Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

где xj′ (w,Y) — хиксианская функция спроса на ресурс j, а e(w, Y) — функция издержек.

По теореме взаимности, если в точке оптимума для взаимных задач выполняется

F(x(w, C)) = Y, e(w, Y) = C,

то решения задач совпадают:

xj (w, C) ≡ xj′ (w, Y).

Функция издержек фирмы обладает теми же свойствами, что и функция расходов потребителя, и может быть инвертирована из полученной косвенной производственной функции F(x(w,С)).

Для функции производственных расходов e(w, Y) выполняется лемма Шепарда:

∂e(w,Y )

∂wj = xj′ (w, Y).

Для косвенной производственной функции выполняется тождество Роя:

Из тождества решений можно вывести уравнения Слуцкого для функций спроса на ресурсы:

51

2. Моделирование сферы производства

на основе которого можно оценить эффекты замещения и расходов (издержек) приизмененииоднойизценресурсов, атакжедатьхарактеристику ресурсов.

Кроме того, в точке оптимума исходной задачи поведения фирмы получаем (m + 1) тождество

p∂F(x( p, w)) ≡

∂xj wj ,

F(x(p, w)) ≡ Y(p, w).

Дифференцируя эти тождества по (m + 1) параметрам p и wj, мож-

но вывести ряд соотношений сравнительной статики производства:

∂Y

∂p

ложения);

∂Y < 0, j = 1, …, m — рост цены j-го ресурса должен вести

∂wj

к уменьшению выпуска продукции;

∂xj < 0, j = 1, …, m — с ростом цены ресурса спрос на него пада-

∂wj

ет (выполнение закона спроса).

По знаку выражения ∂xj можно судить о заменяемости (> 0) или

∂wA

дополняемости (≤ 0) ресурсов для всех j, ℓ = 1, …, m.

(Выводданныхсоотношенийвыноситсянасамостоятельнуюра-

боту [7, с. 256–262].)

Для прикладных исследований большой интерес представляет

производственная функция анализа производственных способов,

52

2.1. Неоклассическая теория фирмы...

которая является линейной аппроксимацией степенной производственной функции F(x) = x1α x2β со степенью однородности n = α + β = 1 при заданных объемах ресурсов R1 и R2, которые и определяют объем выпуска продукции Y. Функция анализа производственных способов включает ψ элементарных процессов, называемых способами производства, каждый из которых характеризуется фиксированной нормой технологического замещения ресурсов

MRTSψ = αx2ψ и может протекать при любой неотрицательной ин-

12 βx1ψ

тенсивности использования ресурсов xjψ. Тогда

сов на единицу выпуска по способу производства ψ.

Таким образом, нелинейная задача максимизации выпуска

pF(x) = px1α x2β → max, x1 ≤ R1,

x2 ≤ R2, xj ≥ 0,

сводится к задаче линейного программирования

53

2. Моделирование сферы производства

pY = p∑yψ → max,

ψ

∑aψ yψ ≤ R1,

ψ

∑aψ yψ ≤ R2 ,

ψ

yψ ≥ 0.

Функция анализа производственных способов обладает всеми свойствами рассмотренных производственных функций с заменяемыми ресурсами. Но следует помнить, что максимальное число положительных величин yψ не может превышать число полностью использованных ресурсов в оптимальном решении, что следует из свойств задач линейного программирования.

Цены ресурсов, которые измеряются их предельной эффективностью, определяются из задачи двойственной к рассмотренной выше также, какипредельнаянорматехнологическогозамещения. Функции спроса на ресурсы и функции предложения продукта однородны нулевой степени при любых ценах; это означает, что множество цен можно нормировать относительно одной из них, выбрав ее в качестве единицы счета. Этот прием часто используется при экономических расчетах, в частности цена продукции (р) принимается за единицу, а цены ресурсов определяются относительно нее. В экономическом анализе важно знать соотношение цен, а не их абсолютное значение.

Из равенства функционалов прямой и двойственной задач (первая теорема двойственности) следует, что прибыль фирмы равна нулю, что соответствуетвыводам, полученнымранее(докажитесамостоятельно).

Поскольку способы производства аккумулируют самые разнообразныепризнакидифференциациипроизводственныхусловий, число способов может быть очень велико. Поэтому актуальной является задача предварительного исключения абсолютно неэффективных способов производства.

Способ ψ производства продукции i абсолютно неэффективен, если существует какой-либо другой способ или выпуклая комбинация других способов, при которых равный выпуск продукции осу-

54

2.1. Неоклассическая теория фирмы...

ществляется при меньшем потреблении хотя бы одного ресурса и не большем потреблении других ресурсов. Абсолютно неэффективные способы не могут войти в оптимальный план производства, если возможности эффективных способов не будут ограничены.

Налогообложение и фирма

Существуют различные налоги, которые устанавливаются государством на деятельность фирмы. Можно выделить две основные группы таких налогов.

1.Налоги на факторы производства, к которым относятся налог на фондзаработнойплаты(противоположностьювыступаютсубсидиигосударства на выплату заработной платы), налог на прибыль корпорации, где объектом налогообложения является чистая прибыль предприятий (завычетомпроцента). Подобносубсидиямнаоплатутрудасуществуют субсидиинакапиталовложения— налоговыескидкинакапитал.

2.Налоги на валовой выпуск или валовые затраты. Один из наиболее обсуждаемых налогов — налог на добавленную стоимость (НДС), созданную фирмой. Последствия установления НДС зависят от определения базы налога. Налог с оборота и налог на продукцию

устанавливаются на стоимость валовой продукции.

Литература: [1, 3, 5, 7, 9].

Задания

35. а) Для каждой из нижеприведенных функций определите, при каких значениях параметров они удовлетворяют условиям, налагаемым на вид производственных функций, которые могут использоваться на конкурентном рынке.

1)F1(x1, x2 ) = x1αx2β,

2)F2(x1, x2) = min {ax1, bx2},

3)F3(x1, x2) = ax1 + bx2 + c,

55

2. Моделирование сферы производства

4) F3 (x1, x2 ) = ax1+bx2β.

б) Покажите для данных функций, что предельный продукт j-го ресурса в стоимостном выражении при оптимальном функционировании фирмы не выше цены этого ресурса. При каких условиях имеет место равенство этих показателей?

36.Покажите, что если производственная функция F(x) строго вогнута и, кроме того, F(0) = 0, то прибыль в точке оптимума неотрицательна. Какова доля издержек от валовой выручки в точке оптимума для данных функций, как она связана с отдачей от масштаба?

37.В точке оптимума прибыль можно записать (в векторной форме) следующим образом:

П*(x( p, w)) = p F(x( p, w)) – w x( p, w).

Покажите, что

∂Ï* = F(x( p, w), а ∂Ï* = –x( p, w).

∂p ∂w

38. Конкурентная фирма, производящая один продукт на двух заводах, при использовании одного ресурса минимизирует свои общие издержкипризаданномспросенапродукциюY = 10 ед., ценересурса w = 2 ед. и заданных технологиях выпуска:

а) Запишите модель поведения фирмы. Определите оптимальные объемы выпуска, цену продукции и прибыль фирмы. Является ли решение эффективным по Парето? Дайте экономическую и математическую интерпретации множителю Лагранжа в модели поведения фирмы. Как изменится решение, если цена ресурса возрастет вдвое?

б) Запишите задачу, взаимную к исходной задаче, покажите, при каких условиях решения задач совпадают. Дайте экономическую

56

2.1.Неоклассическая теория фирмы...

иматематическую интерпретации множителю Лагранжа во взаимнойзадаче, покажите, каксвязанымеждусобоймножителиЛагранжа в двух задачах.

в) Выведите функцию издержек фирмы C(Y) на основе заданных

производственных функций Fi(xi). Запишите модель поведения фирмы с полученной функцией издержек, покажите, что решения задач совпадают при тех же исходных данных.

39.Покажите, что произойдет с суммарной прибылью фирмы в точке оптимума, имеющей производственную функцию с убывающей отдачей от масштаба при всех объемах выпуска, если она разделитсянадвеболеемелкиефирмыравногоразмера. Дайтеэкономическую интерпретацию полученному результату. (В качестве примера

можно использовать однофакторную функцию F(x) = a x.)

40.Известно, что спрос потребителей удовлетворяет закону спроса только в случае благ, не являющихся товарами Гиффена, а спрос на факторы производства удовлетворяет закону спроса всегда. Какие свойства моделей рационального поведения фирмы и потребителя предопределяют такие особенности спроса?

41.Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

F(x) = min {4x1, x2} + min {x3, 3х4}.

Цены на ресурсы равны 3, 1, 2 и 3 ед. соответственно при спросе на продукцию в 12 ед. Запишите модель поведения фирмы, дайте ее характеристику. Каковы издержки фирмы и ее прибыль? Покажите связь теоремы двойственности математического программирования

ивеличины прибыли фирмы для данной задачи.

42.Фирма при выпуске продукции (Y) использует два ресурса,

цены на которые равны w1 и w2 соответственно. Функция издержек фирмы имеет следующий вид:

57

2. Моделирование сферы производства

С(w1, w2, Y ) = (w1 + 0,5w2)Y 2.

Выведите вид производственной функции F(x), которой соответствует данная функция издержек, используя результаты теории взаимных задач, определите тип ресурсов.

43. Известно, что изокванта единичного выпуска производственной функции F(x) = x10,5 x20,5 включает три способа производства с соотношением цен ресурсов w1/w2 = (0,25, 1, 4). Запасы ресурсов составляют R1 = 10 ед., R2 = 16 ед.

а) Постройте производственную функцию анализа производственной деятельности, соответствующую заданной производственнойфункции. Покажите, чтозначениястепеннойфункцииифункции анализа способов производства достаточно близки.

б) Определите цены ресурсов и прибыль фирмы при заданной цене продукта р = 1 ед.

44. Конкурентная фирма, выпускающая один вид продукции при использовании трех ограниченных ресурсов и двух технологий, максимизирует валовую выручку:

р ( y1 + y2) → max, y1 + 1,5y2 ≤ 6, 2y1 + у2 ≤ 6, 3y1 + 0,75y2 ≤ 9,

yi ≥ 0.

а) Определите выпуск и прибыль фирмы, если цена продукции р= 1 ед. Продемонстрируйтесвязьвеличиныприбылифирмывточке оптимума и теоремы двойственности для данной задачи.

б) Менеджмент фирмы решил увеличить выпуск на 20 %. Сколько ему для этого понадобится дополнительно ресурсов и какого вида? Запишите модель поведения фирмы, определив критерий оптимальности для данного случая.

58

2.1.Неоклассическая теория фирмы...

45.Пусть государство облагает доход производителя по ставке τ.

Впредположении, что государство максимизирует свои налоговые поступления, а производитель имеет однофакторную производственную функцию F(L) = ALα, найдите ставку налога, которую назначит государство, спрос на труд и выпуск продукции.

46.Конкурентная фирма, производящая продукт в количестве

Y1 с функцией издержек C1(Y1) = 0,5(Y1)2 – Y1, вынуждена производить очистку сопутствующих производству загрязняющих веществ, объем которых составляет 60 ед. Известна функция предельных

издержек очистки: МС2 = 0,5Y2, где Y2 — объем очистки, C2(0) = 0. Вследствие контроля правительства за уровнем загрязнения окружающей среды установлен налог на единицу выброса загрязнений в размере 20 ед.

а) Запишите модель поведения фирмы, определите оптимальный объемочистки. Прикакихограниченияхнавыпускпродукцииицену возможен такой объем очистки?

б) Какова должна быть величина налога на загрязнение среды, чтобы стимулировать фирму на полную очистку загрязняющих веществ?

47.Если функция F(x) задает технологию выпуска конечного продукта, то в качестве факторов (х) выступают первичные ресурсы, как правило, труд (L) и капитал (K). Тогда уравнение прибыли будет записано следующим образом:

П= p ∙ A F(K, L) – w L − i K,

где А — коэффициент масштабирования, w — ставка заработной платы, i — цена капитала (номинальная ставка процента). В экономических исследованиях наибольшую известность получила функция Кобба — Дугласа: F (K, L) = A Kα Lβ, со степенью однородности n = α + β = 1.

а) ТехнологиявыпускафирмызаданафункциейКобба — Дугласа, характеризующейся равными вкладами труда и капитала в выпуск

59

2. Моделирование сферы производства

продукции и общей эффективностью ресурсов, равной 2. Если капиталовооруженность труда вырастет на 9 %, как это отразится на производительности труда фирмы, цене труда и капитала?

б) Запишите уравнение Эйлера для данной функции, покажите, чему равны вклады труда и капитала в единицу выпуска продукции, как эти вклады связаны с показателями степени при ресурсах. Какова будет доля издержек в оптимальном объеме валовой выручки для фирмы, технология которой задана функцией Кобба — Дугласа.

в) Покажите воздействие различных типов налогов на норму технологического замещения ресурсов MRTSKL. Остается ли использование ресурсов эффективным по Парето для различных налогов? Является ли налог на прибыль нейтральным с точки зрения эффективности использования ресурсов и их количества?

2.2.Распределение ресурсов и обмен ресурсами между предприятиями

Усложним модель экономического взаимодействия подсистем (в данном случае предприятий), рассмотренную в пункте 1.4, добавив в нее условия не только распределения, но и обмена ресурсами между предприятиями. Для того чтобы обмениваться ресурсами, предприятиядолжныобладатьправамисобственностинаних. Чтобы не усложнять задачу, будем предполагать, что предприятия выпускают только один вид однородной продукции.

Такая модель представляет собой систему оптимизационных моделей фирм со своими локальными критериями оптимальности и ограничениями на собственные ресурсы, связанных между собой условиями равновесия спроса и предложения на ресурсы в целом в данной системе. Подсистемы (фирмы) могут обмениваться между собой ресурсами в целях увеличения выпуска продукции. К такой модели применяются результаты теории кооперативных и некооперативных игр.

Интенсивность обмена для k-й фирмы обозначим вектором ∆k — сальдо обмена. Тогда каждое решение k-й подсистемы при взаимо-

60