Планирование эксперимента. Учебное пособие

Рис. 3.1. Структура информационной матрицы Фишера симметричных планов

Такой вид матрицы упрощает оценку коэффициентов регрессии и анализ результатов эксперимента.

Несимметричные планы перечисленными свойствами не обладают и требуют более сложных расчетов, но обычно оказываются более экономными по числу опытов.

План называют композиционным, если в его спектр в качестве составной части входят точки спектра некоторого исходного плана, который мог быть реализован при построении более простой модели. Для планов второго порядка таким исходным планом является какой-то план первого порядка.

План называется центральным, если его центр находится в начале системы координат факторного пространства.

Среди симметричных планов выделяют ортогональные и ротатабельные, а среди несимметричных – насыщенные и ненасыщенные.

Существует большое количество планов второго порядка. Ниже рассматриваются лишь некоторые из них. Обзор и сравнительные характеристики большинства известных планов можно найти в работе [3].

Вопросы практической реализации и обработки результатов эксперимента мало чем отличаются от таковых для планов первого порядка и далее подробно не обсуждаются.

51

§3.2. Симметричные центральные композиционные планы

Вэтом параграфе будет подробнее рассмотрена разновидность симметричных планов – центральные композиционные (ЦКП). Они стали известны раньше других и сохранили свое значение поныне.

Все точки ЦКП можно разбить на три группы.

1. Основа или ядро плана – это ПФЭ 2n или ДФЭ 2n-k. При этом на применение ДФЭ накладываются ограничения: при n ≤ 4 может применяться лишь

ПФЭ 2n, при 5 ≤ n ≤ 7 можно использовать и ДФЭ 2n-1, а при n > 7 еще и ДФЭ

2n-2.

2. Так называемые звездные точки, расположенные на координатных осях симметрично относительно начала координат на одинаковых расстояниях α , называемых звездные плечи. Количество звездных точек равно 2n (по две на каждый фактор).

3. Опыты в центре плана в количестве N0 .

Пример ЦКП с указанием значений базисных функций для двух факторов и N0 =1 приведен в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Пример ЦКП

предъявляемых к плану, в результате чего он становится ортогональным (ОЦКП) или ротатабельным (РЦКП).

В ОЦКП, как правило, N0 = 1. При этом общее число точек становится равным

Далее в этом параграфе будем рассматривать только ортогональные планы. Несложный анализ показывает, что без принятия специальных мер орто-

гональность столбца фиктивного фактора и столбцов квадратов факторов с ним

52

и между собой не имеет места. Это легко обнаруживается и в приведенном примере. Для обеспечения ортогональности изменяют систему базисных функций в (3.1) согласно приводимой ниже формуле, содержащей в правой части

«центрированные квадраты» факторов (xi2 − x 2 )

Этим достигается ортогональность столбца фиктивного фактора и столбцов центрированных квадратов. Действительно, для этих столбцов получим

Для ортогональности столбцов центрированных квадратов между собой этого мало, однако можно ее добиться, выбирая надлежащим образом звездные плечи α. Условия ортогональности имеют вид

N

∑(x2ji − x 2 )(x2jl − x 2 ) = 0 (i,l =1, 2,..., n; i ≠ l)

j=1

или в развернутом виде

53

Спомощью этой формулы можно найти конкретные числовые значения

α. Для числа факторов n от 2 до 7 и при разном выборе ядра плана они приведены в табл. 3.2, где указано и общее число опытов N.

Таблица 3.2. Основные параметры ОЦКП

ней (FTF)−1 − диагональные, что обеспечивает простоту отыскания оценок и последующего анализа результатов.

Размеры блоков с одинаковыми диагональными элементами такие же, как у

матрицы на рис. 3.1: 1×1,n ×n, n(n −1) × n(n −1) , n ×n .

2 2

Матрица (FTF)−1 здесь не приводится, поскольку вид ее совершенно ясен:

на ее диагонали стоят элементы, обратные по отношению к элементам FTF

(1/N, 1/(2n−p +2α2 ) и т. д.).

▲Пример 3.1. Процесс термической обработки стальных отливок состоит из операций нагрева, закалки и отпуска. Был проведен эксперимент для определения влияния продолжительности нагрева (x1 ), закалки (x2 ) и отпуска (x3 ) на

твердость отливки y (по Роквеллу). В качестве ядра плана был взят ПФЭ 2 3, в

котором нижние и верхние уровни факторов в естественных единицах (секундах) составили для x1 – 40 и 63, для x2 –12 и 30, для x3 –21 и 55. Далее исполь-

зуются нормализованные значения факторов.

Согласно табл. 3.2 α =1,215 и N =15. В соответствии с (3.8)

54

x 2 = 23 +152α2 = 0,73.

В табл. 3.3 приведены базисные функции x0 , x1,..., x32 − x 2 , их значения (некоторые округлены) для 15 опытов и соответствующие отклики y . Первые 8 точек (опытов) – это ядро плана, с 9-й по 14-ю – звездные точки и 15-я – центр плана.

Таблица 3.3. К примеру 3.1

на рис. 3.2: малыми кружками – точки ядра и звездочками – звездные точки. «Невидимые» за гранями куба (его центр находится в начале координат, грани параллельны координатным плоскостям и имеют размеры 2 × 2) точки не изображены.

x3

x2

x1

Рис. 3.2. Расположение точек плана (к примеру 3.1)

55

Согласно формуле (3.10) и следующим после нее замечаниям матрица (FTF)−1 приобретает вид (приведены только цифры после десятичной запятой)

Для получения оценок коэффициентов регрессии воспользуемся формулой (1.20). Матрица (FTF)−1 приведена выше. Строками матрицы FT являются столбцы табл. 3.3, расположенные под обозначениями базисных функций x0 , x1,..., x1x3,..., x32 − x 2 . Столбец Y совпадает с последним столбцом таблицы.

Выписывая столбец B поэлементно, найдем

b0 = 0,0667(68 +65 +70 +71+71+72 +67 +73+65 +70 +72 +68 +63 +71+69) =

= 69,03;

b1 = 0,091(68 −65 +70 −71+71−72 +67 −73 −1,215 65 +1,215 70) = −6,36;

и далее аналогично

b2 = 0,013; b3 =0,9755; b12 = –0,125; b13 = –0,125; b23 = −2,625; b11 = –0,332;b22 =1,363; b33 = –0,671.

Оценка функции отклика (модель объекта) принимает вид

yˆ = 69,03 −6,36x1 +0,013x2 +0,9755x3 −0,125x1x2 −0,125x1x3 −2,625x2 x3 −

−0,332(x12 −0,73) +1,363(x22 −0,73) −0,671(x32 −0,73).

Вреальном эксперименте, скорее всего, далее потребуется проверка значимости коэффициентов, адекватности модели и др. ▼

56

§ 3.3. Несимметричные планы

Несимметричные планы, как уже было отмечено, более экономны с точки зрения необходимого числа опытов, чем симметричные. Основной их недостаток – это вычислительные трудности при обработке получаемых на их основе данных. Однако с ним можно смириться, когда стоимость проведения опытов становится решающим обстоятельством.

Далее будут кратко рассмотрены две категории несимметричных планов

– планы Хартли и Вестлейка.

Композиционные планы Хартли содержат в качестве ядра регулярные дробные реплики, 2n звездных точек и одну центральную. В этом они схожи с ОЦКП. Разница состоит в том, что планы Хартли условию ортогональности не удовлетворяют. Отказ от этого требования позволяет использовать реплики большей дробности, в результате чего число опытов в плане существенно сокращается. Разумеется, требование линейной независимости столбцов матрицы F (см. § 1.4) остается в силе. Это накладывает определенные ограничения на выбор генерирующих соотношений при построении дробных реплик. Плечи звездных точек α полагают просто равными единице1.

Табл. 3.4 содержит данные для построения планов Хартли при n от 2 до 7. Это тип плана ДФЭ для ядра и нужные генерирующие соотношения.

Таблица 3.4. Данные для планов Хартли

Пример плана Хартли с указанием значений базисных функций для n = 3 и N0 = 1 показан в табл. 3.5.

1 Существуют и варианты планов Хартли, для которых α не равны 1.

57

Таблица 3.5. План Хартли для трех факторов

В табл. 3.6 приведены для сравнения числа опытов по планам ОЦКП и Хартли при n от 2 до 7. Последняя строка содержит числа опытов по планам Вестлейка, рассматриваемым ниже. Как видно из таблицы, при некоторых количествах факторов планы Вестлейка более экономны, чем планы Хартли.

Таблица 3.6. Число опытов в различных планах

Планы Вестлейка также состоят из ядра, 2n звездных точек и одной центральной. В качестве ядра используются нерегулярные дробные реплики экспе-

римента ПФЭ2n . Так называют планы, составленные из l регулярных дробных реплик высокой дробности (правила их построения рассмотрены в § 2.5). Когда степень дробности k одинакова для всех реплик (будем это далее предпо-

лагать) общее число точек нерегулярной дробной реплики равно l 2n−k . Подбирая l и k , можно построить план с небольшим количеством опытов. Выбор звездных точек не отличается от планов Хартли.

Стандартная процедура получения нерегулярной дробной реплики предусматривает применение для каждой регулярной реплики одинакового набора генерирующих соотношений с той только разницей, что при них используются разные комбинации знаков «+» и «–».

▲Пример 3.2. Построим нерегулярную дробную реплику для 5 факторов,

58

приняв l = 3, k = 3. Выберем для регулярных реплик 25−3 следующие генерирующие соотношения: x3 = x1x2 , x4 =1, x5 =1. Последние два из них означают, что факторам x4 , x5 приписываются только единичные значения. Выберем сочета-

ния знаков перед соотношениями: для первой регулярной реплики «+,–,+», для второй – «+,+,–» и для третьей – «–,+,–». В результате получится реплика, представленная в табл. 3.7. Для экономии места точки размещены в таблице тремя блоками.

Таблица 3.7. Нерегулярная дробная реплика 3 25−3

Общее число точек в ядре плана 12, что вместе с 10-ю звездными точками и одной центральной и составляет число 23, показанное в табл. 3.6. Количество точек 41 в плане Вестлейка для n = 7 (та же таблица) получается при выборе 13

регулярных реплик 27−6 .▼

ГЛАВА 4. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ § 4.1. Общие положения

Планирование экстремальных экспериментов составляет одну из задач, входящих в состав более общей проблемы оптимизации. Оптимизация означает выбор наилучших решений. В математическом смысле это выбор некоторых переменных (в терминах ПЭ – факторов), обеспечивающих экстремум (максимум или минимум) показателя, который от них зависит (критерия). Часто выбор не произволен, а связан с некоторыми физическими, техническими, экономическими и другими условиями (ограничениями).

В практических приложениях проблема оптимизации возникает, например, при управлении производственными процессами в целях достижения наилучших показателей, при проектировании машин, аппаратов, приборов, обладающих наилучшими эксплуатационными характеристиками, при создании материалов (сплавов, химических волокон, смесей и т. п.) с наилучшими свойствами. Планирование экспериментов с этими целями называют планированием экстремальных экспериментов. Заметим, что под экстремумом можно подразумевать только максимум функции отклика ϕ(X). Если по изначальному смыслу задачи должен отыскиваться минимум, то к задаче на максимум можно вернуться путем формальной замены ϕ(X) на (−ϕ(X)).

59