Планирование эксперимента. Учебное пособие

Для отыскания постоянной µ и этих величин снова пригоден метод

наименьших квадратов. Составим сумму по всем опытам квадратов разностей между наблюдавшимися откликами yijk и оценками (5.1)

m m

ES= ∑∑(µ +αi + βj +γk − yijk )2 . i=1 j=1

Отметим еще раз, что значения k здесь не произвольны, а для каждой пары i, j определяются видом применяемого квадрата. Одно из необходимых условий

Все суммы, содержащие параметры α, β,γ , обратятся в 0 вследствие (5.2), а параметр µ повторится m2 раз, вследствие чего

В правой части здесь получилось среднее арифметическое откликов по всем опытам.

Применение других необходимых условий приводит к результатам:

αi = yαi , βj = yβ j ,γk = yγk (i, j, k = 1, 2, …, m),

где величины с черточками представляют собой средние арифметические откликов соответственно по строке i, столбцу j и клеткам квадрата, отвечающих уровню k третьего фактора. В примере 5.2

µ = 182/16 = 11,375; α1 = 48/4 – 11,375 = 0,625; …; γ4 = 36/4 – 11,375 = –2,375.

Главное преимущество латинских квадратов – сокращение числа опытов против предусматриваемого, например, ПФЭ. При этом в эксперименте участ-

вуют значения факторов на всех m уровнях, а именно используется m2 различ-

ных комбинаций факторов вместо m3 в ПФЭ. Так, в последнем примере используется 16 опытов вместо 64.

Основным недостатком является невозможность учета взаимодействий (их нет и в модели 5.1).

Кроме того, латинские квадраты накладывают очевидные ограничения на проводимые эксперименты. Число факторов может быть только 3, а их значения должны варьироваться на одинаковом числе уровней. Ослабить ограниче-

71

ния, связанные с латинскими квадратами, можно за счет применения некоторых их модификаций.

§ 5.2. Модификации латинских квадратов

Если третий фактор (названный выше основным и обозначаемый буквами) имеет меньше уровней, чем первые два, то можно использовать латинский квадрат за счет повторения опытов.

Например, если третий фактор имеет всего три уровня A, B, C, то вместо плана, показанного на рис. 5.1, может быть применен изображенный на рис. 5.2, где вместо уровня D снова используется A. Для повторений обычно используют уровень, представляющий наибольший интерес.

Рис. 5.2. Латинский квадрат c повторением уровня A

Другой модификацией являются так называемые латинские кубы. Каждый такой куб в геометрической трактовке представляет собой пространственную решетку из m3 позиций для m уровней дополнительного, 4-го фактора, причем каждый уровень встречается ровно m раз в каждой плоскости, параллельной некоторой грани куба.

Еще одна модификация – греко-латинские квадраты, также используемые для четырех факторов. Они образуются наложением двух латинских квадратов одинаковой размерности m, ортогональных друг другу. В данном случае ортогональность означает, что каждый символ одного квадрата появляется ровно один раз в сочетании с каждым символом другого1, например, как на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Греко-латинский квадрат

1 Часто в качестве символов первого квадрата применяются латинские, а второго – греческие буквы, что и объясняет название.

72

Показано, что греко-латинские квадраты можно построить не для любых размерностей: m не может быть равно 2 или 6 [2].

Дальнейшие обобщения приводят к «гипер-греко-латинским квадратам», допускающим наличие (m +1)факторов.

Стремление уменьшить число опытов привело к появлению специальных неполных латинских квадратов, получивших название «квадраты Юдена» по имени предложившего их ученого. По существу это латинские квадраты, в которых отсутствует несколько столбцов (или строк).

Исключать столбцы (строки) можно лишь с соблюдением определенных правил, в суть которых вдаваться не будем, а только приведем два примера таких планов, насчитывающих 7 ×3 и 7 ×4 опытов (рис. 5.4, a и б соответственно).

Рис. 5.4. Примеры квадратов Юдена 7 ×3 (а) и 7 ×4 (б)

73

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выбор содержащегося в настоящем пособии материала продиктован учебными планами и рабочими программами магистратуры по направлению «Автоматизация технологических процессов и производств». В отсутствие ограничений, обусловленных учебным процессом, любой из разделов пособия мог быть с пользой расширен. Однако стоит специально отметить некоторые вопросы, которые заслуживают изучения, но в пособии только кратко затронуты или не упомянуты вообще по причине этих ограничений.

Так, более подробно могли бы быть рассмотрены вопросы проверки статистических гипотез применительно к планированию эксперимента. Больше внимания можно было уделить оптимальным планам. Специального рассмотрения достойна почти не затронутая в пособии тема планирования экспериментов в производственных условиях, в частности, изложенный в книге [4] метод эволюционного планирования.

Проблемы планирования экспериментов на основе латинских квадратов, представленные в пособии в весьма сжатой форме, также заслуживают более полного анализа.

Все эти вопросы доступны для самостоятельного изучения при помощи имеющейся литературы и с использованием на начальном этапе предлагаемого пособия.

74

Библиографический список

1. ГОСТ 24026−80. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. − М.: Изд-во стандартов, 1991. − 18 с.

2.Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы планирования эксперимента // Н. Джонсон, Ф. Лион − М.: Мир, 1981. − 516 с.

3.Красовский, Г. И. Планирование эксперимента// Г. И. Красовский,

Г. Ф. Филаретов − Минск: Изд-во БГУ, 1982.− 302 с.

4. Горский, В. Г. Планирование промышленных экспериментов // В. Г. Горский, Ю. П. Адлер – М.: Металлургия, 1974. – 264 с.

75

Для каждого числа в поле таблицы приведены только цифры после десятичной запятой. Так, число в верхнем левом углу в действительности ра вно 0,9985, а в нижнем правом – 0,0266.

1Более подробные таблицы имеются, например, в [3].

76

Таблица А.2. Значения tν ,α

77

Таблица А.3. Значения Fν1,ν2 ,α при α = 0,05

78

Учебное издание

Смирнов Игорь Николаевич

Планирование эксперимента

Издательский редактор Т. Н. Козлова

Учебное электронное издание сетевого распространения

Системные требования:

Электронное устройство с программным обеспечением для воспроизведения файлов формата PDF

Режим доступа: http://publish.sutd.ru/tp_get_file.php?id=201776, по паролю

– Загл. с экрана.

Дата подписания к использованию 01.03.2017 г. Рег. № 76/17

ФГБОУВО «СПбГУПТД» Юридический и почтовый адрес:

191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18 http://sutd.ru

79