Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

1.6. Задания для самостоятельной работы...

ко из дотаций (стипендий), полученных из бюджета за счет налогов, собираемых с работающего населения. Для обеспечения своих расходов государство облагает доходы населения прогрессивным подоходным налогом с постоянной предельной ставкой (плоская шкала) и необлагаемым минимумом (Q0), составляющим 20 % от доходов второй группы. На выплату дотаций государство использует 25 % от налоговых поступлений.

а) Запишите модель экономического взаимодействия подсистем с локальными критериями оптимальности, с учетом всех ограничений.

б) Найдите равновесную цену продукции, единую предельную ставку подоходного налога, объемы потребления групп населения. Покажите, что средняя ставка налога возрастает с ростом дохода.

33. Определяющим фактором долгосрочного развития экономики являются сбережения потребителей, обеспечивающие инвестиционные возможности страны и выравнивающие уровень жизни индивидуума в разные периоды жизни. Существенную роль на уровень сбережений оказывает налоговая политика, проводимая государством, уровень инфляции в экономике, политика Центрального банка, устанавливающегопроцентнуюставку, социальнаяполитика, втомчисле программа по выплате различных пособий.

Будем рассматривать простую модель жизненного цикла, включающую два периода жизни потребителя (межвременная модель поведения потребителя). Потребитель получает в каждом периоде доход Rt (t = 1, 2), который облагается налогом по единой ставке τ в оба периода. В первом периоде, более активном, он делает сбережения, процентный доход от которых использует во втором. Кроме того, потребитель ожидает, что во втором периоде с вероятностью 40 % он может потерять работу. Функция полезности потребителя в течение жизни имеет вид U(y) = y1 y2, где уt — спрос по периодам.

а) Запишите межвременную модель поведения потребителя, найдите функции ожидаемого спроса, предельной полезности денег и сбережений. Покажите воздействие на уровень сбережений инфля-

41

1. Модели частичного равновесия...

ции, процентной ставки, ставки подоходного налога и вероятности потери работы во втором периоде.

б) Определите спрос потребителя по периодам, величину сбережений относительно R1 при заданных значениях ожидаемой инфляции 6 %, номинальной ставке процента, равной 10 %, и ставке подоходного налога 20 %. Известно, что ожидаемый доход во втором периоде R2 = 2/3R1.

34. Используя теорию взаимных задач, рассмотренную выше, выведите уравнение Слуцкого для модели межвременного выбора потребителя для двух периодов. Покажите, что воздействие реальной процентной ставки складывается из эффекта замещения и эффекта дохода, при этом важно, является потребитель кредитором или заемщиком в первый период. На основе полученного уравнения покажите, что потребитель, являющийся кредитором, остается кредитором и после снижения процентных ставок [3].

Литература: [1, 3, 8].

42

2.МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРЫ ПРОИЗВОДСТВА

Задача рационального ведения хозяйства, с которой сталкивается фирма, заключается в определении объемов выпуска продукции (Y) и необходимых для ее производства ресурсов (хj) с учетом заданной технологической связи между ними при заданных ценах на продукцию (р) и ресурсы (wj) на конкурентном рынке. Если фирма действует на несовершенном рынке, то задаются функции спроса на продукциюи(или) функциипредложенияресурсов, прямые[y(p), xj (wj)] или обратные [p(y), wj (xj)] .

Технологическая связь между выпуском продукции и затратами ресурсов называется производственной функцией:

Y = F(x) = F(x1, x2, …, xm), хj ≥ 0, j = 1, …, m.

Она представляет собой отображение любого вектора затрат ресурсов хm (точки пространства затрат) в единственное неотрицательное число — максимальный выпуск продукции. Производственная функция непрерывна, дважды дифференцируема и удовлетворяет двум аксиомам.

Первая из аксиом утверждает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска продукции:

x1 ≥ х2 влечет за собой F(x1) ≥ F(x2).

Отсюда следует неотрицательность всех первых частных производных (предельных эффективностей ресурсов):

43

2. Моделирование сферы производства

∂F (x)

∂xj = MPj (x) ≥ 0, j = 1, …, m.

Учитывая, что F(x) = Y = const, так как выпуск ориентирован на спрос, определенный за рамками модели, получаем в точке оптимума

∑MPj (x)dxj = 0.

j

Если все затраты фиксированы, кроме затрат вида j и k, то

MPj(x) dxj + MPk (x) dxk = 0;

тогда

MRTS jk = − dxk = MPj (x) , dxj MPk (x)

предельная норма замещения ресурсов равна отношению их пре-

дельных продуктов (предельных эффективностей).

Втораяаксиомаосновываетсяназаконеубывающейотдачи(убывающей предельной производительности) ресурсов:

откуда следует, что матрица Гессе

матрица вторых частных производных производственной функции F(x), отрицательно определена для всех хm из пространства затрат ресурсов, что означает квазивогнутость производственной функции.

44

2.1. Неоклассическая теория фирмы...

Производственная функция F(x), удовлетворяющая этим аксиомам, характеризуется отдачей от расширения масштаба производства (свойство однородности функции) и возможностями замещения ресурсов.

Для однородных функций можем записать:

F(αx) = αn F(x),

гдеn — степеньоднородностифункцииилиотдачаотмасштаба. Если n > 1, говорим о расширении масштаба производства, при n = 1 отдача от масштаба постоянна, при n < 1 отдача от масштаба убывает.

Воспользовавшись уравнением Эйлера для однородных функций, получим

где Ej — эластичность выпуска от затрат j-го ресурса. Если введем по-

нятие среднего продукта APj = F(x) (или средней производительно-

сти j-го ресурса), то эластичностьxможетj быть записана как E j = MPj .

APj

2.1.Неоклассическая теория фирмы. Сравнительная статика фирмы

Неоклассическая теория фирмы исходит из предположения, что цель фирмы заключается в максимизации прибыли при заданной технологии производства F(x) и ценах на продукцию и ресурсы. Предполагается также, что спрос на продукцию Y задан (вспомогательное условие):

Π = pF(x) −∑wj xj → max,

j

F(x) = Y, xj ≥ 0.

45

2. Моделирование сферы производства

Задача представляет собой задачу нелинейного выпуклого программирования — так же, как и задача потребителя. Необходимыми условиями максимизации являются условия Куна — Таккера для уравнения прибыли:

xj ≥ 0.

Из условий равновесия фирмы для всех xj > 0 получаем

1) рMPj = wj, F(x) = Y,

тогда для любых двух ресурсов j, k

MRTS jk = MPj = wj .

MPk wk

Это означает, что в точке оптимума предельная норма замещения ресурсов определяется через отношение цен ресурсов.

Фирма может производить n продуктов, используя j ресурсов, выпуск которых задан производственной функцией Fi( xi ), xi = ( xji ), i = 1, …, n; j = 1, …, m. В частности, уравнение прибыли для двух продуктов и двух ресурсов может быть записано следующим образом:

П = p1F1 (x1) + p2 F2 (x2) – w1(x11 + x12) – w2(x21 + x22 ) → max,

из условий Куна — Таккера при xji > 0 получим

46

Предельные нормы технологического замещения равны для всех продуктов.

б) MRT12 = MPj1 MPj 2 = p2 p1 ,

отношение предельных производительностей одноименного ресурса для разных продуктов обратно отношению цен продуктов для всех j = 1, …, m. Это отношение получило название предельной нормы трансформации (преобразования) продуктов — MRT12.

Таким образом, из условий равновесия следует, что оптимальное распределение ресурсов между продуктами на конкурентном рынке эффективно по Парето.

2) Условия равновесия после некоторых преобразований можно записать следующим образом:

∑pMPj xj = ∑wj xj ,

j j

из уравнения Эйлера следует, что

∑MPj xj = nF(x),

Для прибыли в точке оптимума получим

П = рF(x)(1 – n) ≥ 0,

где n — степень однородности (отдача от масштаба) производствен-

ной функции. Из данного соотношения следует, что на конкурент-

47

2. Моделирование сферы производства

ном рынке могут присутствовать только фирмы, технология которых задана производственной функцией с отдачей от масштаба, не превышающей единицу: n ≤ 1.

Прибыль фирмы, имеющей постоянную отдачу n = 1 в точке оптимума, всегда равнанулю, прибыль фирмы с убывающей отдачей всегдаположительна. Здесьпредполагается, чтоусловно-постоянныеиз- держки фирмы (d) равны нулю, в противном случае фирма, имеющая постоянную отдачу от масштаба, сможет функционировать только при p ≥AP (цена не меньше среднего продукта), фирма с убывающей отдачей вынуждена будет корректировать объем выпуска в соответствии со значением d.

Фирмы, имеющие возрастающую отдачу от масштаба n > 1, не могут функционировать на конкурентном рынке при заданных ценах на продукцию и ресурсы.

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объема при n < 1 есть следствие рациональности поведения фирмы: в первую очередь используются наиболее благоприятные возможности, а по мере роста производства приходится использовать менее эффективные ресурсы, отдача падает. Такая ситуация наиболее характерна для предприятий сельского хозяйства и добывающей промышленности, в отличие от предприятий обрабатывающей промышленности и отраслей высоких технологий, имеющих, как правило, возрастающую эффективность от масштаба производства n > 1.

3) Из k условий равновесия модели поведения фирмы и условия равенстваспросаипредложенияF(x) = Y получаемm функцийспроса на ресурсы xj(p, w), однородных нулевой степени относительно цен продукциииресурсов, иF(x(p, w)) = Y, косвеннуюпроизводственную функцию или функцию предложения продукции.

При заданных ценах можем вывести функцию общих издержек фирмы как функцию от объема выпуска, обратную исходной производственной функции:

C(Y ) = ∑wj xj (w,Y ),

j

48

2.1. Неоклассическая теория фирмы...

где C(Y) — минимальные издержки фирмы, соответствующие максимальному выпуску.

Наиболееочевиденпереходотпроизводственнойфункциикфунк-

Модель поведения фирмы может быть записана следующим образом:

Π = p(min{x1n , x2n}) − w1x1 − w2 x2 → max, F(x) = min{x1n , x2n} =Y ,

xj > 0.

Из вида функции следует, что x1n = x2n , тогда

Π = px1n −(w1 + w2 )x1 → max, x1n = x2n =Y.

Из соотношений x1n = x2n =Y следует, что

x1 = (Y)α, x2 = (Y)α,

где α = 1 ⁄ n.

Получаем функцию издержек фирмы:

C(Y) = Y α (w1 + w2) = cY α,

где (w1 + w2) = c — const.

В случае n = 1 функция издержек будет линейна: C(Y) = cY.

Как уже отмечалось, издержки фирмы могут включать также постоянную часть d:

C(Y) = cY α + d.

49

2. Моделирование сферы производства

Получаем две эквивалентные модели поведения фирмы:

1) относительно производственной функции, задающей технологию производства (в векторной форме),

П = pF(x) – wx → max, F(x) = Y,

x ≥ 0,

2) относительно функции производственных затрат C(Y), соответствующей функции F(x),

П = pY – C(Y) → max, Y > 0.

Функции производственных затрат C(Y) = cY α, так же как и производственные функции, делятся на функции с возрастающей эффективностьюзатрат(α< 1), c постояннойэффективностьюзатрат(α= 1) и функции c падающей эффективностью затрат (α >1). В экономическоманализеиспользуютсяпонятиясреднихиздержек AC =C(Y )Y , тогда C(Y) = AC·Y, и предельных издержек MC = ∂C(Y )∂Y .

Из условия максимизации прибыли фирмы с заданной функцией издержек C(Y) получаем

р = MC,

тогда в точке оптимума прибыль будет неотрицательна,

П= pY (1 – MCAC ) ≥ 0,

только в случае, если АС ≤ МС и α ≥ 1 (соответственно, если степень однородности ПФ n ≤ 1), то есть на конкурентном рынке.

В теории фирмы также могут использовать взаимные задачи поведения фирмы, которые устанавливают соответствие между критериями максимизации прибыли (выпуска) и минимизации издержек фирмы, с помощью которых могут быть выведены результаты сравнительной статики.

50