Планирование эксперимента. Учебное пособие

При малом числе факторов избыточность ПФЭ 2n невелика и может быть даже полезной, сглаживая влияние помех, как это следует из формулы (1.25) (дисперсия оценок уменьшается обратно пропорционально числу опытов N) . Но с увеличением количества факторов избыточность стремительно нарастает. Например, при n = 10 число опытов в ПФЭ 2n превосходит минимальное почти

в100 раз, что делает такой эксперимент вряд ли реализуемым на практике. Возникает вопрос, нельзя ли уменьшить избыточность ПФЭ 2n, сохранив

его полезные свойства. Положительный ответ на него в развернутой форме предлагается в § 2.5. А пока обсудим некоторые дополнительные перспективы использования ПФЭ 2n.

§2.4. Учет взаимодействий

Вэтом параграфе отступим на время от представления функции отклика в виде (1.8), присущем линейным моделям, и обсудим возможности использова-

ния ПФЭ для получения зависимости (1.9). В принципе ПФЭ 2n позволяет оце-

нить коэффициенты при 2n базисных функциях, что следует из условия (1.21). Прежде всего, это (n+1) коэффициентов при базисных функциях линейной модели (2.1). Какие еще базисные функции могут быть учтены, можно выяснить с помощью условия линейной независимости столбцов матрицы F. Поскольку в

ПФЭ 2n факторы принимают значения только ±1, для линейной независимости необходимо отсутствие столбцов, совпадающих или отличающихся друг от друга только знаком (далее для краткости будем говорить просто «совпадающих»). Нетрудно видеть, что при сохранении в (1.9) базисных функций, образованных квадратами факторов, они дадут в матрице F столбцы, составленные только из единиц, т. е. совпадающие со столбцами коэффициентов перед базисной функцией-константой, представленной фиктивным фактором. Таким образом, квадраты факторов не могут входить в состав базисных функций. В то же время легко убедиться, что в их числе могут быть любые комбинации произведений факторов.

В результате, с помощью ПФЭ 2n возможно получение моделей вида

Произведения факторов по два называют парными взаимодействиями, по три – тройными взаимодействиями и т. д. вплоть до взаимодействия факторов максимального n-го порядка.

При учете всех взаимодействий план ПФЭ 2n становится насыщенным – избыточности нет. В самом деле, число искомых коэффициентов при этом составляет один – при функции-константе, n − при первых степенях факторов,

31

Cn2 − при парных взаимодействиях, Cn3 − при тройных взаимодействиях и т. д. до Cnn =1 при взаимодействии n-го порядка1. Общее число искомых коэффици-

ентов равно 1+ n +Cn2 +Cn3 +... +1 = 2n ,что совпадает с числом опытов в ПФЭ 2n . Пример насыщенного плана показан в табл. 2.5.

Таблица 2.5. Насыщенный план ПФЭ 23

При числе факторов более трех насыщенные планы ПФЭ 2n применяются редко. Обычно оставляют немного наиболее существенных взаимодействий, исходя из физических соображений.

▲Пример 2.2. Исследовалось влияние факторов, характеризующих процесс ткачества, на гигиенические свойства ткани (коэффициент воздухопроницаемости y, м/мин). Учитывались два фактора: x1 – линейная плотность уточной пряжи в пределах от 200 до 250 текс и x2 – отношение плотности по утку к максимально возможной для применявшегося вида базового переплетения. Отношение рассматривалось в пределах от 0,55 до 0,7. Предполагалось, что в составе функции отклика следует учесть парное взаимодействие x1x2 . В табл. 2.6.

приведены данные ПФЭ 22 с использованием нормализованных факторов.

Таблица 2.6. К примеру 2.2

Видно, что план ортогональный, насыщенный. Согласно (1.27), (1.28) найдем

b0 = 36,275; b1 = −1,925; b2 = −3,725; b12 =1,075.

32

Оценка функции отклика получится в виде

yˆ = 36,275 −1,925x1 −3,725x2 +1,075x1x2 .▼

§ 2.5. Дробный факторный эксперимент

Дробный факторный эксперимент содержит число опытов, в 2k раз меньшее, чем ПФЭ, где k − натуральное число (в 2 раза при k=1, в 4 при k=2 и т. д.). Для краткости применяют обозначение ДФЭ 2n-k (вычитание здесь не выполняют, а только обозначают), в котором отражено как количество факторов n, так и значение k – так называемая степень дробности ДФЭ. Планы ДФЭ принято называть репликами с указанием их дробности. Так ДФЭ 23-1 – это 1/2-реплика (или полуреплика) от ПФЭ 23, ДФЭ 26-3 – 1/8-реплика от ПФЭ 26 и т. п.

Реплики, обладающие свойствами (2.7) – (2.9), называют регулярными. Поскольку именно эти свойства необходимо обеспечивать для сохранения присущих ПФЭ простоты и точности результатов, можно констатировать, что планирование ДФЭ обычно означает построение регулярных дробных реплик. Для этого существует простая процедура, выполняемая в два этапа.

Этап 1. Из общего числа факторов х1, х2, ..., хn выбирается m = n – k ведущих. Можно считать, что это первые m факторов, поскольку их нумерация произвольна. Для ведущих факторов строится план ПФЭ 2m. Очевидно, он насчитывает в 2k раз меньше опытов, нежели ПФЭ 2n.

Этап 2. Без увеличения числа опытов план дополняется столбцами значений оставшихся k факторов, каждому из которых присваиваются значения согласно так называемым генерирующим соотношениям − равенствам, в левой части каждого из которых стоит один из оставшихся факторов, а в правой −

произведение двух или более ведущих факторов, взятое со знаком “+” или “−”. Существует известный произвол в назначении степени дробности ДФЭ, а также в выборе генерирующих соотношений. В то же время имеются и ограни-

чения на этот счет.

Степень дробности должна быть такова, чтобы не нарушалось условие (1.21). Поскольку в ДФЭ N = 2n-k и s = n , это условие переписывается в виде

Что же касается генерирующих соотношений, то в результате их выбора в плане эксперимента не должно быть совпадающих столбцов. Как уже отмечалось, при варьировании факторов на двух уровнях и применении их нормализованных значений это требование эквивалентно условию линейной независимости.

В планах ДФЭ, составленных согласно процедуре с этапами 1, 2 для линейных моделей, совпадающие столбцы отсутствуют всегда.

Рассмотрим два примера.

33

▲Пример 2.3. Построим план ДФЭ 23-1 для факторов х0, х1, х2, х3 (в их список включен и фиктивный фактор). Выберем в качестве ведущих факторы х1 и х2, а генерирующее соотношение запишем в виде х3 = х1х2. План эксперимента представлен в табл. 2.6.

Таблица 2.6. План ДФЭ 23-1

Результаты действий на этапе 2 обведены рамкой. Условие (2.17) выполнено, совпадающих столбцов нет. Заметим, что при выборе генерирующего соотношения х3 = –х1х2 в последнем столбце появились бы значения, указанные в скобках. Такой план тоже допусти́м.▼

▲Пример 2.4. Построим план ДФЭ для набора факторов х0, х1, х2, х3, х4, х5. Из условия (2.17) выберем максимальное допустимое значение k. Это k = 2, т. е. возможно построение 1/4-реплики. В правых частях генерирующих соотношений допустимо использование произведений х1х2, х1х3, х2х3, х1х2х3 и таких же произведений со знаком “−”. Выберем генерирующие соотношения

х4 = х1х2, х5 = х2х3.

План эксперимента представлен в табл. 2.7. Таблица 2.7. План ДФЭ 25-2

Результаты этапа 2 снова обведены рамкой. Для ПФЭ потребовалось бы 32 опыта.▲

В итоге изложенной выше двухэтапной процедуры всегда получаются регулярные дробные реплики. Опуская доказательство, заметим, что в этом нетрудно убедиться на приведенных выше или на подобных им примерах. Благо-

даря регулярности сохраняется структура матриц FTF и (FTF)−1 такая же, как в

34

ПФЭ, а для оценок коэффициентов регрессии можно использовать формулы

(2.14), (2.15), положив N = 2n-k.

Дробный факторный эксперимент также допускает построение моделей, учитывающих взаимодействия. Однако при этом становится необходимым этап 3, предусматривающий проверку отсутствия в матрице F плана совпадающих столбцов.

Построение плана начинается с составления списка существенных переменных. Так называют факторы и взаимодействия, которые целесообразно учесть в модели, исходя из дополнительных соображений физического или иного характера1. Отметим, что это ответственный выбор, от которого обычно зависит работоспособность модели, обнаруживающаяся на этапах ее проверки и использования.

Далее выбирается степень дробности, ведущие факторы и генерирующие соотношения. После этого составляется матрица спектра плана, учитывающая взаимодействия, а затем осуществляется этап 3. Если в матрице обнаруживаются совпадающие столбцы, возникает необходимость изменения плана: выбора других генерирующих соотношений, или, возможно, уменьшения степени

Совпадающих столбцов в таблице (и в матрице F плана) нет. План пригоден для использования. Такой же вывод последует, если взять генерирующее

соотношение x4 = x1x3 . А вот выбор x4 = x1x2 приведет к недопустимому совпа-

дению столбцов фактора x4 и взаимодействия x1x2 , а также x1 и x2 x4 .▼ ▲Пример 2.6. Допустим, в списке существенных переменных произошло

1 Наверное, лучшее было бы сказать «существенные базисные функции».

35

незначительное на первый взгляд изменение по сравнению с предыдущим примером: замена x2 x4 на x3 x4 . Выберем те же ведущие факторы и то же генериру-

ющее соотношение, что в том примере. Получим план, показанный втабл. 2.9.

Таблица 2.9. К примеру 2.6

следует вывод о непригодности плана. Можно убедиться, что вообще не существует генерирующего соотношения, позволяющего получить работоспособный

план. Нужный результат даст только отказ от плана ДФЭ 24-1 и переход к ПФЭ

24▼.

Существенные переменных оказывают решающее влияние на выбор генерирующих соотношений и саму возможность построения приемлемого плана. Это видно и из приведенных примеров. К сожалению, не существует систематических приемов, позволяющих выбрать нужные генерирующие соотношения или убедиться в их отсутствии. Возможны только отдельные рекомендации. Например, не допусти́м выбор соотношений, в правой части которых стоит ка- кое-либо взаимодействие из списка: тогда появление одинаковых столбцов неизбежно. В основном приходится полагаться на перебор вариантов.

Впрочем, существуют методы проверки пригодности генерирующих соотношений, позволяющие, по крайней мере, избежать построения и анализа таблиц или матриц F плана. Алгоритм проверки предусматривает следующие действия.

1. Запись определяющих контрастов (ОК). ОК это равенство, в левой части которого стоит 1, а в правой – произведение левой и правой частей генерирующего соотношения. Для каждого плана ДФЭ количество ОК равно числу генерирующих соотношений. Так, в примерах 2.4 и 2.5 единственный ОК имеет вид 1 = x1x2 x3 x4 .

2.Получение обобщенного определяющего контраста (ООК). ООК образуется путем почленного перемножения всех ОК с учетом правила: четная степень любого фактора равна 1, а нечетная – самому фактору. Если степень дробности k = 1, то ОК всего один, и ООК с ним совпадает, как это и получается в приведенных примерах.

3.Выяснение системы смешивания. Имеется в виду определение, какие

36

из существенных переменных смешаны между собой, т. е. им соответствуют одинаковые столбцы матрицы F плана. Для этого ООК поочередно умножается на каждую переменную из списка существенных с учетом изложенного выше правила. Получается группа равенств, в левых и правых частях которых стоят произведения некоторых факторов. Если оба произведения определяют какието существенные переменные, то они смешаны между собой. Наличие хотя бы одного такого равенства означает непригодность плана.

В табл. 2.10 приведены результаты таких действий применительно к данным примеров 2.5 и 2.6. Смешанные переменные подчеркнуты. Получающиеся выводы согласуются с теми, что были сделаны ранее на основе анализа матриц.

Таблица 2.10. Системы смешивания

Обратимся теперь к свойствам планов ДФЭ. Планы ДФЭ относятся к категории ортогональных, и потому для расчетов можно пользоваться формулами

(1.27) – (1.28), положив N = 2n−k . По отношению к линейным моделям он и обладают свойствами ротатабельности, A- и E- оптимальности, а в случае насыщенности еще и D- и G-оптимальности.

§ 2.6. Однофакторный эксперимент и симплекс-планы

Разумеется, помимо ПФЭ и ДФЭ существуют и другие планы, возмо ж- но, не обладающие столь полезным набором свойств, но заслуживающие упоминания, а в ряде случаев и применения. Наиболее известны два из них.

Однофакторный эксперимент. Его название связано не с количеством

37

факторов (оно может быть любым), а с тем, что в каждом опыте значение только одного фактора отличается от основного уровня. Иначе говоря, факторы варьируются поочередно. План такого эксперимента для трех факторов представлен в табл. 2.8.

Таблица 2.8. План однофакторного эксперимента

При изображении на плоскости двух факторов х1, х2 точки плана однофакторного эксперимента располагаются на серединах сторон квадрата, ограничивающего область варьирования факторов (рис. 2.3, а).

Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация плана однофакторного эксперимента (а) и симплекс-планов (б)

План однофакторного эксперимента насчитывает 2n опытов. В отличие от ПФЭ и ДФЭ в нем используются 3 уровня варьирования факторов, один из которых базовый. План обладает свойствами симметрии, ортогональности и ротатабельности. В то же время он весьма далек от оптимальности в смысле других перечисленных выше критериев и потому применяется редко, хотя до разработки современной теории планирования эксперимента имел широкое распространение. По этой причине такой план иногда именуют “классическим”.

На основании однофакторного эксперимента оценки коэффициентов регрессии строятся по формулам (2.14) – (2.15) при N = 2n .

Насыщенные планы первого порядка. Так называются планы, содержащие минимальное допустимое с точки зрения условия (1.21) количество опытов

38

N = n + 1 и при этом удовлетворяющие требованию линейной независимости столбцов матрицы F.

Совокупность (n + 1) точек насыщенного плана задает в n-мерном факторном пространстве вершины фигуры, именуемой n-мерным симплексом1, поэтому такие планы называют еще симплекс-планами. Симплекс представляет собой простейшую фигуру в n-мерном евклидовом пространстве, вершины которой не лежат в пространстве меньшей размерности: одномерный симплекс –

это отрезок прямой, двумерный − треугольник, трехмерный − тетраэдр,

n-мерный − выпуклый многогранник с (n + 1) вершиной.

Обычно накладывается еще одно ограничение на значения выбираемых нормализованных факторов

Это означает, что вершины симплекса располагаются внутри или на границах квадрата (в многомерном случае – гиперкуба), ограничивающего область варьирования (говорят: «симплексы, вписанные в гиперкуб»). Симплекс (и план) называется правильным, если расстояния l между двумя любыми его вершинами X f , Xg одинаковы. Это условие можно записать с применением скаляр-

ного произведения

(X f −Xg )T (X f −Xg )= l2 ( f , g =1,2,...,n +1; f ≠ g) .

Симплекс (и план) называется центрированным, если для него выполняется условие (свойство симметрии), аналогичное (2.7)

j=1

Известно много способов построения различных симплекс-планов. Два примера планов для двух факторов представлены в табл. 2.9 и на рис. 2.3, б (изображены треугольниками). План 1 – правильный, но не центрированный. План 2 – правильный, центрированный, меньшего размера. Как и в однофакторном эксперименте, здесь 3 уровня варьирования факторов.

1 От лат. simplex − простой. Термин “симплекс” применяется и в случаях, не имеющих отношения к планированию эксперимента (например, симплекс-метод в линейном программировании).

39

Рассмотрим еще некоторые способы задания вершин симплексов, предложенные разными авторами и позволяющие строить правильные вписанные симплексы разных типов и размерности. Для их описания будем использовать матрицы планирования (1.11), добавляя к их обозначениям нижние индексы и опуская столбец фиктивного фактора.

Первый тип – симплекс-планы в целочисленной решетке, т. е. такие, у которых координаты всех вершин принимают значения ±1. Их удается построить, только если число вершин кратно 4: N = n +1 = 4r , где r –натуральное

число. Если к тому же N = 2q , где q – тоже натуральное число, то такой план

представляет собой регулярную дробную реплику ПФЭ 2n при степени дробности k = n −q . Ее можно построить по правилам, изложенным в § 2.5 для пла-

нов ДФЭ.

▲Пример 2.7. Пусть n = 3. Тогда N = 4, r =1, q = 2.Условия построения дробной реплики соблюдены. Воспользуемся табл. 2.6 из § 2.5 и найдем

++ +

−+ − P1 = + − −

−− +

Вгеометрическом смысле это вершины правильного тетраэдра, вписанного в куб. На рис. 2.4 вершины показаны малыми кружками, «видимые» ребра тетраэдра – утолщенными линиями, а «невидимые» – штрихами.

Рис. 2.4. Тетраэдр, вписанный в куб

▼

40