициенты уравнения, регрессионное уравнение имеет вид

у= 39,76 + 23,76x,

где у – температура, С; x – термо-ЭДС, мВ.

В столбце Стандартная ошибка находятся стандартные ошибки или погрешности коэффициентов, которые подтверждают статистическую значимость данных коэффициентов.

Ошибки свободного и линейного членов уравнения вполне приемлемы по отношению к своим коэффициентам.

32

Встолбце t-статистика расположены значения t-статистики, т.е. доли коэффициентов в стандартной погрешности.

Чем больше отличается от нуля величина t-статистики, тем лучше.

Встолбце Р-Значение расположены значения, характеризующие, насколько стандартную погрешность можно считать статистически значимой.

Встолбце Нижние 95 % расположены нижние пределы коэффициентов с 95%-ным уровнем надежности.

Встолбце Верхние 95 % содержатся верхние пределы коэффициентов уравнения с 95%-ным уровнем надежности.

Из таблицы (см. рис. 5.5) видно, что линейный коэффициент регрессионного уравнения с 95%-ной надежностью находится в интервале от 23,24 до 24,28, а свободный член – в интервале от 29,95 до 49,58. Таким образом, уравнение регрессии можно записать с доверительными интервалами коэффициентов в виде

у= 39,76(±9,82) + 23,76(±0,52)x.

Как видно из полученного уравнения, значения коэффициентов регрессии существенно больше их доверительных интервалов. Следовательно, оба коэффициента значимы.

5.3. Задания для самостоятельного решения

1. Получить уравнения регрессии зависимости теплоты образования оксидов (- Н т 103 кДж/кмоль) от температуры:

2. При вычислении параметров стандартной атмосферы воздух рассматривается как идеальный газ, считается сухим и имеющим постоянный состав: давление на уровне моря (нулевая высота) принимается равным нормальному атмосферному давлению 101 325 Па, температура 15 °С.

Получить уравнения регрессии зависимости давления, плотности и температуры воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря:

33

3. Получить уравнения регрессии зависимости вязкости воды от температуры (0…100 °С):

6. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Процесс определения явного вида уравнения регрессии получил название регрессионного анализа. Для различных математических планов эксперимента уравнение регрессии содержит различные составляющие:

а) для планов первого порядка уравнение регрессии включает линейные эффекты и парные взаимодействия

y = b0 + blXl + b2X2 +...+ bnXn + b12X1X2 +...+ bn-1,n Xn-lXn;

б) для планов второго порядка уравнение регрессии включает линейные эффекты, парные взаимодействия и квадратичные эффекты

где b0 – свободный член уравнения регрессии; bn, b12…bn–1,n, b11…bnn – коэффициенты регрессии; Xn – условное значение фактора хn.

34

Предположим, что изучается влияние ряда факторов zi (i = 1, …, k) на некоторую величину y. Для этого проводятся эксперименты по определенному плану, который позволяет реализовать все возможные комбинации факторов. Причем каждый фактор рассматривается лишь на двух фиксированных уровнях (верхнем и нижнем). Число всех экспериментов (опытов) в этом случае будет равно n = 2k, где k – количество изучаемых факторов. Постановка опытов по такому плану называется полным факторным экспериментом типа 2k (ПФЭ 2k). План проведения экспериментов записывается в виде матрицы планирования, в которой в определенном порядке перечисляются различные комбинации факторов на двух уровнях. Например, в табл. 6.1 приведена матрица планирования ПФЭ 23 для трех факторов: z1, z2, z3. Знак «+» говорит о том, что во время опыта значение фактора устанавливают на верхнем уровне, а знак «–» показывает, что значение фактора устанавливают на нижнем уровне.

Геометрической интерпретацией ПФЭ 22 служит квадрат, 23 – куб, координаты вершин которых задают условия опытов. Куб задает область

эксперимента, а центр куба является его центром.

Рис. 6.1. Экспериментальные точки в факторном пространстве кодовых факторов: а – 22; б – 23

35

При проведении экспериментов получают значения исследуемой величины y для каждого опыта (или серии опытов). Затем переходят к построению математической модели. Под моделью понимается вид функции y = f (z1, z2, …, zk), которая связывает изучаемый параметр со значениями факторов, лежащих в интервале между верхним и нижним уровнями. Эту функцию называют уравнением регрессии. По накопленному разными исследователями опыту работы с различными моделями можно считать, что самыми простыми моделями являются алгебраические полиномы. Для обработки результатов проведенных экспериментов и дальнейшего определения коэффициентов уравнения регрессии факторы приводят к одному масштабу. Это достигается путем кодирования переменных. Обозначим нижний уровень фактора zi через zi–, а верхний уровень – через zi+. Тогда новые кодированные переменные xi будут определяться через zi по формуле

где zi – натуральное значение i-го фактора; zi0 – натуральное значение i-го фактора на основном уровне; εi – интервал варьирования i-го фактора.

При таком кодировании все новые переменные будут принимать значения от -1 до +1. Линейное уравнение регрессии относительно новых переменных имеет вид

у = b0 + b1X1 + b2X2 +…+ bkXk.

Если требуется изучить влияние парных взаимодействий различных факторов на исследуемый параметр, то уравнение регрессии записывают в виде (6.1). Прежде чем определять коэффициенты выбранной модели, матрицу планирования записывают относительно новых переменных. Далее матрицу дополняют (если это требует вид выбранного уравнения регрессии) столбцами знаков «+» и «-», соответствующих уровням, на которых будут находиться взаимодействия факторов. Знаки этих столбцов получают с помощью исходной матрицы планирования (табл. 6.2).

36

Обычно проводят несколько серий опытов для каждого эксперимента. Это необходимо для проверки уравнения на адекватность. Адекватность – это способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Результаты опытов в каждом j-м эксперименте (j = 1, …, n) записываются в правые столбцы матрицы планирования. В последнем столбце записываются средние выборочные значения полученных результатов для каждой серии опытов. Если каждый эксперимент повторяли m раз, то в матрице будет записано m столбцов: y1, у2, …, ym.

Например, в табл. 6.2 видно, что каждый эксперимент повторялся три раза, т.е. m = 3. Коэффициенты уравнения регрессии находятся с помощью метода наименьших квадратов. Так как матрица планирования ПФЭ 2k должна удовлетворять определенным требованиям, то формулы, определяющие коэффициенты уравнения регрессии, достаточно просты

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми, незначимыми. Чтобы установить, значим коэффициент или нет, необходимо, прежде всего, вычислить оценку дисперсии, с которой он находится:

n

S2{y} = (1/n) S2j.

j 1

Для проверки воспроизводимости опытов находится отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех оценок дисперсий (расчетное значение критерия Кохрена)

n

Gp = max S2j/ S2j.

j 1

Табулированные значения критерия Кохрена Gт приведены в табл. П1.5. Для нахождения Gт необходимо знать уровень значимости p, общее количество оценок дисперсий N и число степеней свободы f, связанных с каждой из них, причем f = k – 1. При выполнении условия Gp < Gт опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий – однородными. Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нeстабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений. Наконец, если никакими способами невозможно достигнуть воспроизводимости, то математические методы планирования к такому эксперименту применять нельзя.

37

Следует отметить, что с помощью ПФЭ все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью. Значимость каждого коэффициента уравнения регрессии устанавливается с помощью критерия Стьюдента (табл. П1.6), вычисляя его расчетное значение

tp = b /(S2{y})1/2,

где b – коэффициент уравнения регрессии, для которого устанавливается значимость.

Каждое рассчитанное значение tр сравнивают с табличным значением критерия Стьюдента tт, которое выбирают для заданного уровня значимости p при числе степеней свободы f = n(k – 1). Если выполняется условие tp > tт, то коэффициент считается n-значимым. В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии. Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность с помощью критерия Фишера (см. табл. П1.1 – П1.4), который представляет собой отношение

где S2ад – оценка дисперсии адекватности, вычисляемая по формуле

n

S2ад = (1/(n – B)) (yэj – ypj)2,

j 1

где уэ, ур – экспериментальное и расчетное значения функции отклика, полученные в j-м опыте; B – количество коэффициентов в уравнении регрессии.

При вычислении расчетного значения критерия Фишера по формуле (6.3) в числителе указывается большая, а в знаменателе – меньшая из оценок дисперсий. Уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента, если выполняется условие Fp < Fт, где Fт – табличное значение критерия Фишера для принятого уровня значимости p и числа степеней свободы f1 числителя и f2 знаменателя. Если гипотеза об адекватности отвергается, то необходимо перейти к более сложной форме или провести эксперимент с меньшим интервалом варьирования факторов.

Анализ результатов предполагает интерпретацию полученной модели. Интерпретацию модели можно производить только тогда, когда она записана в кодированных переменных. Только в этом случае на коэффициенты не влияет масштаб факторов, и мы можем по величине коэффициентов судить о степени влияния того или иного фактора. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше фактор влияет на отклик (изучаемый параметр). Следовательно, можно расположить факторы по величине их влияния. Знак «+» у коэффициента свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина отклика, а при знаке «-» – убывает.

38

Для получения математической модели в натуральных переменных zi в уравнение регрессии вместо xi необходимо подставить их выражения. При переходе к натуральным переменным коэффициенты уравнения изменяются, и в этом случае пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов. Однако если уравнение адекватно, то с его помощью можно определять значения исследуемой величины, не проводя эксперимента и придавая факторам значения, которые должны лежать между нижним и верхним уровнями.

6.1. Пример задания

Для исследования влияния некоторых технологических факторов на прочность приклеивания низа обуви полиуретановым клеем были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23, причем каждый эксперимент повторялся по три раза (табл. 6.3). В качестве факторов, влияющих на прочность y, кг/см2, были выбраны следующие: z1 – количество наносимого клея, г/см2; z2 – время активации клеевой пленки, с; z3 – давление прессования при склеивании, кгс/см2.

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая все взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.

Работу необходимо выполнять в следующем порядке:

1)кодируются переменные;

2)достраиваются матрицы планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополняются столбцом средних значений отклика;

3)вычисляются коэффициенты уравнения регрессии;

39

4)проверяются вычисленные коэффициенты на значимость, предварительно определяя дисперсию воспроизводимости, и получается уравнение регрессии в кодированных переменных;

5)проверяется полученное уравнение на адекватность;

6)проводится интерпретация полученной модели;

7)выписывается уравнение регрессии в натуральных переменных.

Решение

1. Для каждого фактора принимаем основной уровень, интервал варьирования и зависимость кодированной переменной xi от натуральной zi. Оформляем результаты в виде табл. 6.4.

Примечание. Зависимость кодированной величины от натуральной x1 = (z1 – 0,04)/0,02; x2 = 180/120; x3 = (z3 – 5)/3

2. Считаем средние выборочные результатов для каждого эксперимента

3. Строим матрицу планирования с учетом всех взаимодействий и средних значений отклика (табл. 6.5).

40