Планирование эксперимента и математическая обработка данных. Учебное пособие

Проверить нуль-гипотезу о том, что варианты технологического процесса не влияют на срок службы индикаторных приборов.

Вариант 20. Задача технолога – выбрать оптимальный вариант (из трех предложенных) конструкции механизма подачи и направления провода для полуавтомата намотки контурных катушек радиоприемников. В качестве выходного параметра была замерена добротность катушек опытной партии с эталонным сердечником. Проверить нуль-гипотезу о том, что вариант механизма не влияет на добротность катушек. Для упрощения расчетов использовать подходящий код. Отбор по 10 катушек из серий опытной партии полностью рандомизирован. Данные замеров следующие:

Вариант 21. Для изготовления печатных плат на складе завода получены две партии химиката, сертификаты на которые потеряны. Выяснить, являются ли эти партии химиката пригодными для использования в технологическом процессе, если на складе находится еще одна партия того же химиката, принятая по сертификату входным контролем. Данные замеров поверхностного сопротивления восьми контрольных экземпляров серий печатных плат, отбор которых был полностью рандомизирован, в кодированном виде следующие:

Вариант 22. Для пропитки высокочастотных катушек индуктивности радиоприемника получен парафин, марка которого не соответствует записанной в технической документации. Задача технолога – решить, можно ли эту партию парафина (партия 1) запустить в производство без ущерба для качества изделий. Для проведения контрольных замеров партия 1 парафина была запущена параллельно текущему производству, где использовались еще две партии. Эксперимент полностью рандомизирован. Из каждой партии отобрано по восемь катушек. Данные следующие:

21

3.МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗОВ

Корреляционный анализ дает ответ на статистическую гипотезу об отсутствии или наличии связи между переменными с некоторой наперед заданной доверительной вероятностью.

Коэффициент корреляции

Понятие «корреляция» происходит от лат. correlatio – соотношение. В математической статистике под корреляцией понимается всякая связь между двумя или несколькими переменными случайными величинами. О наличии или отсутствии связи между двумя случайными величи-

нами в первом приближении судят по корреляционному полю (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Корреляционное поле двух случайных величин при различном характере корреляции: а – сильная положительная; б – слабая положительная; в – сильная отрицательная; г – отсутствие

Положительная корреляция между случайными величинами характеризует такую вероятностную зависимость, при которой с возрастанием одной из них другая в среднем также будет возрастать (см. рис. 3.1, а).

При отрицательной корреляции с возрастанием одной случайной величины другая в среднем убывает (см. рис. 3.1, в).

Корреляционный анализ позволяет оценивать тесноту связи различных параметров или факторов, влияющих на процесс.

В общем виде задача выявления и оценки силы связи в математической статистике не решена.

Существуют лишь показатели, позволяющие оценивать те или иные стороны случайной связи.

Из них важнейшим является коэффициент корреляции.

Если допустить, что проведено m испытаний и при каждом отмечались значения двух случайных величин xi и уi, то выборочный коэффициент корреляции будет равен

где Sx, Sy – стандартные отклонения.

22

Коэффициент корреляции представляет собой безразмерную величину, модуль которой не превосходит единицы: rxy ≤ 1.

Для независимых величин x и y rxy = 0 и означает отсутствие линейной зависимости.

Равенство │rxy│= 1 свидетельствует о наличии линейной зависимости между величинами, при которой каждому значению x соответствует только одно значение у.

Коэффициент корреляции является довольно грубой оценкой тесноты связи, имеющей смысл лишь при линейной зависимости между параметрами.

Даже при высоком коэффициенте корреляции нельзя сделать достоверных выводов о наличии статистической связи, поскольку одновременное регулирование параметров приводит к их искусственной (ложной) коррелируемости.

Точно так же малый коэффициент корреляции не всегда является следствием отсутствия связи между параметрами, а может быть результатом нелинейного характера связи.

4.ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТА

Математическая модель представляет собой зависимость между параметрами и факторами процесса, полученную теоретически или экспериментально.

Математическая модель компактна и удобна для исследования и управления реальным процессом.

Применение математической модели позволяет:

-выбрать оптимальный технологический режим процесса;

-сократить план исследовательских работ при разработке технологии производства;

-создать систему управления процессом.

При экспериментальном изучении функциональной зависимости y от x производят ряд измерений величины y при различных значениях величины x.

Результаты могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Задача заключается в аналитическом представлении искомой функ-

циональной зависимости, т.е. в подборе формулы, описывающей результаты эксперимента.

Особенность задачи состоит в том, что наличие случайных ошибок измерения (или, как говорят, наличие «шума» в эксперименте) делает невозможным подбор такой формулы, которая точно описала бы все опытные значения.

Последовательное соединение всех экспериментальных точек отрезками прямой даст очень сложную зависимость (рис. 4.1). Поэтому график

23

искомой функции не должен проходить через все точки, а должен по возможности сглаживать «шум».

Сглаживание «шума» будет тем точнее и надежнее, чем больше будет произведено экспериментов.

Прежде всего, исследователь должен выбрать вид кривой, для которой он будет искать аппроксимирующее уравнение.

Ниже приводится для справок несколько наиболее распространенных видов аппроксимирующих кривых и соответствующих им уравнений:

- прямая линия

у = b0 + b1x;

- квадратная парабола

у = b0 + b1x + b2x2;

-парабола n-й степени

у= b0 + b1x + b2x2 + …+ bnxn;

-гипербола

у= 1/(b0 + b1x) или 1/у = b0 + b1x;

-логарифмическая кривая

y = b0 + b1lgx.

Конечно, могут найти применение и кривые многих других видов. Чтобы решить, какую аппроксимацию использовать, следует изучить корреляционное поле и сравнить расположение экспериментальных точек с формой кривых, соответствующих различным уравнениям.

Форма некоторых из них показана на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Формы различных регрессионных кривых:

а) у = b0 + b1x при b1 > 0, b1 < 0; б) у = b0 + b1x + b2x2

при b2 > 0, b2 < 0; в) y = b0 + b1lgx при b1 > 0, b1 < 0

24

Форма связи математически не выбирается.

Можно лишь проверить, насколько адекватна интуитивно выбранная исследователем форма связи экспериментальным точкам.

Таким образом, задача сводится к определению параметров уравне-

ния b0, b1 и т.д.

Кроме того, вид формулы может быть известен заранее из теоретического описания моделируемого объекта.

5.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

К так называемым парным зависимостям у = f(x) относится подавляющее большинство всех формул, используемых в естественно-научных и технических дисциплинах. По результатам экспериментов такие формулы обычно строили, применяя метод наименьших квадратов. Сама по себе процедура линейно-

го парного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов на плоскости) очень проста.

Пусть имеется п пар наблюдений значений функции отклика yj, полученных при фиксированных (в смысле записанных) значениях независимой переменной фактора xj. Для графического изображения этих пар наблюдений в виде экспериментальных точек с координатами х;у на плоскости применяется система декартовых координат (рис. 5.1). Координаты точек 1-8, изобра-

женных на рис. 5.1, приведены в табл. 5.1. Такие результаты наблюдений могут быть получены в любой экспериментальной работе.

Задача линейного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов) состоит в том, чтобы, зная положение точек 1-8 на плоскости, так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений i2 вдоль оси Оу (ординаты) этих точек U от проведенной прямой была минимальной.

25

Для проведения вычислений по классическому методу наименьших квадратов (для проведения регрессионного анализа) к выдвигаемой гипотезе (к форме уравнения регрессии) предъявляется следующее требование: это уравнение должно быть линейным по параметрам или допускать возможность линеаризации. Так, например, процедура проведения регрессионного анализа одинакова для уравнений

y = b0 + bx и y = b0 + bz2,

так как подстановка х = z2 приводит второе уравнение к первому.

Этот вопрос подробнее рассмотрен ниже. Здесь же для простоты и более легкого освоения методики регрессионного анализа предположим (на первых порах), что при проведении парного линейного регрессионного анализа имеем дело только с уравнением прямой линии (следует помнить, что это допущение делается только для упрощения усвоения начальных элементарных сведений по методике построения формул по опытным данным).

Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах y = b0 + b1x,

где b0, b1 – постоянные числа, геометрическая интерпретация которых дана ниже.

Учитывая это, задачу метода наименьших квадратов аналитически можно выразить следующим образом:

i 1

Формулу (5.1) словами кратко можно выразить следующим образом: сумма квадратов отклонений вдоль оси Оу должна быть минимальной (принцип Лежандра).

Построенная таким образом линия регрессии позволяет в данном случае с некоторой вероятностью предсказать в интервале от х = 1,5 до х = 12,5 любые значения функции у при отсутствующих в табл. 5.1 значениях вектора х.

Для решения задачи, поставленной в формуле (5.1), необходимо в каждом конкретном случае вычислить значения коэффициентов b0 и b1, минимизирующие сумму отклонений U. Для этого, как известно из математического анализа, необходимо вычислить частные производные функции U по коэффициентам b0 и b1 и приравнять их нулю

Решая эту систему уравнений, находим искомые значения b0 и b1. Систему (5.2) называют системой нормальных уравнений. В формулу (5.2) подставляют значение U из формулы (5.1) и одновременно выполняют операцию дифференцирования

26

В формуле (5.3) и далее для краткости у знака суммы опущены индексы. Имеем следующее:

Как и другие статистические расчеты, вычисление коэффициентов регрессии удобно проводить в табличной форме. На примере построения линии регрессии по данным табл. 5.1 можно рассмотреть практическую методику вычисления коэффициентов регрессии, которая приведена в табл. 5.2.

Примечание: xср = 59,5/8 = 7,4375, yср = 61,5/8 = 7,6875

Для проверки правильности вычислений в табл. 5.2 можно использовать выражение

Значения сумм подставляем в формулу (5.6). Получаем

2072,00 = 541,75 + 2 510,25 + 509,75; 2072,00 = 2072,00.

27

Следовательно, вычисления выполнены правильно. В формулы (5.4) – (5.5) подставляем найденные значения для сумм из

Это пример парной линейной зависимости.

5.1. Геометрическая интерпретация коэффициентов регрессии

Коэффициент b0 (свободный член уравнения регрессии) геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки пересечения линии регрессии с ординатой или, другими словами, отрезок, отсекаемый на ординате линией регрессии.

Коэффициент b1 представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс: tg = 0,53; = 27°55' (рис. 5.2). На рис. 5.2 изображено «облако» точек с явно выраженной тенденцией (чем больше х, тем больше у), хотя и имеются некоторые отклонения от этого закона. Линия регрессии проведена через «облако» точек, при этом соблюден принцип Лежандра. Положение линии в системе координат на плоскости полностью определяется коэффициентами b0 и b1.

Различают два вида связи: 1) функциональную и 2) стохастическую.

Линейная функциональная связь в данном случае имела бы место, если бы все эти точки (см. рис. 5.2) располагались на прямой регрессии. При наличии погрешностей измерения связь между у и х является стохастической (вероятностной).

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом с использованием F-критерия Фишера общую дисперсию S2у сравнивают с остаточной дисперсией S2y ост, которую можно вычислить в табличной форме (табл. 5.3).

Вычисление S2y ост (сокращенно S2ост) имеет большое значение в теории статистических методов построения эмпирических зависимостей. В литературе можно встретить различные наименования для S2ост (остаточная

28

дисперсия; сумма квадратов остатков; остаточная сумма квадратов); S2ост представляет собой показатель ошибки предсказания уравнением регрессии результатов опытов.

Таблица 5.3

Вычисление остаточной дисперсии с использованием данных табл. 5.2 и формулы (5.7)

Качество предсказания определяют, сравнивая S2ост с S2y. Другими словами, F-критерий Фишера показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее у:

S2y = [ (уi2)– (1/n)( у)2]/(n – 1) = 5,21, S2y = (509,25 – (1/8)61,52)/(8 – 1) = 5,21; S2y ост = (у – ур)2/(n – 2) = 8,8/6 = 1,46;

F = S2y/S2y ост, F = 5, 21/1,46 = 3,57; Fт(7;6;0,05) = 4,06.

Для того чтобы уравнение (5.7) адекватно описывало результаты экспериментов, необходимо, чтобы это уравнение при 5%-ном уровне значимости описывало результаты опытов в 4,06 раза лучше среднего. Фактическое же значение F = 3,357 меньше табличного. При 10%-ном уровне

значимости F = 3,57 > Fт(7;6;0,05) = 2,93; уравнение (5.7) статистически значимо описывает результаты экспериментов при 5%-ном уровне; Fт берут

из табл. П.1.2.

5.2. Регрессионный анализ в программе Excel

Программа Microsoft Office Excel 2007 позволяет одновременно провести дисперсионный, корреляционный и регрессионный анализы с оценкой значимости коэффициентов полученного уравнения регрессии.

Задача 5.1. В ходе тестирования хромель-алюмелевой термопары по постоянным (реперным) точкам – температурам кристаллизации металлов

29

Pb (327,5 °С), Zn (419,6 °С), Al (660,0 °С) – получены следующие данные термо-ЭДС: 12,1; 16,0; 26,1 мВ. Необходимо рассчитать уравнение регрессии линейной зависимости температуры от величин термо-ЭДС термопары.

Проведем регрессионный анализ экспериментальных данных задачи 5.1 с помощью программы Excel.

Введем данные для анализа, C (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Данные для регрессионного анализа

Созданная таблица отображает экспериментальные измерения термоЭДС термопары и соответствующие им известные температуры.

В столбце А расположены номера измерений, в столбце В – значения термо-ЭДС, в столбце С – данные температуры.

Выберем команду меню Данные, Анализ данных. На экране появится диалог Анализ данных.

Щелкнем мышью на строке Регрессия в списке Инструменты анализа. Нажмем кнопку ОK, чтобы закрыть диалог Анализ данных. На экране появится диалог Регрессия для проведения регрессионного анализа данных

(рис. 5.4).

Рис. 5.4. Диалог Регрессия для проведения регрессионного анализа

30