Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

3.2.Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

3.2.2.Оптимизационные модели на основе матрицы межотраслевого баланса

От модели межотраслевого баланса материально-вещественных связей достаточно просто перейти к построению оптимизационной межотраслевой модели с различными критериями оптимальности. Межотраслевойбалансматериально-вещественныхсвязейможетин- терпретироваться как частный случай оптимизационной межотраслевой модели. Основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели при сохранении всех допущений, принятых при построении межотраслевого баланса. Из этих допущений следует, что балансы производства и распределения продукции в оптимизационных межотраслевых моделях всегда выполняются как равенства:

(E – A)X = Y,

что существенно облегчает поиск решения в них.

В качестве критерия оптимальности в межотраслевых оптимизационных моделях также могут использоваться функции общественнойполезности. Однакоиспользованиетиповыхфункцийполезности переводит, как правило, межотраслевые модели в класс задач нелинейного программирования, которые рассматривались в пункте 3.1, что усложняет поиск решения.

Широкое применение в оптимизационных межотраслевых моде-

лях получил критерий оптимизации фонда потребления в заданной структуре. Данный критерий позволяет сохранить свойства задач линейного программирования, но избежать недостатка, присущего таким линейным функциям полезности, как максимизация суммарного фонда потребления (см. раздел 1.1).

Пусть Z — общий фонд потребления домашних хозяйств, а αi — коэффициент, характеризующий долю продукции i-го вида в фонде потребления населения, тогда yiП = αi Z — функция спроса потребителя на i-й товар. Значение фонда личного потребления будет определяться следующими соотношениями:

111

3. Модели общего экономического равновесия

yiÏ ≥ αi Z,∑αi = 1,

i

а все конечное потребление i-й отрасли может быть записано как

yi = αiZ + Qi,

где Qi — «прочая» конечная продукция, включающая накопление, расходы государства и т. д., величина, которая задается экзогенно.

Оптимизационная межотраслевая модель с данным критерием оптимальности, n отраслями и m ресурсами в векторно-матричной форме может быть записана следующим образом:

Z → max,

(E – A)X – αZ ≥ Q,

fk X ≤ Rk, k = 1, …, m, X, Z > 0.

Данная модель представляет собой задачу векторной оптимизации, позволяющую определить множество эффективных по Парето решений для различных векторов-столбцов структуры потребления продукции α = (αi ), i = 1, …, n. Если вектор α — орт, получаем субоптимальные решения, при которых только одна отрасль имеет максимальный объем потребления, а все остальные имеют нулевые значения. Понятно, что не все Парето-эффективные решения приемлемы, в частности и такие, как субоптимальные решения. Объемы конечного потребления отраслей, как и фонд личного потребления вцелом, должныудовлетворятьнекоторымусловиямразвитияэкономики. Этиусловияпозволяютопределитьединственноекомпромиссное решение в данной модели при некоторой заданной структуре потребления.

Оптимальный план такой задачи достигается чаще всего при использовании только одного ресурса. При производстве n продук-

112

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

тов, использующих m ресурсов, в задаче имеется (n + 1) переменная и (n + m) уравнений. Из теории линейного программирования известно, что в оптимальном плане число положительных переменных не превышает числа уравнений, вышедших на равенство. Единственность и невырожденность оптимального плана можно рассматривать как типичное свойство межотраслевых моделей, в которых все уравнения сбалансированности спроса и предложения продукции выполняются как строгие равенства:

(E – A)X = αZ + Q, X = (E – A)–1(αZ + Q),

и задача может быть приведена к виду:

Z → max,

fk (E – A)–1(αZ + Q) ≤ Rk,

Z > 0,

или

Z → max,

Fk αZ ≤ RkZ—> 0,Fk Q = Rk ,

Получаем задачу с одной переменной Z и m ограничениями по ресурсам. Оптимальное значение Z * определяется следующим соотношением:

где Rk = (Rk – FkQ) — затраты ресурса k, используемого для обеспеченияфондапотребленияZ, FkQ — затратыресурсаk, используемого для обеспечения «прочей» конечной продукции Q; Fk = Fkα — сред-

невзвешенные полные затраты k-го ресурса на единицу фонда по-

требления Z, k = 1, …, m.

113

3. Модели общего экономического равновесия

Таким образом, оптимизационные модели, построенные на основе матрицы межотраслевого баланса, могут решаться в два этапа: на первом этапе решаем свернутую задачу относительно переменной Z, на втором — определяем объемы валовых выпусков продукции отраслей:

X = (E – A)–1 (αZ + Q).

Ограничениям оптимизационной межотраслевой модели соответствуют оптимальные оценки всех видов продукции и ресурсов:

vj = (−∂∂ZQj ) > 0 — оптимальные оценки продукции, j = 1 , …, n.

Из условий (E – A)X = αZ + Q следует, что все оценки продукции строго положительны (вторая теорема двойственности);

∂Z wk = ∂Rk

данной постановки задачи следует, что только оценка одного ресурса s положительна: ws > 0, остальные wk = 0, для всех k ≠ s.

Двойственная задача в матрично-векторной форме может быть записана так:

wR – vQ → min,

–v(E – A) + wf ≥ 0, vα ≥ 1,

v >0, w ≥ 0.

Из ограничений двойственной задачи следует, что по каждому продукту предельная выручка не превышает предельной стоимости затрат на его производство. Для продуктов, вошедших в оптимальный план, выполняется строгое равенство (принцип нулевой прибыли). Для продуктов, не вошедших в оптимальный план, выполняется строгоенеравенство: предельнаявыручкаменьшепредельныхиздержек производства (убыточность производства).

В данном случае все ограничения двойственной задачи выполняются как строгие равенства по условиям дополняющей нежесткости,

114

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

таккаквсепеременныеxi, Z > 0. Критерийоптимальностидвойственнойзадачиозначаетминимальнуюстоимостьресурсов, необходимых для обеспечения фонда потребления Z*. Задача содержит (n + m) переменных и (n + 1) уравнений. Из того, что все оптимальные оценки продукции vj > 0, следует, что только одна переменная wk, k = 1, …, m, будет положительна.

Используя соотношение v = wf (E – A)–1 = wF, можем записать свернутую двойственную задачу:

∑wk Rk → min,

k

∑wk Fk =1,

k

wk ≥ 0, k =1, ..., m.

Получаем задачу с одним уравнением и k переменными оптимальных оценок (цен) ресурсов — wk. Из полученных соотношений видно (свойства задач линейного программирования), что только однаоценканекоторогоресурсаs можетбытьположительной: та, для которой выполняется

ws = max 1 ,

k Fk

все остальные оценки ресурсов wk = 0 для всех k ≠ s.

Оценка (цена) ресурса измеряется его эффективностью: средневзвешенной полной производительностью фактора (см. раздел 2).

Возвращаясь к исходной двойственной задаче, определяем оптимальные оценки продукции, которые будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса:

v = ws fs (E – A)–1 = wsFs,

или, для j-го продукта,

115

3. Модели общего экономического равновесия

vj = ws Fsj,

где Fs = (Fsj), a v = (vj).

Можно видеть, что оптимальная оценка продукции vj в оптимизационноймежотраслевоймодели, такжекакиявнаяценапродукцииpj вмоделимежотраслевогобаланса, измеряетполныезатратыресурсов напроизводствопродукцииi-говидасучетомценресурсов. Вслучае одного дефицитного ресурса vj = pj = wsFsj , а соотношение оптимальных оценок продукции (например, для двух продуктов) будет равно отношению явных цен продукции и равно отношению полных затрат s-го ресурса, идущего на производство данного вида продукции:

Эти соотношения еще раз подтверждают: оптимальные оценки продукции и ресурсов в задачах математического программирования обладают всеми свойствами равновесных цен.

В соответствии с первой теоремой двойственности для задач линейного программирования, в точке оптимума функционалы прямой и двойственной задач равны. В векторно-матричной форме запишем:

Z = wR – vQ,

или

Z + vQ = wR.

Полученное соотношение означает, что использованный конечный продукт в экономике (фонд личного потребления плюс «прочие» расходывценностномвыражении) равенсозданномуконечномупродукту (добавленной стоимости) или стоимости затраченных первичных ресурсов — условие макроэкономического равновесия.

Аналогичнонаходимрешениявоптимизационноймежотраслевой модели с ограниченными производственными мощностями и максимизацией фонда потребления в заданной структуре.

116

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

Можно отметить свойства оптимального решения задач данного типа:

•оно единственно;

•если Y ≥ 0 и матрица А неразложима, то X > 0;

•балансы производства и распределения продукции выполняются как равенства: (E – A)X = Y;

•оптимальные значения вектора валовых выпусков X = (xi) не зависит от коэффициентов целевой функции;

•все оценки (цены) продукции строго положительны;

•как правило, только один ресурс является дефицитным и, соответственно, только одна цена ресурса строго положительна.

Последнее свойство модели не совсем адекватно экономической реальности, однако позволяет выявить «узкое место» в экономике: определить первичный ресурс (или производственную мощность), сдерживающие ее развитие. Включение в модель дополнительных условий позволит использовать в оптимальном плане большее количество ресурсов.

При рассмотренном критерии оптимальности структура потребления жестко задана и норма замены благ равна нулю. Если же необходимо учитывать взаимозаменяемость благ в процессе личного потребления, в качестве общественной функции полезности могут

использоваться некоторые функции, рассмотренные в разделе 1, в частности степенные функции. Несмотря на то что задача становится нелинейной, она сохраняет вышеперечисленные свойства решений межотраслевых моделей.

Модель межотраслевого баланса, равно как и оптимизационная межотраслевая модель, может достраиваться новыми зависимостями при сохранении всех свойств моделей. В частности, такие модели могут включать зависимости между объемами производства и образующимися в процессе производства побочными продуктами, загрязняющими окружающую среду. Такое развитие модели «затраты — выпуск» было предложено В. Леонтьевым и Д. Фордом [8, 6]. Примеры задач, использующих подход Леонтьева — Форда, приведены в разделе для самостоятельной работы.

117

3. Модели общего экономического равновесия

Задания

76. Для оптимизационной модели МОБ с ограничением на количество трудовых ресурсов и критерием максимизации конечной продукции покажите, что решением будет выпуск продукции только в отрасли с минимальными полными затратами труда. Запишите дифференциальную характеристику точки выбора оптимальной структуры производства для данной целевой функции. Дайте ей экономическую интерпретацию.

77. Для оптимизационной межотраслевой модели с ограничениямипопроизводственныммощностямимаксимизациейпотребления в заданном ассортиментном соотношении (α1 / α2 = 1,5) заданы векторы «прочей» конечной продукции Q, производственных мощностей N и матрица коэффициентов материалоемкости A:

а) Определите объемы производства, потребления продукции, равновесные цены ресурсов и продукции. Какая из отраслей сдерживает рост конечного потребления? Какова норма потребления в данной экономике? Если Q — вектор спроса государства на продукцию отраслей, покажите, что в полученных ценах доходы и расходы бюджета равны.

б) Если в экономике изменится структура потребления населения: α′1 / α′2 = 1, как это отразится на решении задачи, включая цены? Покажите, что в полученных ценах использованный конечный продукт равен созданному конечному продукту.

78.В двухсекторной оптимизационной межотраслевой модели

содним ограниченным ресурсом трудом и учетом взаимозаменяемости благ в процессе личного потребления функция полезности потребителей имеет вид

118

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

10

• вектор фиксированной части конечной продукции (ед.) Q = ;

20

•вектор прямых отраслевых трудоемкостей t = (0,5, 1);

•объем трудовых ресурсов L = 246 ед.

а) Запишите оптимизационную межотраслевую модель. Определите вид функций спроса на товары. Может ли какой-то из товаров быть товаром роскоши?

б) Определите объемы производства, потребления продукции, цены продукции и ресурса, предельную норму замещения продуктов. Продемонстрируйте первую теорему благосостояния при условии, что Q — расходы государства, и оно вводит только пропорциональный подоходный налог. Какова будет ставка этого налога для потребителей?

б) Если в экономике производительность труда первой отрасли упадет на 1/3, как это отразится на спросе продукции, ценах продукциииресурса? Чтопроизойдетсдоходаминаселения, насколькопроцентов они изменятся, что будет с уровнем инфляции в экономике?

79. Межотраслевые модели могут включать условия взаимозаменяемости продукции в процессе производства, в частности могут использоваться функции анализа производственных способов (раз-

дел 2.1):

∑xiϕ = ∑aijϕ(xj ) + yi , i = 1, …, n,

ϕϕ, j

∑fkjϕxjϕ ≤ Rk , k, ..., m.

j,ϕ

119

3.Модели общего экономического равновесия

Вотличие от основной модели МОБ, модель с учетом взаимоза-

меняемости продукции и ресурсов включает переменных xiφ больше, чем число уравнений, балансирующих спрос и предложение продукции. Для получения единственного решения такая модель должна быть дополнена критерием выбора наиболее эффективных вариантов, например, с точки зрения минимальных затрат ресурсов.

Рассмотрим такую ситуацию.

Вдвухсекторной экономике известно, что первый продукт производится двумя способами, а второй — одним. Матрица прямых затрат имеет вид, обозначенный в таблице.

Задан вектор фиксированной части конечной продукции

10 Q = 10 ,

лимит трудовых ресурсов составляет 110 ед.

Относительно системы общественных предпочтений потребителей известно, что функция полезности характеризуется заменой благ в широкой области, заведомо включающей точку оптимума.

Выявленная кривая безразличия кусочно-линейна с вершинами

(5, 2), (2, 3) и (1, 4).

Найдите набор лучших способов производства, коэффициенты полных затрат труда при этих способах, выпуск, максимизирующий функцию полезности. Определите цены продукции и ресурсов.

120