Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экономический факультет

Н. А. Береснева, А. В. Береснева

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ. ЧАСТЬ 1. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИКА

Учебное пособие

Новосибирск

2020

Введение

Курс «Математические модели экономики» является одним из основополагающих в процессе формирования современного экономиста. Главная задача курса — расширение и углубление теоретических знаний о качественных свойствах экономической системы, количественных взаимосвязях и закономерностях экономического развития, механизмах управления экономикой на основе изучения наиболее характерных типов моделей с хорошо изученными свойствами. Исследователи, рассматривающие экономику как систему взаимосвязанных институтов, изучают как статические (первая часть курса), так и динамические свойства (вторая часть курса) этой системы: экономистов интересуют структурные характеристики экономики, с одной стороны, и ее эволюционные особенности, такие как колебания и рост, с другой.

Экономист должен осознавать, является ли его целью объяснение наблюдаемых фактов (позитивный анализ, в частности эконометрический анализ), или он намерен исследовать реакцию системы на происходящие изменения с точки зрения заданного критерия оптимальности (нормативный анализ). Цель данного курса — нормативный анализ, задача которого заключается в изучении взаимосвязей междуопределеннымицелямиразвитияирекомендациямивобласти экономической политики. Сочетание качественного и количественного подходов является центральным вопросом при экономическом моделировании, объединяющим многочисленные экономические и математические дисциплины.

Внематематикиневозможнодажесформулироватьмногиеважные экономические понятия и тем более исследовать связи между ними. Например, показатели эффективности производственных ресурсов или полезных эффектов потребительских благ опираются на поня-

3

Введение

тие частных производных и множителей Лагранжа, а коэффициенты полных затрат продукции и ресурсов и, соответственно, цены продукциииресурсовсвязанысэлементамиобратнойматрицывмодели Леонтьева. Определение траектории максимального экономического роста связано с понятием собственных значений и собственных векторов матриц коэффициентов прямых затрат и т. д.

Применение математики в экономических исследованиях имеет свои особенности, связанные с эмпирикой. Так, аксиоматически построенная экономическая теория обязательно должна найти подтверждение в экономической практике; это касается, в частности, аксиоматики целевых функций полезности потребителя и аксиоматики производственныхфункций. Крометого, вэкономическихзадачахпараметрыинеизвестныемогутбытьтольконеотрицательнымивеличинами. Такаяэкономико-математическаяспецифика(например, законы постоянной или убывающей производительности, следующие из эмпирики, неотрицательность переменных) часто находит формальное выражение в свойствах выпуклости (линейности, как частный случай) соответствующих объектов. Эти свойства позволяют доказать существование общего конкурентного равновесия в экономике.

Со времен открытия дифференциального и интегрального исчисления аппарат прикладной математики создавался в основном под влиянием естественных и технических наук, хотя широко применялся и применяется в экономических исследованиях. Однако для конкретного численного решения типовых задач, часто возникающих в экономике, этого аппарата оказалось недостаточно. Многие задачи рациональноговеденияхозяйства, представленныевматематической форме, состоят в отыскании экстремума функций многих переменных. К таким задачам относятся распределение дохода на потребление различных товаров и услуг, распределение ограниченных благ между группами потребителей, распределение ресурсов на производство фирмой различных продуктов и т. д.

В целом экономику можно представить как науку о рациональной деятельности основных хозяйственных институтов (домашние хозяйства, фирмы, правительственные организации и др.), взаимодействующих между собой.

4

Новацией ХХ в. стало создание Л. Канторовичем и Д. Данцигом (независимо друг от друга) специальных методов решения экстремальных экономических задач — методов математического программирования. Задачу математического программирования можно сформулировать как определение таких значений некоторых переменных величин, удовлетворяющих ряду ограничений, при которых достигается максимум определенной функции. В эту функцию объединены конкурирующие цели, поставленные в задаче, что соответствует принципу Парето-эффективности экономики.

Достоинством математического программирования является определение множителей Лагранжа — «теневых» цен, имеющих важное экономическое значение и обладающих свойствами равновесных цен продукции и ресурсов. Множители Лагранжа, или двойственные переменные в задачах линейного программирования, измеряют чувствительность целевой функции к изменению констант ограничений.

Можноотметить, чтотеоретическиерамкиуправления и развития экономики определяются моделью общего экономического равновесия, в которой в качестве критерия оптимальности используется общественная функция полезности. Для достижения равновесия требуется согласованность действий всех хозяйственных институтов. Основные вопросы, связанные с общим равновесием, — описание условий, обеспечивающихсуществованиеравновесия, егоединственность и устойчивость. Реакция экономики на экзогенные изменения параметров, сравнение различных равновесных состояний известна как метод сравнительной статики.

Для того чтобы описать условия, при которых бы решение модели общего экономического равновесие существовало, было единственным и устойчивым, необходимо остановиться на свойствах моделей отдельных хозяйственных институтов (моделей частичного равновесия).

В разделе 1 данного учебного пособия исследуются модели рационального поведения потребителей, принципы, на которых осуществляется справедливое распределение благ между группами потребителей, сравнительная статика потребления. Включены материалы, связанные с государственным регулированием уровней

5

Введение

доходов групп потребителей с помощью различных типов налогов. Рассматриваются подходы к построению целевых функций общественной полезности, позволяющие находить компромиссные решения для всех групп потребителей с учетом принципа социальной справедливости.

Вразделе2 исследуютсямоделирациональногоповеденияфирмы на совершенных и несовершенных рынках, основные типы и свойства производственных функций и функций производственных затрат. Рассматривается модель распределения и обмена ресурсами междуфирмами(модельэкономическоговзаимодействияподсистем)

иее основные понятия, связанные с теорией игр. Вводится понятие структуры капитала, издержек на его привлечение, оценивается воздействие показателей структуры капитала на его доходность, прибыль на акцию, стоимость компании. Рассматривается воздействие налогообложения на финансовую структуру фирмы.

Вразделе 3 рассматриваются модели общего экономического равновесия, включающие все основные хозяйственные институты. Таким образом, разделы 1 и 2 обеспечивают «строительный материал» для раздела 3, что позволяет получить более полную картину взаимозависимости решений различных подсистем экономики, в том числе воздействия государственной политики, включая внешнеэкономическую. Модели общего экономического равновесия могут быть многоуровневыми, содержащими модели всех подсистем, со своими локальными критериями оптимальности, объединенными общесистемными ограничениями по продукции и ресурсам (модель экономического взаимодействия подсистем). Могут быть одноуровневыми, с единым векторным критерием оптимальности — функцией общественного благосостояния, учитывающей интересы всех групп потребителей с учетом концепций справедливости, и теми же общесистемнымиограничениями. Приопределенныхусловияхрешенияэтихдвух типов моделей совпадают. Для них доказываются две теоремы благосостояния, устанавливающиесвязьмеждуконкурентнымравновесием

иэффективностью по Парето.

Частным, но наиболее применимым на практике случаем моделей общего экономического равновесия являются модели межотраслево-

6

го баланса и оптимизационные модели, построенные на их основе. Для моделей межотраслевого баланса рассматриваются основные теоремы сравнительной статики, имеющие широкое применение воткрытойэкономике. Рассматриваютсятакжевозможностиданного типамоделейдляпостроенияразличныхсхемвзаимодействияэкономик — мультирегиональных межотраслевых моделей.

Пособие направлено на анализ теоретических и прикладных проблем экономики средствами математического моделирования, а не на изучение собственно математических методов, которые в достаточном объеме даются на первом и втором курсах экономического факультета НГУ.

При этом надо понимать, что любая экономико-математическая модель достаточно абстрактна и охват проблем в ней является избирательным. Множество важных проблем находятся еще в стадии обсуждения, а не решения — как в области экономической теории, так и в области моделирования. Целью применения экономикоматематических моделей является не столько обеспечение экономистов определенными рекомендациями, сколько изучение воздействия различных социально-экономических мер на результаты решений, сопоставление различных решений в терминах максимизации общественного благосостояния.

7

1.1. Моделирование сферы потребления...

вид его целевой функции. Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рациональности ведения хозяйства, математически выражается в выборе некоторой точки из пространства товаров:

у = (у1, у2, …, уn )´,

где y´ — n-мерный вектор-столбец, в котором уi обозначает количество i-го блага, приобретенного потребителем. Множество этих векторов образует пространство предметов потребления:

Ỹ = {y = (у1, у2, …, уn)′ / yi ≥ 0, i = 1, …, n},

которое замкнуто и выпукло. Предполагается, что все товары обладают свойством делимости, а целевая функция потребителя (ЦФП) удовлетворяет ряду аксиом.

Приведем некоторые наиболее важные аксиомы.

1. Аксиома сравнимости. Любые два вектора из пространства товаров с точки зрения потребительских свойств могут находиться в одном и только в одном из трех возможных соотношений:

а) у1 предпочтительнее у2: y1 ; y2 ;

b)у1 и у2 безразличны: у1 ~ у2;

c)у2 предпочтительнее у1: y2 ; y1;

2. Аксиома транзитивности. Если y1 ; y2 и y2 ; y3 , то y1 ; y3.

3.Аксиома непрерывности. Если y1 ; y2 и y2 ; y3 , то существует

0 < α < 1 такое, что αу1 + (1 – α)у3 ~ у2.

4.Аксиома монотонности (ненасыщения). Если у1 ≥ у2 и у1 ≠ у2 , то y1 ; y2 .

5.Аксиома строгой выпуклости. Если у1 ~ у2 и у1 ≠ у2, то для лю-

бого 0 < α < 1 либо αу1 + (1 — α)у2 ; у1 , либо αу1 + (1 – α)у2 ; у2.

Возможны и иные формулировки этих аксиом [3, гл. 7; 7, гл. 7]. Изаксиомсовершеннойполуупорядоченности(1 и2) инепрерывности (3) следует, что существует такая непрерывная действительная

функция U(у), заданная на пространстве товаров, что U(у1) > U(у2), если y1 ; y2 иU(у1) = U(у2), еслиу1 ~ у2, которуюназываютфункцией полезности. Такую функцию еще называют порядковой функцией

9

1. Модели частичного равновесия...

полезности, так как в качестве функции полезности может выступать любая монотонная строго возрастающая функция Ψ(U(Y)), Ψ′ > 0.

Например, Ψ(U(у)) = [U(y)]2 или Ψ(U(у)) = a + bU(y), где а, b > 0.

Функция U(у) непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда аксиома ненасыщения (4) требует, чтобы все первые частные производные (предельные полезности благ) были положительны: MUi = = ∂U/∂yi > 0 для всех i. При заданных ценах и доходах в точке оптимума U(y) = const, отсюда

dU = ∑MUi dyi = 0.

i

Если изменяются количества только двух товаров, k и ℓ, из уравнения полного дифференциала получаем соотношение, характеризующее возможности замещения товаров, предельную норму замещения благ:

MRSkℓ = – dyA = MUk . dyk MUA

Этосоотношениеозначает, чтовусловияхограниченныхресурсов распределение благ в точке оптимума эффективно по Парето: если растет потребление блага k, то потребление блага ℓ сокращается, его полезность растет, а полезность блага k сокращается.

Из аксиомы строгой выпуклости (5) следует:

∂2U ( y) < 0, i = 1, …, n, (∂yi )2

а матрица вторых частных производных функции полезности, матри-

ца ГессеH = ∂U ( y) , отрицательно определена, где k, ℓ = 1, …, n, т. е.

∂yk ∂yA

функция U(y) строго квазивогнута.

В терминах функции полезности классическая модель поведения потребителя формулируется следующим образом:

10