Планирование эксперимента. Учебное пособие

ГЛАВА 2. ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 2.1. Области применения и особенности планов первого порядка

Планами первого порядка согласно [1] называют планы, позволяющие найти оценки коэффициентов регрессии для линейных моделей вида (1.7)1. Будем пользоваться и эквивалентной ей формой (1.8) с фиктивным фактором. Оценка функции отклика получится в виде

Для нахождения оценок каждый фактор (кроме фиктивного) варьируется по крайней мере на двух уровнях. Далее будем считать, что это нормализованные факторы (такое условие в § 1.1 предполагалось распространить почти на весь излагаемый в пособии материал), а область планирования задается минимальным и максимальным значениями каждого из них. Тогда уровни всех варьируемых факторов принадлежат замкнутому интервалу [−1, 1].

Базисные функции теперь совпадают с самими факторами, число базисных функций s становится равным числу факторов n, а значения базисных функций в отдельных опытах могут быть заменены значениями факторов

Система нормальных уравнений (1.16) приобретает следующий вид

1 Как позднее обнаружится, планы первого порядка позволяют получить и модели вида (1.9) без квадратичных членов (степень полинома при этом все равно выше первой). Это обстоятельство не противоречит приведенному определению. Вообще-то его следовало бы дополнить уточнением, что планы первого порядка строить модели с квадратичными членами не позволяют.

21

Информационная матрица Фишера записывается в форме

Еще одна матрица, входящая в уравнение (1.19), становится равной

Упрощения по сравнению с матрицами (1.17) и (1.18) очевидны. Однако вопросы выбора плана, обеспечивающего хорошую обусловленность FTF, в полной мере сохраняют свое значение. Прежде чем перейти к их рассмотрению в общем виде, попробуем убедиться на примере, что обсуждаемая проблема отнюдь не является только теоретической и легко возникает при непродуманном подходе к плану.

§ 2.2. Пример неудачного плана эксперимента

Предположим, что функция отклика зависит от двух (n = 2) факторов и имеет вид

т. е. β0 = 20, β1 = 10, β2 = 1.

Разумеется, такие данные не могут быть известны до эксперимента (иначе он не был бы нужен). Здесь они приводятся только для сравнения с результатами гипотетических экспериментов, рассматриваемых ниже.

22

Пусть далее известна область планирования, определяемая значениями1

x1 min = –1; x1 max = 1;

x2 min = –0,3; x2 max = 2,31.

Такого рода сведения уже вполне реальны и могут служить базой для выбора плана эксперимента.

Определим теперь основные уровни согласно формуле (1.1)

x10 = 0, x20 =1,005

и составим план эксперимента, включающего в себя 3 точки (N = 3): на верхнем, основном и нижнем уровнях обоих факторов. Округляя значение x20 до 1 и полагая, как обычно, x0 = 1, получим матрицу F в виде

Условие (1.21) выполнено, а сама матрица на первый взгляд не вызывает подозрений. Однако ошибка уже сделана, и скоро это станет ясно2.

Составим информационную матрицу Фишера (2.4)

Ее определитель отличен от 0, но составляет малую величину 0,0001. Это дает повод для сомнений в правильности выбора плана, однако не более того, поскольку, как уже отмечалось на стр. 16, определитель вообще мало пригоден для оценки чувствительности решений.

Рассмотрим далее два варианта результатов эксперимента.

1.Отклики получены без ошибки.

2.В определении откликов имеется погрешность.

Вариант 1. Согласно (2.6) при выбранных уровнях факторов получим

1В этом параграфе рассматриваются естественные значения факторов, что делает рассуждения нагляднее. В то же время физический смысл факторов и единицы их измерения не конкретизированы.

2На всякий случай, заметим, что округление x20 причиной ошибки отнюдь неявляется.

23

вило, представляет собой непростую задачу, и желательно его избежать1. Излагаемые в последующих параграфах планы эксперимента это позволяют, гарантируя хорошую обусловленность информационной матрицы.

Врассматриваемом простом случае двух факторов можно дать геометрическое истолкование происходящих явлений. На рис. 2.1, а показана плоскость

факторов x1, x2 и положение на ней точек плана.

Они располагаются в обозначенных малыми кружками вершинах сильно вытянутого треугольника (на рисунке он вынужденно изображен более широким, чем на самом деле).

Вследствие этого точки, изображающие значения откликов в системе ко-

ординат (x1, x2, y) и показанные звездочками на рис. 2.1, б, оказываются расположенными также вблизи некоторой прямой линии.

Вгеометрическом смысле вычисление оценок b0, b1, b2 эквивалентно определению параметров плоскости, проходящей через эти точки. При их расположении вблизи прямой даже малые изменения под влиянием помех координат y1, y2, y3 приводят к резкому изменению положения плоскости относительно

поверхности отклика (которая также является плоскостью с параметрами β0, β1, β2). Это и находит отражение в неприемлемо большом разбросе оценок.

y1

а б

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация плана эксперимента:

а− на плоскости факторов, б − в системе координат x1, x2, y

1Конечно, применение компьютеров практически снимает вычислительные трудности, но от проблемы выбора подходящего плана не избавляет.

25

сматриваться. Соответствующий эксперимент сокращенно обозначают ПФЭ 2n . Будем далее пользоваться нормализованными факторами в соответствии с формулами (1.1) − (1.3), полагая, что уровни отвечают максимальному и ми-

нимальному значениям каждого фактора и равны соответственно +1 и (−1). Для упрощения обозначений «волну» над их символами будем опускать.

Если факторов два (n = 2), то существуют всего четыре различные комбинации их значений, и план эксперимента с учетом фиктивного фактора и в форме таблицы1 принимает следующий вид (табл.2.1).

Таблица 2.1. План эксперимента 22

Нетрудно видеть, что этому плану отвечают точки на рис. 2. 2, взятые в последовательности 2, 1, 3, 4.

План эксперимента для трех факторов насчитывает 23 = 8 опытов и может быть представлен табл. 2.2, в которой всюду опущен символ “1” и оставлен только знак (так будем поступать и дальше в случаях, когда это не мешает восприятию числовых данных).

Таблица 2.2. План эксперимента 23

Есть простое правило, позволяющее построить план для любого n, не рискуя пропустить или повторить дважды какую-либо комбинацию факторов: в первой строке (опыт 1) всем факторам приписывается значение +1, а затем фактор x1 меняет знак в каждом последующем опыте, фактор x2 меняет знак с частотой, меньшей в два раза, x3 − с частотой в четыре раза меньшей, чем x1 и т. д.

1 Описание планов в форме таблиц далее будет широко применяться, поскольку позволяет указывать полезные подробности: вид базисных функций, нумерацию факторов, значения откликов и т. п.

27

По существу, это правило использовано в табл. 1. 1 и 1. 2.

Матрица F, составленная из значений базисных функций, совпадающих теперь со значениями факторов, будет содержать те же элементы, что и таблица плана эксперимента. По этой причине выписывать ее не будем, но отметим присущие ей три свойства, которые можно доказать или проследить по табл. 2.1 и 2.2 или по любым таблицам такого типа, построенным при бо́льших значениях n.

1. Сумма значений каждого фактора по всем N = 2n опытам равна 0 (свойство симметрии); исключение составляет фиктивный фактор, для которого эта сумма равна N

Индекс суммирования j в этих выражениях означает номер опыта; элементы таблиц суммируются по столбцам.

2. Сумма квадратов значений каждого фактора, включая фиктивный, по всем опытам равна N (свойство нормировки)

j=1

3.Сумма попарных произведений различных факторов по всем опытам равна 0 (это свойство ортогональности, упоминавшееся в § 1.5)

j=1

При одинаковых факторах происходит возврат к свойству нормировки. Свойства нормировки и ортогональности (в особенности) приводят к

чрезвычайно простому виду информационной матрицы Фишера FTF . В самом

деле, из выражения (2.4) и формул (2.8) и (2.9) следует, что все элементы FTF , расположенные вне главной диагонали, обращаются в 0, а диагональные эле-

менты равны N. Иными словами, FTF представляет собой единичную матрицу I, умноженную на скалярный множитель N.

28

Такая матрица обладает числом обусловленности 1 (см. § 1.4), а потому снимаются проблемы чувствительности оценок к погрешностям в определении откликов.

Кроме того, без труда находится обратная матрица (FTF)−1 .

а вслед за тем удается упростить явное выражение для вектора оценок. Из

(1.20) и (2.11) следует

Это матричное выражение можно записать в скалярной форме подобно (1.28) для каждой оценки в отдельности (как говорят, план обеспечивает раздельное получение оценок)

▲Пример 2.1. Изучался фактический выход y некоторого продукта из ре-

актора периодического действия в процентах от максимально возможного в зависимости от следующих факторов, каждый из которых изменялся на двух уровнях.

1)x1 −скорость перемешивания: 200 и 400 об/мин мешалки;

2)x2 −концентрация одной из добавок: 1 и 2 %;

3)x3 −температура: 30 и 50 ºС.

29

В табл. 2.3 представлено 8 опытов с указанием нормализованных значений факторов и соответствующих откликов.

Таблица 2.3. Результаты эксперимента

Найдем оценки коэффициентов регрессии и оценку функции отклика в форме (2.1). По формулам (2.14), (2.15) получим (N = 8, n = 3)

b0 =86,675; b1 = −1,775 ; b2 =1,4 ; b3 = 2,725;

а согласно (2.1)

yˆ =86,675 −1,775x1 +1,4x2 + 2,725x3 .▼

Можно подытожить, что ПФЭ 2n обеспечивает наилучшую обусловленность информационной матрицы Фишера и к тому же избавляет от необходимости решения СНУ, предлагая его в готовой форме (2.14), (2.15). Существует и ряд других положительных свойств этого плана, о которых шла речь в конце главы 1.

Однако ПФЭ 2n присущ и существенный недостаток, заключающийся в его чрезмерной избыточности. Под избыточностью понимается превышение требуемого количества опытов над тем, что составляет минимальное допустимое значение N = n + 1 (получается из условия (1.21) при s = n ). Явление избыточности иллюстрируется табл. 2.4.

Таблица 2.4. Число опытов по плану ПФЭ 2n в сравнении

с минимальным

30