Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

2.2. Распределение ресурсов и обмен ресурсами...

действии можно представить в виде Fk (Rk, ∆k ), где Rk = (Rjk ) — вектор ресурсов, принадлежащих k-му предприятию. Допустимость общего решения системы возможна при сбалансированности обмена ресурсами:

A

∑ k = 0.

k =1

Включение прав собственности на ресурсы в модель равновесия позволяет выделить среди множества эффективных решений подмножество, называемое ядром экономической системы, в рамках которого фирмам выгодно взаимодействовать, т. е. каждая из них будет производить продукции не меньше, чем при изолированном действии:

Fk (Rk) ≤ Fk (Rk, ∆k),

где Fk (Rk) — локальное решение k-й подсистемы, ориентирующейся только на собственные ресурсы. Такое допущение в теории кооперативных игр называется принципом индивидуальной рациональности. Вподобныхситуацияхможетвозникнутьподсистемаилигруппа подсистем, заинтересованная в блокировании реализации некоторых оптимальных по Парето решений, не принадлежащих ядру. При этом суммарное решение системы в целом F(R) должно быть не меньше суммы локальных решений подсистем — принцип коллективной рациональности теории игр:

A

F(R) ≥ ∑Fk (Rk ).

k =1

Подход теории некооперативных игр, соответствующий рассматриваемой модели, заключается в выборе системы экономических нормативов: цен продукции и ресурсов, тарифов и т. д. (в нашем случае цен ресурсов), которые являются результатом соглашения (компромисса) между подсистемами внутри ядра. Эти нормативы уста-

61

2. Моделирование сферы производства

навливаются из условий финансовых балансов внешних связей, они должны быть неотрицательны:

(р, ∆k) ≥ 0.

Решение модели экономического взаимодействия в этом случае также можно определить на основе решения оптимизационной задачи с векторным критерием оптимальности, учитывающим интересы всех участников (см. раздел 1.4) и общесистемными ограничениями, рассмотренными выше. Включение прав собственности на ресурсы предприятий позволяет ограничить вариацию коэффициентов βℓ в функции Неймана и Сℓ в функции Роулза рамками ядра экономическойсистемы, еслионосуществует. Выборрешениянаядреосуществляется за счет определения равновесных цен обмена ресурсами, при которых торговые балансы для всех предприятий неотрицательны. Решение оптимизационной задачи, где все ограничения существенны, называется равновесным решение модели, а оптимальные решения, в котором имеются несущественные ограничения, называются квазиравновесными. Равновесные решения не всегда принадлежат ядру экономической системы.

Литература: [2, 3, 4, 7, 9].

Задания

48. Рассмотрим простой числовой пример, иллюстрирующий основные понятия и принципы построения моделей распределения и обмена ресурсами, на примере двух предприятий, производящих однородную продукцию при использовании двух ресурсов и обладающих правами собственности на них.

Технология предприятий задана производственной функцией анализа производственной деятельности (табл. 1).

62

2.2. Распределение ресурсов и обмен ресурсами...

Таблица 1

Каждое предприятие имеет собственные ресурсы (Rjk) в количестве, отраженном в табл. 2.

а) Запишите модели поведения каждого предприятия, найдите локальные решения подсистем. Оцените возможности взаимодействия предприятий.

б) Запишите модель экономического взаимодействия подсистем с единым критерием оптимальности Неймана, используя рассмотренные выше предпосылки построения таких моделей. Определите, существует ли ядро экономической системы. Каково сальдо обмена ресурсамимеждупредприятиями, покакимценамонибудутобмениваться в точке равновесия?

Предполагается, что цена продукции р = 1 ед.

Решение задачи а) Используя исходные данные, запишем модели поведения фирм,

действующих изолированно друг от друга:

63

2. Моделирование сферы производства

На основе данных моделей определяются локальные объемы выпу-

Вторая технология на втором предприятии является неэффективной, y22 = 0 (проверить графически). Из решения задач следует, что объединение предприятий может быть взаимовыгодно, так как на первом предприятии в избытке имеется первый ресурс, а второй ресурс дефицитный, на втором — второй ресурс в избытке, первый является дефицитным. Предприятия могут обмениваться ресурсами в целях увеличения выпуска:

∆1 = ∆R11 – ∆R21, ∆2 = ∆R22 – ∆R12.

Величины ∆Rjk определяются в модели взаимодействия подсистем через экономические нормативы — цены обмена.

б) Запишем оптимизационную модель взаимодействия подсистем с функцией Неймана:

F (R) = Y = F1(R1, ∆1) + F2 (R2, ∆2),

где Fk (Rk, ∆k) = βk F(R), ∑βk =1.

k

64

На рисунке ломаная линия ABC представляет множество эффективных решений рассматриваемой модели (уравнения (1)–(2)). Точка A — субоптимальное решение первой подсистемы, точка C — второй, точка B является равновесным решением системы, при котором все ограничения существенны: y1 = y2 = 4 ед., а β1 = β2 = 0,5. Ядру экономической системы соответствует ломаная линия DBE. Точка D определяется локальным решением первой фирмы (уравнение 3), точка E — локальным решением второй фирмы (уравнение 4). Эти точки определяют границы ядра — подмножества множества эффективных решений. Все точки ядра, кроме точки B, дают квазиравновесные решения, так как некоторые из общих ограничений являются в этих точках несущественными. При этом для первой подсистемы неприемлемывсеточки, лежащиелевееDC, адлявторой — лежащие

65

2. Моделирование сферы производства

правее EA. Для того чтобы определить границы ядра, находим решения в точках D и E:

FD =83 +143 = 223,

FE =143 +3 = 233,

и соответствующие им значения βk (уравнения (3)–(6)):

822 ≤β1 ≤1423, 923 ≤β2 ≤1422.

Для того чтобы получить единственное решение, принадлежащее ядру, в частности, равновесное решение, возвращаемся к локальным моделям предприятий. Чтобы производить по 4 ед. продукции, первому предприятию необходимо приобрести 4 ед. второго ресурса, продав 2 ед. первого, а второму предприятию — приобрести 2 ед. первого ресурса, продав 4 ед. второго. Получаем ∆1 = –2 ед., ∆2 = 2 ед. Из соотношений финансовых балансов получаем соотношение цен обмена: p1 p2 = 2 , (уравнения (7)–(9)). При других соотношениях цен в точке B условия модели выполняться не будут и обмен между предприятиями невозможен.

49. Два предприятия производят однородную продукцию, используя два ресурса в количествах R11 = 7 ед. и R21 = 6 ед. на первом предприятии; R12 = 8 ед. и R22 = 10 ед. на втором предприятии. Технологии производства заданы следующими производственными функциями:

F1(x1) = min {x11, 1,5 x21}, F2(x2) = min {2 x12, x22}.

а) Запишите локальные задачи предприятий, покажите, возможно ли их взаимодействие.

б) Запишите модель взаимодействия предприятий. Каковы границыядравзаимодействияподсистем, принадлежитлиравновесноерешение ядру? Существует ли совместное решение при β2 = 0,6 (вкладе второй подсистемы в общее решение), если да, каково сальдо обмена ресурсами и цены обмена в этой точке эффективного множества?

66

2.3.Налог на прибыль, структура капитала и цена капитала...

2.3.Налог на прибыль, структура капитала

ицена капитала. Стоимость компании, теоремы Миллера — Модильяни, финансовый рычаг и его сила

В данном подразделе вводится понятие структуры активов, что позволяет интегрировать в модель поведения фирмы подходы к моделированию корпоративных решений о финансовом планировании.

Налог на прибыль фирмы (τс) нейтрален по отношению к деятельностифирмы, однакоонвлияетнарядфинансовыхпоказателей, если учитывается структура капитала (K). В модели поведения фирмы

П = (1 – τс)(pF(K, L) – wL – iK)

предполагается, что все капитальные активы состоят из долга, за который выплачиваются проценты. В действительности большинство предприятий имеют смешанные активы.

В финансовом анализе величина По = (pF(K, L) – wL) называется операционным доходом (прибылью) или доходом до выплаты процентов и налогов (earnings before interest and taxes). Из опера-

ционной прибыли в первую очередь уплачиваются проценты по долговым обязательствам (получаем чистую прибыль), а затем уже налог на прибыль. Чистый доход после выплаты налогов и есть тот доход, который может использоваться на выплату акционерам (дивиденды) и для финансирования компании (нераспределенная прибыль).

Корпорация может финансировать свою деятельность с помощью эмиссии различных ценных бумаг: облигаций, обыкновенных и привилегированных акций. Набор ценных бумаг называется структурой капитала. Совокупные капитальные активы можно представить как сумму акционерного капитала (S) и долговых обязательств (B):

K = S + B.

67

2. Моделирование сферы производства

Тогда уравнение прибыли будет записано следующим образом:

П = (1 – τс)(pF(K, L) – wL – iB),

где iB — процентные платежи по долговым обязательствам. В таком виде задача максимизации прибыли при заданном спросе на продукцию не имеет решения из-за избыточности переменных. Для того чтобы связать переменные капитала между собой, вводится понятие структуры капитала.

Для измерения структуры капитала в основном применяются два типа показателей, позволяющих оценить относительную величину долговых обязательств.

1. Балансовые показатели:

– коэффициент «квоты собственника», или финансовый «рычаг» (debt-equity ratio), четко отражающий структуру капитала:

k = BS ;

–коэффициент задолженности: отношение совокупного долга

ксовокупным активам:

k′ = KB .

2. Второй тип показателей связан с информацией о доходах и расходах фирмы:

– коэффициент «покрытия» процентов (times interest earned), дающий возможность оценить способность корпорации обслуживать долг:

f= ΠiBo ;

–текущий коэффициент «покрытия» (current ratio), оценивающий способность фирмы платить в срок по обязательствам и осуществлять производственные расходы:

68

2.3. Налог на прибыль, структура капитала и цена капитала...

OK −C

f ′ = Банковский кредит ,

где ОК — оборотный капитал, С — себестоимость производства корпорации.

Все показатели могут регулироваться финансовыми органами по отраслям производства.

С помощью этих показателей можно оценить воздействие структуры капитала на стоимость компании, прибыль на акцию, цену капитала, способность эффективно вести производственную деятельность.

Для дальнейшего анализа введем показатель доходности совокупных активов r:

r = pF(K, L) − wL , K

тогда операционный доход можно записать следующим образом:

По = r K,

а уравнение прибыли, с учетом структуры капитала и его доходности,

П = (1 – τс)(r K − i B) = (1 – τс)(r (B + S) – i B),

Если N — число акций корпорации в обращении,

N = Sh ,

где S — стоимость акционерного капитала, h — стоимость акции, то уравнение прибыли на акцию EPS (earnings per share) будет иметь следующий вид:

69

2. Моделирование сферы производства

EPS = (1−τc )(rK −iB) = h (1−τc )(r(B + S) −iB . N S

Используя коэффициент «квоты собственника», перепишем:

Из этих соотношений можно заключить, что рост коэффициента «квоты собственника» ведет одновременно:

–к росту ожидаемой доходности, если r > i;

–к росту риска владения акциями компании, имеющей долговые обязательства, поскольку величина r, доходность активов компании, подвержена значительным колебаниям.

Если представить r как случайную величину, имеющую среднее

значение r* и дисперсию r2, тогда уравнение ожидаемой прибыли на акцию будет записано следующим образом:

а дисперсия прибыли на акцию —

σ2EPS =[h(1−τc )(1+ BS)]2 σ2r .

Из последнего уравнения видно, что чем выше коэффициент k = = BS , темвышенеопределенностьприбылинаакцию. Выбираяструк-

туру капитала, приходится учитывать альтернативу «риск — доходность».

Уже отмечалось, что налог на прибыль нейтрален к деятельности компании, однако он воздействует на стоимость компании, если учитывается структура капитала.

Ф. Миллером и М. Модильяни была сформулирована следующая теорема (теорема 2).

70