Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

2.4. Поведение фирмы на несовершенных рынках (основы)

Из данного соотношения видим, что цена на продукцию «двойной» монополии существенно возрастает под воздействием эластичностей спроса и предложения факторов:

p = MPj (1−1Ey ) .

Литература: [3, 7, 9, 13].

Задания

54. Фирма-монополист производит продукт при использовании одного ресурса — труда, и это производство единственное в городе. Технология производства задана функцией F(L) = L + 0,25L2. Обратная функция предложения труда имеет вид: w(L) = (1 + 0,2L), спрос на продукцию предприятия составляет 35 ед.

а) Определите, при какой цене продукции и эластичности спроса сможет функционировать фирма. Каковы эластичность предложения труда, прибыль фирмы?

б) Если бы фирма была только монопсонией, по какой цене она реализовала бы продукцию, какую прибыль она получила бы?

в) Какова будет прибыль конкурентной фирмы, использующей такую производственную функцию?

г) Предположим, чтофирмаявляетсяпростоймонополией. Какова функция издержек, соответствующая данной технологии? При какой эластичности спроса будет функционировать такая фирма?

д) Проанализируйте полученные решения с точки зрения заданной технологии — производственной функции и функции производственных затрат. В каких случаях эта технология является неэффективной и почему?

81

2.Моделирование сферы производства

55.Для монополиста, имеющего линейную функцию спроса на продукцию и линейную однородную функцию издержек, государство ввело налог на совокупные издержки производства. Покажите, каково его воздействие на выпуск, цену и прибыль фирмы. Верно ли, что такой налог сокращает выпуск рассматриваемой фирмы вдвое?

56.Монополист с целью увеличения доли рынка может использовать различные маркетинговые стратегии, в частности рекламу продукции. Пусть спрос на продукцию монополиста y(p, A) зависит как от цены на свой товар (p), так и от денежных средств (A), потраченных фирмой на рекламу продукции. Функция прибыли в данном случае будет записана в виде

П= p y(p, A) – C(y(p, A)) – A.

Какова оптимальная доля затрат на рекламу от дохода монополиста? Как эта доля связана с эластичностью спроса от затрат на рекламу и эластичностью спроса от цены на продукцию?

57. Монопольная фирма характеризуется следующими линейными функциями спроса и издержек:

y(p) = 60 – 3p, c(y) = 10y + 40.

а) Определите оптимальный объем выпуска, цену, прибыль фирмы и долю рынка, которую она занимает.

б) Менеджмент фирмы решил увеличить долю рынка, используя рекламу продукции. Отдел маркетинга определил, что увеличение затрат на рекламу на 1 ед. увеличивает объем продаж на 0,15 ед. Запишите вид функции спроса монополиста y(p, А). Определите, сколько продукции и по какой цене произведет фирма. Каковы будут величины прибыли, затрат на рекламу и доли рынка?

82

2.5.Задания для самостоятельной работы...

58.В экономике есть две группы потребителей и два товара, первый из которых производится монопольной фирмой, а второй — конкурентной. Потребители имеют функции полезности следующего вида:

U(y11, y21) = 4y11 – 0,5(y11)2 + y21,

U(y12, y22) = 2y12 – 0,5(y12)2 + y22.

Потребители могут потреблять только неотрицательные количества благ (yik ≥ 0). Цена второго товара р2 = 1, все потребители имеют доход по 25 ед.

Предположим, что монополист может производить первый товар с издержками (с1) за единицу товара при постоянных издержках, равных нулю, и не может участвовать в каких-либо видах ценовой дискриминации.

Запишитемодельэкономическогоравновесиядлявсехучастников экономики, найдите цену и объем производства монополиста в точке оптимума. При каких значениях удельных издержек с1 монополист сможет продавать товар двум типам потребителей? Каковы будут объемы потребления второго товара для каждой группы?

2.5.Задания для самостоятельной работы по теме «Моделирование сферы производства»

59. Пусть предприятие имеет несколько технологических способов производства продукции, использующих два ресурса: труд и капитал. Объем трудовых ресурсов задан, а объем капиталовложений K определяется условиями фондового рынка и заранее не известен. Таким образом, уровень выпуска определяется уровнем привлеченного капитала, Y (K). Технология производства представлена ниже в таблице.

83

2. Моделирование сферы производства...

а) Поприведеннымвтаблицехарактеристикампроизводственных способов определите абсолютно неэффективные способы.

б) Запишите модель поведения фирмы, постройте аналитический вид однофакторной производственной функции Y = Y(K), используя теорию линейного программирования. Постройте график функции Y(K), покажите, что график полученной функции — ломаная линия, в точках перегиба которой функция меняет свое значение в зависимости от цен ресурсов, в том числе и ставки процента (цены капитала). Если предприятие привлечет 10 ед. капитала, сколько единиц продукции оно сможет выпустить? Какова будет цена привлеченного капитала?

Функция Y(K) называется функцией отклика производственного сектора на решения финансового сектора, определяющего объем предложения активов и цен на них.

в) Постройте аналитический вид функции K(Y) — функции отклика финансового сектора на решение предприятия о выпуске продукции в количестве Y ед., используя данные, представленные в таблице. Объем трудовых ресурсов тот же (6 ед.). Запишите модель поведения фирмы для данного случая, постройте график функции K(Y). Покажите, что функции Y(K) и K(Y) взаимообратны. Покажите, при каких условиях решения задач пунктов а и б совпадают.

60. Фирма, являющаяся монопсонией на рынке труда, для реализации проекта использует как собственный, так и заемный капитал при ставке налога на прибыль 30 %. Технология производства задана производственной функцией F(L, K ) = 20,9L0,9K0,1 при капиталовооруженности труда, равной 2. Цена продукта равна 1 ед., заемные средствапривлекаютсяпод20 % принормедоходностисобственного капитала 21 %.

84

2.5.Задания для самостоятельной работы...

1)Запишите модель поведения фирмы. Определите оптимальные значения коэффициента «квота собственника», эластичности предложения труда от заработной платы EL, доходности активов r, WACC

иDFL.

2)Как изменилось бы решение задачи, если бы фирма действовала на конкурентном рынке? Дайте сравнительные характеристики решений, включая значения ставок заработной платы.

61. Фирма, максимизирующая прибыль, выпускает три вида игрушек: автомобили (А), самолеты (С) и катера (К), которые требуют при производстве два типа операций — штамповку деталей и сборку. Расходы времени на штамповку деталей и сборку представлены в таблице.

Фирма финансирует свою деятельность за счет банковских кредитов. По условиям кредитования фирма должна поддерживать значение текущего коэффициента покрытия (раздел 2.3) на уровне не меньше единицы. В противном случае кредит подлежит немедленному погашению.

В таблице ниже представлены финансовые показатели деятельности фирмы.

85

2. Моделирование сферы производства...

Кроме того, маркетинговый отдел фирмы определил, что самолетов и катеров продать можно не более 10 ед. в совокупности.

Запишите модель поведения фирмы. Найдите решение задачи, включая оптимальные оценки, используя стандартные программные пакеты для задач линейного программирования. Проведите анализ чувствительности решения к изменениям параметров ограничений:

–спрос на самолеты и катера вырос до 12 ед.;

–банк изменил условия кредитования: f ′ ≥ 0,75.

86

3.МОДЕЛИ ОБЩЕГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Задача общего экономического равновесия заключается в анализе взаимосвязи основных хозяйственных институтов экономики: потребителей, фирм и государства, в терминах равновесных цен продукции и ресурсов, объемов производства, затраченных ресурсов и потребленных товаров. Потребители, располагающие набором факторов, включая труд, получают доход от их продажи на рынке и используют его для приобретения товаров при заданной системе предпочтений. Фирмы, приобретающие факторы, используют их для производства продукции по заданным технологиям. Государство может регулировать деятельность экономической системы в той или иной степени, используя в целях достижения социального оптимума различные инструменты — налоги, нормативы, политику управления.

Поскольку модели отдельных подсистем являются задачами выпуклого программирования, то и модель общего равновесия является задачейвыпуклогопрограммирования, чтообеспечиваетсуществование, единственность и устойчивость равновесия. Задачи общего экономического равновесия могут быть многоуровневыми (каждая подсистема имеет свой локальный критерий оптимальности при общих условиях сбалансированности продукции и ресурсов) и одноуровневыми (единый критерий оптимальности — общественная функция полезности и те же общие условия сбалансированности продукции и ресурсов). Решения этих задач при определенных условиях совпадают (см. разделы 1 и 2).

87

3. Модели общего экономического равновесия

3.1. Экономика благосостояния

Теория общего экономического равновесия включает определение социального оптимума на основе функции общественного благосостояния, равновесных цен (алгоритм их поиска), по которым действуют все субъекты экономики, сравнительную статику — анализ чувствительности решения к изменению определенных параметров. Основным условием экономики благосостояния является приоритет потребителя, которым определяется выбор критерия оптимальности.

Современный подход к экономике благосостояния основан на понятии оптимальности по Парето, дающем необходимые условия экономического оптимума. Как уже отмечалось выше, экономический оптимум обязательно должен быть оптимумом по Парето в условиях ограниченных ресурсов, иначе возможно перераспределение общих ресурсов в пользу некоторых субъектов экономики.

В качестве критерия оптимальности в экономике благосостояния используется векторная функция общественной (социальной) полезности, учитывающая интересы всех групп потребителей. Целевая функция общественной полезности является векторной функцией, позволяющей получить множество эффективных решений. Выбор единственного решения среди множества эффективных определяетсячереззаданиенормативовβh вфункцииНеймана — Моргенштерна и уровней полезности Сh в задаче с функцией Роулза, которые задаются вне рамок модели экспертным путем (см. раздел 1.2). Этот конечный выбор является в большей степени задачей социальной, политической и этической, чем экономической, поскольку затрагивает вопрос сравнения полезности различных групп потребителей.

Запишем оптимизационную модель экономики с двумя группами потребителей (h = 1, 2), двумя продуктами (i = 1, 2) и двумя ограниченными ресурсами ( j = 1, 2) — трудом (L) и капиталом (K). Эта модель включает рассмотренные выше модели частичного равновесия: распределение благ между группами потребителей, но предложение товаров здесь становится эндогенной величиной (задается производственной функцией) и распределение ресурсов между производимыми продуктами. В качестве социальной функции полезности будем

88

3.1. Экономика благосостояния

рассматривать функцию Роулза для первой группы потребителей. Технологии производства (производственные функции), функции полезности потребителей, количество ресурсов и уровень полезности второй группы потребителей заданы. Уровень полезности второго потребителя (С2) означает этическое понятие «заслуги» этой группы, определяемое социальной функцией полезности U[Uh ( yh )].

U1 (y1) → max,

F1(L1, K1) – y11 – y12 ≥ Q1,

F2(L2, K2) – y21 – y22 ≥ Q2,

L1 + L2 ≤ L,

K1 + K2 ≤ K,

U2(y2) ≥ C2,

yih, Li, Ki ≥ 0,

гдеyh = (yih) вектор-столбецфункцийспросаh-йгруппыпотребителей на i-й товар, Qi — спрос на i-й товар, не связанный с потреблением домашних хозяйств (включает в том числе спрос государственного сектора).

Запишем функцию Лагранжа для данной задачи математического программирования, поставив в соответствие каждому уравнению свой множитель Лагранжа:

vi = ∂U1 ≥ 0, вектор-строка оптимальных оценок продукции

(−∂Qi )

(равновесных цен продукции), i = 1, 2;

wL = ∂∂UL1 ≥ 0, оптимальнаяоценкатрудовыхресурсов — предель-

ная производительность, или цена труда (ставка заработной платы); wK = ∂∂UK1 ≥ 0, оптимальная оценка капитальных ресурсов — пре-

дельная капиталоотдача (рентабельность), или цена капитала;

μ = ∂U1 ≥ 0, оптимальная оценка уровня потребления второго

(−∂C2 )

участника. Данное соотношение отвечает принципу Парето обще-

89

3. Модели общего экономического равновесия

ственной функции полезности: в условиях ограниченных ресурсов при росте уровня потребления одной группы потребителей уровень потреблениядругойснижается. Тожесамоеможносказатьиобоценках продукции: если, например, государство увеличивает свои расходы (входят в Q), уровень полезности первой группы потребителей снижается.

Из свойств множителей Лагранжа — оптимальных оценок продукции и ресурсов — следует, что они обладают всеми свойствами рыночных цен: являются измерителями количества, качества

и эффективности использования продукции и ресурсов в экономике

сточки зрения функции социальной полезности и едины для потребителей и фирм.

Функция Лагранжа для данной модели имеет вид:

Ф(yih, Lj, Kj, vi, wj, μ) = U1(y1) + v1(F1(L1, K1) – y11 – y12 – Q1) + + v2(F2(L2, K2) – y21 – y22 – Q2) + wL(L – L1 – L2) +

+ wK (K – K1 – K2 ) + μ(U2(y2) – C2).

Необходимыми и достаточными условиями для существования решениявзадачевыпуклогопрограммирования(решенияоседловой точке функции Лагранжа) являются условия Куна — Таккера. При выполнении аксиоматики для функций полезности и производственных функций можно утверждать, что все переменные будут положительными. Тогда получаем систему из N уравнений и N переменных, прямых и двойственных, позволяющую найти единственное решение. В противном случае используются различные алгоритмы поиска решения задачи невыпуклого программирования [7, гл. 4].

(Самостоятельно записать условия Куна — Таккера для функции Лагранжа, рассмотренной выше, дать их интерпретацию.)

Для экономики благосостояния доказываются две основные теоремы при достаточно общих условиях.

Первая теорема благосостояния. Если домашние хозяйства и фирмы действуют в условиях конкуренции и воспринимают уровень цен как заданный, имеется полный набор рынков и полная ин-

90