Планирование эксперимента. Учебно-методическое пособие и варианты заданий для контрольной работы

2.СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1.Выбор плана

Выбор плана задан условием задания и представляет собой ортогональный, рототабельный дробный факторный эксперимент (ДФЭ) типа 24-1 с определяющим контрастом 1 ≡ – х1 х2 х3. План состоит из 8

опытов. Для расчета дисперсии предусматриваем дополнительное проведение пяти опытов на основном уровне.

2.2. Матрица планирования в кодированном масштабе Для записи матрицы планирования ДФЭ типа 24-1 для первых

трех факторов х1, х2, х3 записываем матрицу полного факторного эксперимента 23, а столбец х4 приравниваем к произведению х1 х3 и меняем знаки на противоположные, так как из определяющего контраста следует, что генерирующее соотношение имеет вид х4 ≡ −х1 х3 . Пять последних опытов представляют собой дополнительные опыты на основном уровне, необходимые для расчета дисперсии опыта.

21

2.3. Система смешивания оценок коэффицентов При выбранном определяющем контрасте 1 ≡ −х1х3 х4 генериру-

ющее соотношение х4 ≡ −х1х3 , тогда

Как видно, происходит смешивание основных эффектов b1, b3 и b4 c парными взаимодействиями, а b2 смешан с четвертым взаимодействием (фактически b2 определяется в чистом виде). Кроме того, парные взаимодействия b12, b23 и b24 смешаны с тройными взаимодействиями. Таким образом, выбранное планирование позволяет построить не только линейную модель вида

у = b0 +b1х1+b2х2+b3х3+b4х4,

22

но и в случае непригодности (недеакватности) линейной модели построить уже нелинейную модель, например, вида

у = b0 + b1х1 + b2х2 + b3х3 + b4х4 + b12 х1х2 + b23х2х3 + b24х2х4.

2.4. Матрица планирования в натуральном масштабе С использованием данных табл. 2.1 и матрицы планирования

(табл. 2.2) запишем план 24-1 в натуральном масштабе и проведем рандомизацию опытов (табл. 2.3 за исключением последнего столбца).

Для определения порядка проведения опытов (рандомизация опытов) используем таблицу случайных чисел (табл. П26).

В соответствии с табл. 2.3 были проведены 13 опытов и измерены σ1000b , кГ/мм2 . Полученные результаты занесены в табл. 2.3 (по- следний столбец).

23

3. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ ОПЫТА

Значение дисперсии опыта S 2у рассчитываем по результатам пятикратного дублирования опытов на основном уровне (табл. 2.4) по

Итак, дисперсия опыта S у2 = 3,75 при числе степеней свободы

S y S y2 = 1,9. Таким образом, разброс значений в опытах может со-

ставлять ±1,9 кГ/мм2. Учитывая, что различие значений y в опытах составляет 55 – 36 = 19 кГ/мм2, что существенно больше Sу = 1,9, делаем вывод: выбранные факторы в своей совокупности оказывают существенное влияние на выходную характеристику. Продолжаем обработку результатов опытов, чтобы определить раздельное влияние факторов на параметр оптимизации.

24

4. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

Для расчета коэффициентов регрессии к матрице, приведенной в табл. 2.2, добавляем столбец х0, состоящий из одних «+» для расчета b0 (табл. 2.5).

Коэффициенты регрессии считаем по формуле:

25

5. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

Значимость коэффициентов будем проверять путем сравнения абсолютной величины коэффициента с его доверительным интервалом (Dbi):

bi = ta ;f1 Sb i ,

где t – критерий Стьюдента, выбирается из табл. П27 в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы f1 при определении дисперсии опыта Sy2 ;

Sbi – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициента регрессии.

Для расчета дисперсии оценок коэффициентов регрессии Sb2 i используем формулу

S 2

Sb2i = Ny ,

где S y2 – дисперсия опыта

Для определения Критерия Стьюдента – tα; f1 выберем обычно принимаемый в инженерных расчетах уровень значимости a = 0,05 и учитывая, что f1 = 5 – 1 = 4 по табл. П27 находим t0,05;4 = 2,78.

Таким образом, Dbi = 2,78 × 0,69 = 1,92

Сравним абсолютные величины коэффициентов регрессии с их

Таким образом, коэффициенты b0, b2 и b3 можно признать статистически значимыми, а коэффициенты b1 и b4 – статистически незначимыми и из модели исключить.

26

где S y2 – дисперсия опыта, определенная с f1 – числом степеней свободы;

Sнеад2 − дисперсия неадекватности, которую рассчитаем по формуле

рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально;

F расч = 21,6 = 5,68 . 3,8

28

По табл. П28 находим Fтабл при уровне значимости α = 0,05, числе степеней свободы f2 = 5 и числе степеней свободы f1 = 4.

Так как Fрасч < Fтабл, гипотеза об адекватности модели при 5%- ном уровне значимости не отвергается.

8.АНАЛИЗ МОДЕЛИ

Визученных интервалах варьирования факторов содержание циркония (х1) и температура последующей деформации (х4) не влияют на

значение σ1000b (коэффициенты b1 и b4 статистически незначимы). Содержание титана (х2) и температура деформации отливки (х3) оказывают практически одинаковое влияние на σ1000b , причем для увеличения σ1000b нужно одновременно увеличивать по сравнению с основным уровнем содержание отливки (коэффициенты b2 и b3 положительные).

9. КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ

Крутое восхождение по поверхности отклика (движение по градиенту) – наиболее короткий путь к оптимуму. Изменяя независимые переменные (факторы) пропорционально величинам коэффициентов регрессии, мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Повысить можно попытаться, используя метод крутого восхождения. Шаг в изменении содержания титана в сплаве (х2) выбран равным половине интервала варьирования: 2 = 0,05 %. Шаг 3 для

29

Этапы расчета крутого восхождения и план движения по градиенту представлены в табл. 2.7. При этом учитывали, что температуру деформации отливок из металловедческих соображений нельзя повышать сверх 1700 ° С. Поэтому после достижения этого значения температуру больше не меняем. Поскольку коэффициенты b1 и b4 оказались статически незначимыми, содержание циркония в сплаве (х1) и температуру последующей деформации (х4) во всех опытах крутого восхождения фиксировали на основном уровне (соответственно

0,3 % и 1000 ° С).

Таблица 2.7

Крутое восхождение

30