Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

2.3. Налог на прибыль, структура капитала и цена капитала...

Стоимость компании, имеющей долговые обязательства, превосходит стоимость компании, принадлежащей к той же группе риска и имеющей тот же поток прибыли, но свободной от долговых обязательств, на величину τс В, где τс — ставка налога на прибыль, В — сумма долговых обязательств.

Теорема верна при следующих допущениях:

–рынки капиталов совершенны;

–рискованность деятельности компаний может быть измерена,

акомпании сгруппированы по уровню риска и имеют одинаковую доходность капитала (r);

–риск по предоставлению кредита равен нулю, несмотря на задолженность.

Докажем данную теорему.

Предположим, что существуют две компании, относящиеся к одной группе риска и имеющие одинаковые капитальные активы, но у одной компании активы свободны от долгов (Kс = Sc ), а другая имеет долговые обязательства (Kд = Sд + B, Kс = Kд).

Стоимость компании определяется дисконтированным денежным потоком, где i — ставка привлечения заемных средств для компаний, относящихся к данной группе риска:

или (сумма бесконечной геометрической прогрессии):

V = (1−τc )Π. i

Тогда для компании, свободной от долгов, запишем:

для компании со смешанным капиталом:

71

2. Моделирование сферы производства

Получили оценочные стоимости компаний. Рыночная стоимость компании возникает в процессе купли — продажи. Предположим, что инвестор решил избавиться от компании с долгами (или пакета акций размера β %) и купить компанию свободную от долгов (или такой же пакет акций). С этой целью он продает акции своей компании на сумму Sд ед., занимает недостающие деньги в количестве В ед., покупает за величину K = (Sд + B) акции компании, свободной от долгов, платит налоги с дохода, затем возвращает долги. Так как он создает личный рычаг, проценты не вычитаются из прибыли до налогообложения, как при корпоративном долге, и для данного инвестора рыночная стоимость компании без долгов будет следующей:

а так как стоимость компании с долгами

получаем

VД = Vc + τ B,

где τ В — «налоговый щит», та величина, на которую увеличивается стоимость компании с долгами.

Показатель, измеряющий силу финансового рычага, DFL (degree of financial leverage), и характеризующий волатильность акций компании, показывает, на сколько процентов изменится EPS, если операционная прибыль возрастет (сократится) на 1 %.

или

72

2.3. Налог на прибыль, структура капитала и цена капитала...

где f = Ï0 iB

что чем ниже f, тем выше волатильность акций компании с долгами.

Структура капитала оказывает воздействие и на стоимость привлечения капитала с учетом выплаты налога на прибыль:

rk = r(1 – τ),

которая включает стоимость привлечения акционерного капитала (rs)Показательи заемного капиталадоходности(rв)акционерного. капитала можно записать следующим образом:

rs = (1−τc )(Ï0 −iB) ,

S

так как (1 – τc)По = (1 – τc)rK = rk K, то

rk = rS KS +i(1−τc ) KB ,

где i (1 – τc) = rB — стоимость привлечения заемного капитала.

Это выражение называется взвешенной средней стоимостью капитала, или взвешенными средними издержками привлечения ка-

питала WACC (weighted average cost of capital). Именно WACC = rk,

как правило, используется в качестве коэффициента дисконтирования для компаний со смешанным капиталом.

Для определения оптимальных величин структуры капитала, прибыли на акцию, WACC и пр. необходимо найти решение модели поведения фирмы с учетом данной структуры. Для этого выразим переменную B (заемный капитал) через переменную совокупных активов компании (К), используя коэффициент «квоты собственника». Если

шанным капиталом будет записана следующим образом:

73

2.Моделирование сферы производства

Π= (1−τc )[ pF(L, K) − wL −i 1+k k K ] → max,

F(L, K) = Y,

K, L ≥ 0.

Из условий Куна — Таккера для уравнения прибыли при определенных заданных параметрах находим неизвестные величины, включая оптимальные значения коэффициента «квоты собственника», характеризующего структуру капитала, доходности совокупных ак-

тивов, WACC, EPS и пр.

Литература: [1, 12].

Задания

50.Докажите первую теорему Ф. Миллера и М. Модильяни: если корпорации не платят налог на прибыль, то совокупная рыночная стоимость компании не зависит от структуры капитала. Воспользуйтесь теми же предположениями, что использовались выше в тексте.

51.Технологияфирмы, использующейсмешанныйкапитал, характеризуется производственной функцией F(K, L) = 2L0,8 K0,1. Известно, что фирма имеет долги B = 150 ед., фонд оплаты труда составляет 240 ед., а доходность ее акционерного капитала — 14 % при ставке налога на прибыль 30 %.

а) Определите операционную, акционерную прибыль, структуру капитала и WACC в точке оптимума.

б) Определите прибыль на акцию, если предприятие владеет обыкновенными акциями номиналом h = 3 ед.

в) Определите силу финансового рычага и его воздействие на EPS — прибыль на акцию.

г) Продемонстрируйте для данного примера вторую теорему Миллера — Модильяни (предполагается, что величина чистого дохо-

74

2.3. Налог на прибыль, структура капитала и цена капитала...

да после выплаты налога постоянна): рыночная стоимость компании

сдолгами больше стоимости компании без долгов на величину (τс В).

52.Технологияконкурентнойфирмы, неимеющейдолгов, использующей два ресурса и производящей один продукт, задана производственной функцией анализа производственных способов. Известны векторы удельных затрат труда t = (1; 1,5; 1,2) и капитала f = (2,5; 2; 1,8), величина акционерного капитала S = 65 ед., количество персоналаL = 30 ед., ценапродукции — 1 ед., количествообыкновенных акций N = 50 ед.

а) Запишите модель поведения фирмы, найдите ее акционерную прибыль и прибыль на акцию. Покажите, что двойственная переменная ограничения по капиталу равна доходности активов (r).

б) Акционерная фирма в целях улучшения управляемости активами прибегает иногда к выкупу собственных акций, как правило у миноритарных акционеров. Обратный выкуп акций не дает прироста активов, он их лишь перераспределяет, так как для выкупа акций часто приходится использовать заемный капитал. Но выкуп акций за счет создания «рычага» увеличивает как величину EPS, так и риски владения акциями.

Фирма в данном примере решила выкупить 60 % акций по номиналу, заняв для этого необходимые средства под ставку % не выше, чем доходность ее активов. Как это отразится на величине EPS, каков будеткоэффициентпокрытияпроцентов( f ) исилафинансового«рычага» в этом случае?

53.Технология конкурентной фирмы, использующей только акционерный капитал, задана производственной функцией F(K, L) =

=min{2L + 4; K}. Заданы также цена труда — 3 ед., доходность активов r = 0,15 , налог на прибыль 25 %, стоимость акции — 0,8 ед.

а) Определите объемы потребляемых факторов, количество акций в обращении и EPS.

б) Фирма оценила, что спрос на ее продукцию вырастет на 50 %, и для обеспечения спроса привлекает дополнительный капитал, ожидая ту же доходность активов. Она может выбирать между двумя ис-

75

2. Моделирование сферы производства

точниками финансирования: эмиссией обыкновенных акций по той же стоимости и кредитом под 12 % годовых. Покажите, что произойдет с доходом на акцию при различных способах дополнительного финансирования, каковы будут объемы потребляемых факторов, величина «рычага» в случае заимствования, ставка заработной платы и цена продукции. Выгодно ли фирме привлекать дополнительный капитал?

2.4.Поведение фирмы на несовершенных рынках (основы)

Выше уже было показано, что на конкурентных рынках при заданных ценах на продукцию и ресурсы не могут функционировать компании, технологии производства которых задаются производственными функциями с возрастающей эффективностью (n > 1) или соответствующими им функциями производственных затрат с возрастающей эффективностью:

C(Y) = cYα + d,

где α = 1n <1 и AC > MC.

Такую ситуацию, наличие невыпуклостей в производстве, называют «провалом» конкуренции, когда существование большого количества предприятий в отрасли оказывается менее эффективным, чемналичиеоднойкрупнойкомпании. Речьидетопадениипредельных издержек по сравнению со средними издержками и, соответственно, возрастании рентабельности в сфере производства. Другим механизмом, порождающим этот «провал», могут стать высокие издержки входа на рынок. Препятствием для входа на рынок может стать и необходимость высокоразвитой кооперации при производстве товаров и услуг (например, водоснабжение и очистка воды). Сбой конкуренции может возникнуть при неэластичном спросе на продукцию от ее цены, а также при наличии внешних эффектов

76

2.4. Поведение фирмы на несовершенных рынках (основы)

(экстерналий). Правительство может контролировать такие отрасли непосредственно либо регулировать их. В отсутствие государственного вмешательства эти отрасли промышленности будут контролироваться несколькими компаниями со значительной монопольной властью и при установлении более высоких цен.

Фирма-монополист обладает властью оказывать влияние на цену продукции, варьируя свой выпуск, ориентированный на спрос потребителя:

p = p(Y),

а фирма-монопсония может влиять на цену затрат, варьируя объем покупок ресурса:

wj = wj(xj).

Функцияp(Y) называетсяобратнойфункциейспросанапродукцию, функция wj = wj(xj) — обратной функцией предложения ресурса.

Из свойств функций спроса следует, что ∂∂Yp < 0.

Из свойств функций предложения следует, что ∂wj > 0.

∂xj

Модель поведения монополиста может быть записана следующим образом:

П = p(Y) Y – C(Y) – d → max, Y > 0.

Изусловийоптимумаприбылисучетомтого, что∂Y/∂p < 0 (закон спроса), получаем

∂∂Ïy = p(1 – ∂∂py Yp ) – MC = 0,

или

77

2. Моделирование сферы производства

предельныйдоходравенпредельнымиздержкам. Отсюдаследует, что |Еy| > 1, где |Еy| — эластичность спроса от цены продукта. Монополия действует только на эластичном участке кривой спроса, ее предельный доход меньше цены, в то время как для конкурентной фирмы предельныйдоходравенцене. Ценажедлямонопольнойфирмыформируется как предельные издержки плюс надбавка.

Из условий равновесия следует соотношение

1 = p − MC , Ey p

которое получило название индекс концентрации Лернера. Данный индекс характеризует долю рынка, занимаемую фирмой, или силу ее монопольной власти.

Эластичность спроса не может задаваться произвольно, она находится в довольно жестких рамках, определяемых типом функции издержек. Используяусловияравновесиядлямонополии, запишемуравнение оптимальной прибыли:

где AC = C(Y ) + d . Y

Из данного соотношения получаем:

чем больше отдача от масштаба производства фирмы, тем меньшей эластичностью характеризуется компания и тем выше будет ее цена. Кроме того, фирма вынуждена производить тем больший объем продукции, чем больше ее входные издержки на рынок (d).

78

2.4. Поведение фирмы на несовершенных рынках (основы)

Эту ситуацию легко рассмотреть на примере функции издержек

C(Y ) = c Y + d.

откуда, из соотношения для прибыли в точке оптимума, получаем:

1 < |Ey| < 2, при 0 < Y < ∞.

Предположив |Ey| = 1,5, можем определить объем производства фирмы и цену, которую она назначит в этом случае:

Можно проверить: если данная фирма разделится на две одинаковые, она будет производить меньший совокупный объем продукции при большей цене.

Надо отметить, что фирма-монополист может успешно функционировать при постоянной отдаче от масштаба производства (линейной функции издержек), но доля рынка в этом случае будет относительно невысокой.

Из модели поведения монопсонии

Π = pF(x) −∑wj (xj )xj → max

j

получаем (помним, что ∂xj /∂wj > 0 — закон предложения для фактора)

где Ej — эластичность предложения фактора xj его цены.

79

2. Моделирование сферы производства

Предельная стоимость затрат превышает их оплату, а распределение ресурсов не обладает эффективностью по Парето при различной эластичности предложения факторов (j = 1, 2):

MP1 = w1(1+1E1) .

MP2 w2 (1+1E2 )

Задача «двойной» монополии, монополии и монопсонии одновременно, будет записана следующим образом:

Π = p(Y )Y −∑wj (xj )xj → max,

j

F(x) ≥ Y,

xj, Y > 0, j = 1, …, k.

Введем множитель Лагранжа λ и запишем функцию Лагранжа для данной задачи:

L(x,Y ,λ) = p(Y )Y −∑wj (xj ) +λ(F(x) −Y ).

j

Из условий Куна — Таккера для функции Лагранжа получим:

F(x) = Y.

После подстановки

80