Планирование эксперимента. Учебное пособие

Существуют приемы построения планов в целочисленной решетке и

при N ≠ 2q .

Матрица планирования

где

pn = n +n1+2n −1

задает правильный вписанный нецентрированный симплекс-план. Несложными преобразованиями его можно превратить в центрированный.

Еще один вариант матрицы планирования имеет вид

План правильный центрированный.

В большинстве своем (в том числе и рассмотренные выше) симплекспланы обладают свойствами ортогональности и ротатабельности, но, как правило, не являются оптимальными. Правильные и центрированные планы особыми преимуществами не отличаются, но упрощают некоторые вычисления.

Напомним, что все рассмотренные до сих пор планы именуют планами первого порядка, имея в виду их основное назначение − построение моделей в форме многочленов первой степени. Завершая сравнение этих планов, можно констатировать, что благодаря своим свойствам и экономии числа опытов наибольшее распространение получили планы ДФЭ. Однако в любом случае

41

окончательный выбор плана зависит от опыта, интуиции, предпочтений исследователя и характера конкретной решаемой задачи.

§2.7. Реализация и обработка результатов эксперимента

Квопросам практической реализации выбранного плана эксперимента относятся в первую очередь задание центра плана, т. е. значений базовых уров-

ней xi0 и определение интервалов (шагов) варьирования ∆xi (см. формулы (1.1)

и (1.2)). Эти действия в значительной мере зависят от того, какие цели преследует построение регрессионной модели. Обычно ставится одна из двух целей.

Первая, фигурировавшая в предшествующем изложении, – это предсказание поведения объекта при изменении факторов. Такая цель может ставиться, например, при описании объекта как элемента системы управления.

Вторая цель, до сих пор не упоминавшаяся, это оптимальный выбор факторов, т. е. определение их значений, обеспечивающих максимум или минимум (это зависит от существа объекта) отклика. Вопросы оптимизации еще будут обсуждаться ниже в гл. 4.

Если преследуется первая цель, то центр плана целесообразно совместить с центром области значений факторов, для которой нужны результаты предсказания. Если – вторая, то центр плана лучше поместить в точку, где предполагается наличие экстремума отклика.

Выбор шагов варьирования факторов требует учета нескольких соображений. Во-первых, следует использовать представления об интенсивности по-

мехи e: чем сильнее ее влияние на отклик, тем больше следует выбирать ∆хi, чтобы выделить закономерности на фоне случайных воздействий.

Во-вторых, нужна определенная информация о степени отличия функции отклика от линейной. Чем эти отличия больше, тем меньше должны быть шаги варьирования.

В-третьих, необходимо принимать во внимание цель моделирования. Для оптимизации шаги варьирования при прочих равных условиях выбирают в несколько раз меньше, чем для предсказания.

До сих пор почти не обсуждался вопрос о возможном повторении опытов при одинаковых значениях факторов; краткое замечание об этом было сделано только в §1.1 в связи с понятием спектра плана. Между тем повторение опытов становится необходимым для осуществления некоторых процедур обработки результатов эксперимента, излагаемых ниже.

Таким образом, проблема повторения или, как говорят, дублирования опытов также входит в число вопросов практической реализации эксперимента. Часто применяют равномерное дублирование (что и предполагается далее), при котором каждый опыт повторяется одинаковое число раз. Если обозначить это число r, то эксперимент потребует всего L = rN опытов.

Эксперимент реализуют сериями, каждая из которых предусматривает

42

проведение N опытов спектра плана. Количество серий равно r . В рамках одной серии порядок проведения опытов часто делают случайным, используя таблицы случайных чисел или компьютерные программы их получения (такие действия называют рандомизацией). Это делается для того, чтобы снизить влияние возможных не учитываемых систематических воздействий и приблизиться

кидеализированной схеме рис. 1.1, б.

Врезультате эксперимента вместо фигурировавшего ранее столбца (1.11)

значений отклика y1, y2,..., yN, отвечающих разным сочетаниям факторов (т. е. разным точкам спектра плана), получится матрица вида

элемент которой y jl , стоящий в строке j и столбце l, является значением откли-

ка в точке j при l-м повторении (j = 1, 2,..., N; l = 1, 2,..., r). Она и дает материал для последующей обработки.

Используются некоторые из процедур обработки, применяемых в регрессионном анализе, с определенными упрощениями, возможными из-за специфики планов первого порядка. В основном это процедуры проверки гипотез. Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно свойств, полученных в результате эксперимента данных (выборки)1.

Критерием статистической гипотезы называют правило, позволяющее принять или отвергнуть гипотезу на основании выборки. При формулировках правил используют показатели (выражения, составленные по результатам эксперимента), именуемые статистиками.

Вследствие неизбежных случайных влияний при проверке гипотез возможны ошибочные решения. Решение, заключающееся в том, что отвергается правильная гипотеза, называют ошибкой первого рода. Вероятность α ошибки первого рода именуется уровнем значимости критерия. Решение, заключающееся в том, что принимается неверная гипотеза, называют ошибкой второго рода. Ее вероятность обозначают β .

Разумеется, желательно, чтобы критерий позволял по возможности снизить обе вероятности. Однако получение нужных здесь результатов связано с большими трудностями. Обычно идут таким путем: выбирают некоторое значение уровня значимости α , а затем находят критерий, по возможности снижающий β . На практике применяют значения α , близкие к нулю, но ему не

1 Правильнее было бы сказать «относительно свойств генеральной совокупности, которой принадлежит выборка». Понятие генеральной совокупности требует подробных пояснений, и потому ограничимся приведенным выше определением статистической гипотезы.

43

равные: 0,01; 0,05 (чаще всего); 0,1. Они позволяет сделать ошибки первого рода достаточно редкими и в то же время исключить бесполезную ситуацию, когда гипотеза обязательно принимается. В ходе проверок β обычно не вычис-

ляют.

Предварительные исследования обнаруживают критерии, наиболее подходящие для задач планирования эксперимента. Далее они изложены в «рецептурном» стиле без подробных пояснений. Дополнительные комментарии можно найти в работе [3].

Проверка однородности дисперсий помехи. Эта проверка должна под-

твердить или опровергнуть одно из предположений (гипотез), лежащих в основе регрессионных моделей: дисперсия помехи σе2 остается неизменной во всех

опытах (см. § 1.5). Проверка может быть проведена, только если число повторений опытов r не меньше 2. Проверка осуществляется по критерию Кочрена (W. Сochran) согласно следующей процедуре.

Сначала вычисляются средние значения y j по итогам дублирования

Из них выбирается максимальная величина S2max и строится статистика вида

j=1

Этот показатель сравнивается с Gν ,k ,α из таблиц распределения Кочрена

(приложение А, табл. А.1). Параметры ν,k являются двумя входами каждой

таблицы, называются степенями свободы числителя и знаменателя в (2.23) и в рассматриваемом случае имеют значения ν = r −1, k = N . Параметр α – это

уровень значимости критерия. Он имеет фиксированное значение для каждой таблицы. В табл. А.1 α = 0,05.

Если G >Gν,k ,α , то гипотеза о равенстве дисперсий помехи в опытах

должна быть отвергнута. Стоит повторить эксперимент, чтобы исключить возможные ошибки в действиях экспериментатора. Если постоянство дисперсии

44

снова не подтвердится, то последующие проверки по предлагаемой ниже схеме проводить нецелесообразно и следует применить более сложные способы обработки результатов.

Если G <Gν ,k ,α , то можно считать, что данные эксперимента не опровер-

гают гипотезу о равенстве (однородности) дисперсий помехи в разных опытах, и можно переходить к следующему этапу обработки результатов.

Оценка дисперсии помехи. Если гипотеза однородности подтверждается, то каждая из оценок (2.22) описывает одну и ту же величину, и в качестве

окончательной оценки Se2 для σе2 берут усредненное значение

Вычисление оценок коэффициентов регрессии. Эта процедура выполняет-

ся для планов, обладающих свойствами ортогональности и нормировки, по формулам (2.14), (2.15), в которые вносится единственная поправка, если опыты дублируются: вместо значений откликов y j в формулы подставляются их

средние y j согласно (2.21). В результате получается

Для ПФЭ N = 2n , для ДФЭ N = 2n−k .

Проверка значимости оценок коэффициентов регрессии. Целью проверки является выяснение, насколько существенно влияет тот или иной фактор на ве-

личину отклика, а ее идеей − сравнение оценки соответствующего коэффициента регрессии с ожидаемым разбросом (точнее, среднеквадратическим отклонением) этой оценки. Проверяемая гипотеза состоит в том, что фактор в действительности не влияет на отклик. Используется критерий Стьюдента(Student´s test).

Если оценка оказывается малой по сравнению с разбросом, то фактор считается попавшим в регрессионную модель без достаточных оснований (гипотеза подтверждается). Затем он исключается из регрессионной модели. Порядок проверки таков.

Вычисляются дисперсии оценок всех коэффициентов регрессии. В случаях ПФЭ и ДФЭ они имеют одинаковый для всех оценок вид

45

и каждая из них сравнивается со значением tν , α из таблиц t-распределения

Стьюдента (приложение А, табл. А.2). Таблицы имеют два входа, один из которых – число степеней свободы ν . В рассматриваемом случае ν = N (r −1). Па-

раметр α – это снова уровень значимости критерия.

Если ti < tν , α , то соответствующий коэффициент bi считается незначимым и из модели исключается. Если ti > tν , α , то bi считается значимым и сохра-

няется в модели.

Конечным результатом проверки является регрессионная модель

i

в которой суммирование ведется только по значимым коэффициентам (и факторам), а w – их общее число.

Существуют следующие причины, по которым тот или иной коэффициент оказывается при проверке незначимым, но может проявить себя при н е- больших изменениях условий эксперимента.

1.Действие соответствующего фактора не проявилось на фоне помех, но может обнаружиться при ослаблении их влияния после увеличения интервала варьирования или числа дублируемых опытов.

2.Эксперимент проводился на каком-то этапе поиска оптимума функции отклика, и базовый уровень фактора оказался близким к экстремуму.

Возможность таких ситуаций свидетельствует, что к исключению фактора из модели нужно подходить с осторожностью.

Проверка адекватности регрессионной модели. За исключением случая,

когда w = N, значения отклика, предсказанные по модели (2.28), будут отличаться от тех, что получены в опытах. Смысл проверки состоит в том, чтобы определить, обусловлены эти отличия только влиянием помехи или несовершенством самой модели, например, из-за несоответствия ее линейной формы реальной поверхности отклика.

Вначале проверки вычисляется выборочная дисперсия S2 , которая опи-

сывает степень рассеивания предсказанных значений отклика относительно исходных величин (2.20), полученных в эксперименте

где yˆ j – значение отклика, полученное в j-й точке спектра по формуле (2.28), а yj вычислено согласно (2.21). Затем строится показатель (статистика)

46

где Se2 дается формулой (2.24).

Величина этого показателя тем больше, чем существеннее в выборочной дисперсии сказываются влияния, связанные не только с помехой. Иначе говоря, F тем больше, чем значительнее отличия модели от реальной функции отклика.

Величина F сравнивается со значением Fν1,ν2 ,α из таблиц распределения

Фишера (приложение А, табл. А.3) Значения двух ее входов составляют в рассматриваемом случае ν1 = N −w,ν2 = N (r −1) . Таблицы составлены для различ-

ных уровней значимости α , по-прежнему представляющих собой вероятности ошибки первого рода. Самый «популярный» уровень – α = 0,05; он и пред-

ставлен в табл. А.3.

Если F < Fν1,ν2 ,α , модель считают адекватной, иначе – нет. Во втором слу-

чае требуется пересмотр исходных положений, лежащих в основе модели, как это требовалось и при отсутствии однородности дисперсий.

▲ Пример 2.8. Для получения регрессионной модели распределения температуры y (в градусах Цельсия) по длине x1 , ширине x2 и высоте x3

прямоугольной сушильной камеры (все три фактора представлены ниже в нормализованном виде) был использован план ДФЭ 23-1 с повторением каждого опыта два раза (n = 3, N = 4,r = 2 ). В итоге были получены следующие резуль-

таты (первые 6 столбцов табл. 2.10).

Таблица 2.10. К примеру 2.8

Проведем серию описанных выше операций по обработке этих данных.

Проверка однородности дисперсий

Согласно (2.21) получим y1 = 49; y2 = 31; y3 = 44; y4 = 36,5, а на основании

(2.22) S12 = 2;S22 = 2;S32 =8;S42 = 4,5. Для удобства обзора эти величины занесены в последние два столбца табл. 2.10. Максимальная из оценок дисперсии отклика – это S32 . Построим статистику (2.23)

47

и далее

S2 = 4 1−3 (49,625 −49)2 +(31,625 −31)2 +(44,375 −44)2 +(36,875 −36,5)2 = = 0,3906 +0,3906 +0,1406 +0,1406 =1,0624.

Построим статистику (2.30)

ГЛАВА 3. ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 3.1. Области применения и классификация планов второго порядка

Планы второго порядка предназначены для получения регрессионных моделей в виде полинома второй степени (квадратичного) как частного случая (1.9). Полный полином второй степени имеет вид

Такие планы применяют обычно, если план первого порядка не позволил получить адекватную модель, или если заранее известно, что функция отклика содержит квадратичные члены. Эти планы целесообразно использовать и при поиске экстремумов функции в целях определения наилучших с каких-то точек зрения сочетаний факторов.

49

По сравнению с планами первого порядка планы второго порядка имеют более сложную структуру, требуют бо́льшего числа точек в спектре плана и увеличенного числа опытов. Можно показать, что число уровней варьирования каждого фактора должно быть не менее трех.

Планы второго порядка разделены на две категории: симметричные и несимметричные.

Симметричным называют такой план, который удовлетворяет следующим условиям, одинаковым для всех факторов.

1. Сумма по всем опытам квадратов значений каждого фактора равна общей для них величине Λ2

j=1

2.Сумма по всем опытам попарных произведений квадратов значений двух разных факторов равна общей для них величине Λ22

j=1

3.Сумма по всем опытам четвертых степеней значений каждого фактора равна общей для них величине Λ4

j=1

4.Сумма по всем опытам любых произведений значений факторов, содержащих их нечетные степени, равна 0.

Информационная матрица Фишера симметричных планов имеет особую блочную структуру, показанную на рис. 3.1, при которой большинство ее элементов равно 0, а остальные равны константам Λ2 , Λ22 или Λ4 . Размеры квад-

ратных диагональных блоков показаны сверху. Символом 0 обозначены матрицы со всеми нулевыми элементами.

50