Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

1.4. Предложение труда в модели поведения потребителя...

б) Выведите функцию расходов e(p, w, C) из косвенной функции полезности v(p, w, R0). Запишите уравнение Слуцкого. Покажите, чему равны эффекты дохода и эффекты замены при росте ставки заработной платы w, росте цены продукции р.

26.а) Покажите, как соотносятся ставки пропорционального подоходногоналогаиналоганадобавленнуюстоимость(поединойдля всех товаров ставке) при их эквивалентном воздействии на доходы потребителя. Почему экономисты считают подоходный налог более предпочтительным по сравнению с НДС?

б) ЕслинавсетоварывводитсяНДС, какойподходболееэффективен с точки зрения теории поведения потребителя: налогообложение по дифференцированным ставкам или по единой ставке?

в) Постройте пример прогрессивного налогообложения доходов

свозрастающей средней и предельной ставкой налога.

27.Пусть предпочтения потребителя, включающие свободное время, описываются квазилинейной функцией полезности

U (y, H) = 0,4y + lnH.

Известно, что р = 2 ед., почасовая оплата труда w = 0,5 ед., время работы и отдыха K = 18 часов в сутки, R0 = 1 ед.

а) Запишитемодельповеденияпотребителя, определитевидфункций спроса на потребительский набор и предложения труда, найдите их значение.

б) Докажите выполнение закона спроса для потребительских благ и закона предложения для функции труда.

в) Рассмотрите, какнаспросипредложениетрудавлияетвведение НДС, пропорционального подоходного налога. Каковы оптимальные ставки этих налогов для государства?

28. В модели поведения потребителя с функцией полезности

U(y, H) = y H

31

1. Модели частичного равновесия...

введен прогрессивный налог на заработную плату с налоговым возвратом Q = 4 ед. Доход потребителя складывается только из заработков, при почасовой ставке заработной платы w = 2 ед. Цена потребительского набора р = 1 ед., потребитель на работу и досуг тратит 18 часов в день.

а) Запишите модель поведения потребителя, определите оптимальную ставку подоходного налога, величины потребления и предложения труда, необлагаемого дохода. Постройте кривую Лаффера для данной задачи.

б) Покажите, может ли потребительский набор y(p, w, R0) быть товаром первой необходимости, а досуг H(p, w, R0) — товаром роскоши.

в) Постройте уравнение Слуцкого для функции предложения труда, покажите, каковы эффекты замены и эффекты дохода для данной функции при введении подоходного налога, НДС.

1.5.Распределение благ между группами потребителей. Целевая функция общественной полезности

До сих пор рассматривалась модель рационального поведения отдельного потребителя в условиях заданных цен и дохода. Предположим, что в экономике присутствует m потребителей, предъявляющих совокупный спрос (Yi) на товары, при заданном их предложении (Ni), для всех i = 1, …, n:

m

Yi = ∑yih = Ni . h=1

Цены товаров рi(R1, …, Rh, Ni), определяющие равновесие спроса и предложения, в этом случае становятся неизвестными величинами и являются функцией доходов всех потребителей (Rh) и предложения соответствующего товара (Ni).

Cпрос h-го потребителя на товар i, yih(Rh, pi), будет определяться предпочтениями потребителя, его доходом и равновесной ценой на товар i.

32

1.5. Распределение благ между группами потребителей...

Для случая двух групп потребителей и двух товаров модель распределенияблагмеждугруппамипотребителейможетбытьзаписана следующим образом:

y11 + y12 = N1,

y21 + y22 = N2,

yih ≥ 0.

Каждаяизподсистемхарактеризуетсясвоимкритериемоптимальности. В этом случае будем говорить об «оптимуме распределения», обозначаяэтимтерминомоптимумпоПаретовтакойэкономике, ког-

да MRS121 = MRS122 .

Это соотношение означает, что ни один из потребителей не может увеличить свое благосостояние без ухудшения благосостояния другого, при условии, что все потребители действуют по единым равновесным ценам товаров. (Записать условия равновесия для каждого потребителя, используя функции Лагранжа, доказать равенство норм эквивалентной замены благ для потребителей.)

Такая модель получила название модели экономического равновесия (взаимодействия подсистем), включающей как модели отдельных подсистем, так и общие для всех подсистем условия: балансы спроса и предложения по каждой группе товаров.

Разработкойпринциповколлективнойрациональности, играющих важную роль при принятии решений в различных ситуациях «конфликта и сотрудничества» взаимосвязанных субъектов, занимается математическая дисциплина — теория игр. В случае, когда в модели не учитываются права собственности участников на товары (запасы благ) или ресурсы, процесс согласования решений изучается в рамках теории кооперативных игр многих участников.

Из совокупности моделей потребителей и условий равновесия спроса и предложения по товарным группам можно составить задачу векторнойоптимизациисединымкритериемоптимальности, вектор-

33

1. Модели частичного равновесия...

функцией общественной полезности, определенной на множестве допустимых вариантов потребления всех групп:

U [Uh (yh)] → max,

m

∑yih = Ni ,i =1, ..., n,

h=1

yh = (yih), yih ≥ 0,

где U [Uh (yh)] — вектор-функция общественной полезности, учитывающая интересы всех групп потребителей, ∂U /∂Uh > 0 для всех независимых переменных yh.

В такой модели доходы потребителей становятся эндогенными (определяемыми) величинами, а равновесные цены продукции определяются множителями Лагранжа для балансов спроса и предложения продукции.

Функция общественной (социальной) полезности удовлетворяет рассмотренной в разделе 1.1 системе аксиом. Но, в отличие от частных функций полезности, она является неоднозначной с точностью до монотонного строго возрастающего линейного преобразования. Функция общественной полезности является функцией Парето, позволяющей получить множество эффективных решений, в каждом из которых ни один участник не может увеличить свою функцию полезности без ухудшения функции полезности хотя бы одного другого участника. Это открывает возможность использования налогообложения и государственных расходов с позиций концепции Парето, в частности для реализации принципа социальной справедливости.

Для того чтобы найти решение оптимизационной модели с векторным критерием оптимальности, необходимо определить схему разумного компромисса между различными функциями полезности участников и таким образом получить оптимизационную модель со скалярным критерием, позволяющим найти единственное решение среди множества возможных.

Наибольшуюизвестностьполучилидватипафункций, используемых в качестве функций общественной полезности.

34

1.5.Распределение благ между группами потребителей...

1.Функция полезности Неймана — Моргенштерна:

U[Uh ( y)h ] = ∑βhUh ( y)h → max,

h

где βh — вклад (вес) каждой частичной функции полезности в функцию социальной полезности, 0 ≤ βh ≤ 1, ∑βh =1.

h

Вариация коэффициентов βh позволяет получить множество эффективных решений для всех участников, при этом каждому набору β = (βh), h = 1, …, m, будет соответствовать свой вектор равновесных цен. Решения в крайних точках, когда β = (βh) — орт, называются субоптимальными, т. е. все ресурсы получает один из участников. Кроме того, из функции Лагранжа (с учетом баланса спроса и предложения товаров) получаем для двух потребителей и товара i следующее соотношение для всех i = 1, …, n:

β1 = MPi2 .

β2 MPi1

Это означает, что потребитель c большей полезностью блага имеет меньший вес своей частной функции в функции общественной полезности. Задавая конкретное значение коэффициентов βh (например, с точки зрения интересов государства, β1 = 0,6, β2 = 0,4), получаем единственное компромиссное решение из множества возможных. Выбор βh — процесс субъективный, определяется экспертным путем.

Может использоваться также функция вида

U[Uh ( y)h ] = ∑Uh ( y)h ,

h

функция Бентама. В этом случае можно утверждать [1, гл. 11], что используется достаточно сильное допущение об одинаковых предпочтениях потребителей, такое, что Uh = ( U / m), где m — количество групп потребителей.

35

1.Модели частичного равновесия...

2.Функция общественной полезности Роулза исходит из макси-

мизации функции полезности потребителя, находящегося в наихудшем положении («макси — мин»):

U[Uh ( y)] = min{Uh ( y)} → max.

h

Уровни полезности остальных участников зафиксированы на некотором уровне Сh. Задавая различные значения этих уровней, максимальное значение которых определяется субоптимальными значениями функций полезности потребителей, получим множество эффективных решений. Такой подход называют также задачей «условной субоптимизации». Например, в случае двух участников предположим, что меньшее значение имеет функция полезности второго потребителя, тогда задача будет записана следующим образом:

U2 (y2) → max,

y11 + y12 ≤ N1, y21 + y22 ≤ N2,

U1 (y1) ≥ C1,

yih ≥ 0.

С помощью функции Лагранжа и условий Куна — Таккера для данной модели найдем оптимальные объемы потребления групп, а также оптимальные оценки продукции (равновесные цены), что позволит определить доходы и расходы всех групп потребителей для этого социального оптимума, заданного через величину Сh.

Между решениями модели экономического равновесия с локальными критериями оптимальности и оптимизационной моделью с функцией общественной полезности существует тесная взаимосвязь. На основе решения модели экономического равновесия можно определить такие βh в функции Неймана или Сh в задаче с функцией Роулза, при которых одно из решений соответствующей оптимизационной модели с единым критерием совпадет с решением модели

36

1.5. Распределение благ между группами потребителей...

равновесия с локальными критериями полезности потребителей и наоборот. Напомним, что данное утверждение верно только для задач выпуклого программирования [5, гл. 16].

Вмоделях распределения благ между группами потребителей спрос каждого потребителя зависит не только от его дохода и системы предпочтений, но и от доходов остальных участников, их систем предпочтений и объемов предложения товаров. В этом случае уровень потребления может оказаться слишком низким для некоторых участников. Тогда в модель экономического равновесия с локальными критериями оптимальности можно включить государство, которое с помощью налогов, прямых и косвенных, будет решать две за-

дачи: финансирование своих текущих расходов (т. е. появляется еще один участник процесса распределения благ и понятие государствен-

ных финансов) и перераспределение доходов между потребителя-

ми (принцип социальной справедливости). А в рассмотренной выше моделиравновесия с локальнымифункциями полезности участников появятся новые ограничения и переменные, связанные с бюджетом государства и условиями перераспределения доходов групп через ставки подоходных налогов.

Распределение благ с учетом концепций справедливости (какими бы они ни были) будет также оптимально по Парето (проверить данный факт можно самостоятельно), но эта эффективность уже не обеспечивается условиями свободной конкуренции.

Воптимизационной модели с единым критерием — социальной функцией полезности — изменение спроса и, соответственно, изменение уровней полезности потребителей, связанное с воздействием налоговой политики, отразится в изменении коэффициентов

βh или уровнях потребления Сh, а также в изменении значений правых частей балансов спроса и предложения благ Ni. В этом случае Ni = Ni′ + Gi, где Ni′ — потребление i-го товара домашними хозяйствами, а Gi — потребление i-го товара государством. Как правило, вектор-столбец G — величина, определяемая экзогенно.

Литература: [1, 3, 5, 7, 9, 13].

37

1. Модели частичного равновесия...

Задания

29. Рассмотрим экономику, единственной проблемой которой является распределение запасов между потребителями.

В экономике с двумя группами потребителей и двумя товарами заданы функции полезности групп:

Известно, чтодоходвторогопотребителяв2 разавыше, чемупервого: R2 = 2R1, заданы запасы товаров N1 = 32 ед., N2 = 28 ед.

а) Запишите модель равновесия для групп потребителей с локальными функциями полезности и заданным общим предложением продуктов. Определите равновесные цены и спрос потребителей. Покажите, что распределение запасов между группами оптимально по Парето.

б) Запишите модель оптимального распределения благ между группами потребителей, используя функцию общественной полезности Неймана — Моргенштерна. Покажите, что существует множество решений, эффективных по Парето, включая субоптимальные, и соответствующих им равновесных цен. При каких коэффициентах βh в функции Неймана — Моргенштерна решения задач пунктов а и б совпадут? Каково будет соотношение доходов групп в данной модели?

в) Запишите модель скалярной оптимизации с функцией общественной полезности Роулза, выбрав участника с наименьшим уровнем полезности. Покажите, при каких условиях решения задач пунктов а и в совпадут.

г) Для задания из пункта а сделаем допущение, что правительство, используяналогитольковсоциальныхцелях, решилооткорректировать соотношение доходов так, чтобы R2 ≤ 1,5R1, за счет налогов на доходы второго потребителя (T2). Первый потребитель будет получать дотации из этих налогов. Найдите решение задачи пункта а, включая ставку налога (дотации) и соответствующие ей решения пунктов б и в.

38

1.5. Распределение благ между группами потребителей...

д) Предположим, что правительство будет использовать обе функции налогов: финансирование текущих расходов бюджета за счет налогов потребителей T = T1 + T2 при заданном спросе правительства G1 = 6 ед. и G2 = 8 ед., а также функцию перераспределения доходов, вводя плоскую шкалу прогрессивного налога с необлагаемым минимумом Q0 = 0,5 R1.

Запишите модель, включив в нее дополнительные условия. Изменятся ли равновесные цены продукции? Найдите решение модели, покажите, какова будет ставка налога, установленная государством. Определите значения βh (пункт б) и Сh (пункт в), соответствующие новому решению пункта а. Будет ли решение эффективным по Парето? Покажите, почему налог в этом случае называется прогрессивным.

30. Покажите, что в экономике распределения, состоящей из трех участников и двух товаров, спрос третьего участника в окрестности точки равновесия обладает эффектом Гиффена. Целевые функции участников имеют следующий вид:

U1(y11, y21) = y11,

U2(y12, y22) = y22,

U3(y13, y23) = 28y13 + 28y23 – 2(y13)2 – 3y13y23 – 2(y23)2.

Общие запасы товаров представлены вектором N = (4, 4) ед., а денежные ресурсы участников (Rh) равны 4, 12 и 12 денежным единицам соответственно.

39

1.Модели частичного равновесия...

1.6.Задания для самостоятельной работы по теме «Моделирование сферы потребления»

Для выполнения заданий необходимы дополнительные материалы из прилагаемого списка литературы.

31.Схема предложения труда в случае прогрессивного налогообложения (или дотаций с регрессией) с постоянной предельной ставкойможетбытьдискретной. Помереростазаработнойплатыпотребителя он может сдвинуться от одного уровня предложения труда (включая нулевой) до другого, в зависимости от ставок заработной платы, налога или уровня дотаций.

Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности: U(y, H) = y2H. Потребитель может работать в неделю 7 дней, имея на работу и свободное время 15 часов в день. Помимо заработкаwL, гдеw — почасоваязаработнаяплата, онполучаетсоци-

альные выплаты R0 = 100 ед. в неделю, которые снижаются на 40 %, если доход превышает 200 ед., и становятся нулевыми при заработке 450 ед. и выше. Цена продукции р = 1 ед.

а) Постройте бюджетное ограничение для данного потребителя, найдите решение задачи. Покажите границы почасовой заработной платы при переходе потребителя из одной доходной группы в другую, включая изменение предельной ставки социальных выплат.

б) ПостройтеграфикфункциипредложениятрудаL(w). Покажите, что график — ломаная линия, имеющая разрыв [1, с. 64–66].

32.Рассматривается экономика, в которой заданное количество продукта N = 100 ед. распределяется между тремя группами населения и государством, на долю которого приходится 25 % запасов продукции. Каждая из групп населения максимизирует уровень свое-

го потребления (yi) в рамках своих доходов (Ri). Известно, что первые две группы — работающее население с доходами R1 = 275 ед., R2 = 125 ед., третья группа — студенты, доход которых состоит толь-

40