Планирование эксперимента. Учебное пособие

сти, с которой требуется определить координаты и величину максимума.

x2

x1

Рис. 4.1. К методам градиента и наискорейшего подъема

Трудности поиска становятся особенно ощутимыми, когда поверхность отклика имеет характер вытянутых «гребней»1. На рис. 4.2, а показано, как в этом случае градиент может многократно менять направление, затягивая процедуру поиска максимума (он обозначен звездочкой). Начало поиска указано стрелкой. Дополнительные проблемы возникают, когда гребни сильно изогнуты (рис. 4.2, б) или функция отклика не унимодальна (имеет локальные максимумы).

При большом числе факторов точное соблюдение процедур градиентных методов становится малоэффективным на фоне возрастающих трудностей и заменяется схемами поиска в направлениях, лишь примерно совпадающих с градиентом.

Существует и еще одна причина для отказа от точного следования направлениям градиента. Это влияние на градиент единиц измерения факторов. Если факторы имеют одинаковый физический смысл (как, скажем,

1 Когда речь идет о поиске минимума, вместо «гребней» говорят «овраги».

62

Рис. 4.2. Траектория поиска при наличии гребня (а); изогнутые гребни (б)

в примере 2.8), то выбор единиц их измерения на направлении вектора градиента не сказывается, влияя лишь на его модуль. Однако для различных по физическому смыслу факторов возможен независимый выбор единиц, в результате чего соотношения между числовыми значениями факторов изменяются, что приводит и к произвольному по существу изменению направления градиента в широком диапазоне. Переход к безразмерным нормализованным факторам не избавляет от этого явления, так как допускает произвольный выбор интервалов варьирования.

§ 4.3. Последовательный симплекс-метод

Последовательный симплекс-метод (ПСМ) использует симплекс-планы,

описанные в § 2.6.

Сначала строится правильный симплекс, вершины которого предположительно лежат близко к максимуму. В этих вершинах экспериментально определяются значения отклика. На основе первого строится второй симплекс, сохраняющий все вершины первого, кроме одной − “наихудшей”, для которой отклик оказался наименьшим. Вместо нее используется точка, симметрично расположенная относительно наихудшей, т. е. являющаяся ее зеркальным отражением в грани, образованной остальными точками симплекса. В этой точке вновь экспериментально определяется отклик, и среди вершин второго симплекса снова находится наихудшая. Далее процесс повторяется, в результате чего симплексы постепенно перемещаются в пространстве факторов в сторону максимума. При анализе процедуры поиска вершины симплекса целесообразно нумеровать.

На рис. 4.3 показан пример поиска, когда наихудшими оказываются по-

63

следовательно точки 1, 3, 2, 4, 5. Симплексы показаны утолщенными линиями.

x2

7

5

6

2

4

1 3

x1

Рис. 4.3. Часть возможной картины поиска ПСМ

Разумеется, геометрические построения могут быть заменены алгебраическими выкладками, которые становятся необходимыми при числе факторов, большем трех.

где n, как обычно, число факторов, j − номер некоторой точки изменяемого симплекса (не степень!), M − множество всех их номеров, а s − номер удаляемой (наихудшей) точки.

Например, координата x1нов точки 4 на рис. 4.3, вводимой вместо точки 1, имеет значение

x1нов = 22 (x11 + x12 + x13 )− 2 +2 2 x11.

Пусть x11 =1, x12 = 2, x13 = 3, тогда x14 = 4 .

Кроме монотонного перемещения симплексов могут возникать и иные типы их поведения. На рис. 4.4, а показано «зацикливание», когда наихудшие

64

точки идут в последовательности 1 – 3 – 2 – 6 – 2 – 6 – 2 – 6 …, т. е. после некоторого количества шагов поиска начинают чередоваться. Вследствие этого процедура поиска обрывается. Для прекращения зацикливания бывает достаточно заменить наихудшую точку в симплексе следующей по уровню отклика. Может помочь изменение размера симплекса.

Рис. 4.4, б иллюстрирует «вращение» симплекса вокруг одной из вершин. Номера относятся к позициям симплексов. После перемещения симплекса в сторону максимума (как и раньше, он обозначен жирной точкой) из положения 1 в 2 далее он последовательно проходит позиции 3, 4, 5, 6, 7 и снова 2, 3, …

Рис.4.4. Типы поведения симплексов: а – «зацикливание», б – «вращение»

Такая картина обычно свидетельствует о близости симплексов к максимуму и может служить поводом для остановки поиска. В целях улучшения точности при обнаружении вращения может быть уменьшен размер симплекса.

Рассмотрим пример из области металлообработки [4].

▲Пример 4.1. При выборе оптимального режима сверления варьировались два фактора: x1 – число оборотов сверла в минуту и x2 – подача в милли-

метрах на один оборот. В качестве отклика рассматривалась стойкость сверла y – время работы в минутах без необходимости замены. Существуют технологические ограничения: число оборотов не более 8200 и подача не более 0,006.

65

В начале поиска были выбраны следующие базовые уровни и шаги варьирования факторов

x10 = 3050, x20 = 0,0036, ∆x1 =1000, ∆x2 = 0,0006 .

В дальнейшем наряду с естественными использованы кодированные факторы x1, x2 , связанные формулами прямого и обратного преобразований1

первая из которых повторяет (1.3).

Исходный симплекс выбран как план 1 из табл. 2.9. Координаты его вершин 1, 2, 3, приведены в табл. 4.1, в которой отражены и результаты последующего поиска. В таблице указаны как кодированные, так и естественные значения факторов, а также полученные в каждом опыте значения стойкости y (некоторые числа округлены).

Сравнение результатов первых трех опытов показывает, что наихудшие результаты дает опыт (точка) 1. Отбрасывая эту точку и пересчитывая значения факторов по формуле (4.1)2 при n = 2 , находим координаты точки 4, приведенные в табл. 4.1. Новый симплекс образован вершинами 2, 3, 4.

Таблица 4.1. Результаты поиска

После проведения опыта в точке 4 выясняется, что наихудшей теперь является вершина 2. Отраженной по отношению к ней становится вершина 5, а

1Знаки «~» над символами кодированных факторов, которые обычно опускались, здесь, понятно, нужно сохранить.

2 Формулу можно применять как к естественным, так и к кодированным значениям факторов, используя для контроля формулы (4.2).

66

новый симплекс имеет вершины 3, 4, 5.

Опыт в последней точке 5 свидетельствует, что она теперь наихудшая, а поиск отраженной точки приводит в уже рассмотренную вершину 2. Поиск зацикливается. Попытка заменить точку 5 точкой 4 – следующей по уровню y –

возвращает поиск в точку 1, что снова означает зацикливание. Возможно, это свидетельствует о близости этих точек к искомому максимуму.

Однако дополнительная проверка не помешает. Найдем отраженную точку для вершины 3 последнего симплекса, оставшейся пока не проверенной. Это точка 6, для которой опыт дает y = 26,7. Обнаруживается небольшое улучше-

ние. Продолжим поиск. Последний симплекс образован вершинами 2, 4, 6, из которых 2 – наихудшая. Ее отражением является точка 7, а поставленный в ней опыт дает: y = 62,0! Это уже серьезный успех. В новый симплекс входят вер-

шины 4, 6, 7. Наихудшая – 4. Еще один шаг поиска дает точку 8. Можно было бы поискать и дальше, но отражение точки 6 выведет процесс за допустимый предел по числу оборотов сверла, отражение точки 8 приведет к зацикливанию, а точки 7 – к уменьшению отклика (в таблице не показано). Таким образом, наилучшим режимом можно считать число оборотов 7050 и подачу 0,004.

На рис. 4.5 изображен весь процесс поиска на плоскости естественных значений факторов.

67

ГЛАВА 5. ПЛАНЫ НА ОСНОВЕ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

§ 5.1. Латинские квадраты

Планы на основе латинских квадратов оказываются полезными при наличии качественных факторов, когда необходимо их варьировать на нескольких уровнях. Главными целями эксперимента при этом обычно является выявление значимых факторов, исключение влияния посторонних воздействий, а также поиск экстремума отклика.

Латинский квадрат порядка m – это таблица из m строк и m столбцов (квадратная), в которой размещены m различных символов таким образом, что любой из них встречается лишь один раз в каждой строке и в каждом столбце. Пример квадрата порядка 4 приведен на рис. 5.1. Цифрами обозначены строки и столбцы, а символы представлены буквами A, B, C, D. При составлении этого квадрата использован прием, согласно которому каждая последующая строка получается сдвигом символов на одну позицию по отношению к предыдущей. Перестановка строк или столбцов некоторого латинского квадрата тоже приводит к латинскому квадрату. Число различных латинских квадратов ограничено, но стремительно растет с увеличением их порядка1.

Рис. 5.1. Латинский квадрат порядка 4

Первое серьезное исследование латинских квадратов провел еще Л. Эйлер. В качестве символов он использовал латинские буквы, что и породило название квадратов. Латинские квадраты находят применение в статистике, криптографии и многих других областях. Применять латинские квадраты в планировании эксперимента предложил Р. Фишер, занимаясь опытами в обл а- сти сельского хозяйства. Согласно его методике цифры по сторонам квадрата означали положение опытного поля – делянки – в двумерной системе координат (первые два фактора). Третий, основной фактор, значения которого записы-

1 При m = 3 их 12, а при m = 5 уже 151 280. В головоломке «судоку» применяются квадраты порядка 9. Число их вариантов больше 1027. Есть из чего выбрать.

68

вались в клетках квадрата, представлял собой способ обработки, сорт семян и т. п1.

Такая схема позволяла снизить нежелательное воздействие колебаний плодородия опытных полей на изучаемое влияние основного фактора. Планы типа латинских квадратов вскоре нашли применение и в других областях, в частности, в промышленности. Во многих задачах два, а то и все три фактора стали представлять самостоятельный интерес, а не только служить «фоном» для исследования роли основного фактора. Рассмотрим примеры.

▲Пример 5.1. Требовалось выбрать одну из пяти химических формул для приготовления взрывчатого вещества максимальной мощности; обозначим их A, B, C, D, E. Это основной фактор, притом качественный.

Желательно, чтобы на выбор не влияли условия приготовления вещества: тип оборудования и вид сырья. Для этого эксперимент проводили на пяти типах оборудования при пяти видах сырья (тоже качественные факторы). План эксперимента для латинского квадрата 5-го порядка приведен в табл. 5.1. Строки отвечают разным типам оборудования (пронумерованы числами от 1 до 5), а столбцы – видам сырья (пронумерованы так же).

Обозначения формул проставлены в клетках таблицы, где приведены и значения отклика – полученные в опытах мощности (в условных единицах).

Таблица 5.1. К примеру 5.1

Вычисляя среднее значение отклика по всем опытам, где используется формула A, найдем: 28,6. Аналогично: B – 20,2; С – 22,4; D – 29,8; E – 26,0.

Наилучший результат обнаруживает формула D.

Этот вывод следует рассматривать как предварительный и провести более основательную проверку на основе анализа дисперсий. Соответствующие процедуры хорошо отработаны, но здесь они не рассматриваются.▼

▲ Пример 5.2. В состав генератора переменного тока входит статор, несущий обмотку с возможным числом витков 145, 150, 155 и 160 витков и ротор с возможным числом листов в пакете сердечника 230, 240, 250 и 260. Это два количественных фактора с четырьмя уровнями каждый. Третий, качественный фактор – равномерность изоляционного покрытия листов – определяется визуально и имеет четыре уровня A, B, C и D от наилучшей до наихудшей равно-

1 До сих пор можно встретить «сельскохозяйственные» термины (например, «делянка») в литературе по планированию экспериментов, не имеющих отношения к агротехнике.

69

мерности. В качестве отклика рассматривалось выходное напряжениегенератора. Целью эксперимента являлось определение факторов, оказывающих наибольшее влияние на напряжение, и выбор уровней факторов, обеспечиваю-

щих его максимальную величину.

План эксперимента и результаты измерений отклика показаны в табл. 5.2. Строки соответствуют разным числам листов пакета, а столбцы – числам витков обмотки. В клетках таблицы указаны уровни равномерности покрытия и там же – измеренные напряжения в отклонениях от значения 300 В.

Вычислены суммы напряжений по строкам, по столбцам и по уровням фактора «равномерность покрытия». По существу, это средние арифметические, умноженные на общее для них число слагаемых 4.

Судя по этим суммам, факторы «число листов» и «равномерность покрытия» предположительно можно считать незначимыми в используемых интервалах значений. Значимым, по-видимому, является фактор «число витков». Максимум напряжения обеспечивает сочетание «250 листов и 155 витков».

Эти выводы также можно проверить с помощью не рассматриваемых здесь статистических процедур, которыми обычно и сопровождают обработку эксперимента.▼

Эксперименты на основе латинских квадратов позволяют строить модели

k – номера уровня третьего фактора. Нумерация вместо символов введена для него с целью единообразия записи. Скажем, в примере 5.1 можно вместо сим-

волов A, B, C, D, E взять k = 1, 2, 3, 4, 5.

В формуле (5.1) возможны не все сочетания индексов, а только те, что диктуются выбором латинского квадрата. Так, в том же примере при i = 1, j = 3 третий фактор обязательно берется на уровне С, т. е. k = 3. Считается, что величины с индексами подчинены ограничениям

70